X- IŞIN FOTOGRAMETRİSİNİN ORTOPEDİDE ÜÇ BOYUTLU KULLANIMI İÇİN MATEMATİK MODELLER

Transkript

1 AMUKKALE ÜNİ VERSİ TESİ MÜHENDİ SLİ K FAKÜLTESİ YIL AMUKKALE UNIVERSITY ENGINEERING COLLEGE CİLT MÜHENDİ SLİ K B İ L İ MLERİ DERGİ S İ SAYI JOURNAL OF ENGINEERING SCIENCES SAYFA : 998 : 4 : - : IŞIN FOTOGRAMETRİSİNİN ORTOEDİDE ÜÇ BOYUTLU KULLANIMI İÇİN MATEMATİK MODELLER Fevz KARSLI, Türkay TÜDEŞ Karadenz Teknk Ünverstes, Mühendslk Fakültes, Jeodez ve Fotogrametr Mühendslğ Bölümü, Trabzon ÖET Son yıllarda yapılan blmsel çalışmalarda, çeştl meslek dsplnler br çok konuda ortak çalışma yolunu seçmekte ve bu dsplnlern blmsel alanda brbrlerne htyaı olduğu açıktır. Özellkle fotogrametr le tıp blm dallarının ortaklaşa bazı blgler kullandıkları gözlenmektedr. Tıpta, fotogrametrnn kullanılması gün geçtkçe yaygın br hale gelmektedr. Tıpta ve buna paralel olarak daha çok ortoped alanında kullanılan fotogrametr, esasları tbaryle klask fotogrametr teknkleryle hemen hemen aynı kabul edleblr. Belrgn fark olarak, tıpta x-ışınlarının kullanılması gerçeğ ortaya çıkmaktadır. -ışın fotogrametrsnde kullanılan matematk modeller, herhang br ortopedk (anlı ya da ansız) parçaya çeklen röntgen flmler yardımıyla, şekln yenden geometrk olarak üç boyutlu oluşturulmasında temel teşkl ederler. Anahtar Kelmeler : -ışınları, -ışın fotogrametrs, Radyograf MATHEMATIC MODELS FOR THE USE OF - RAY HOTOGRAMMETRY WITH THREE - DIMENSIONAL IN ORTHOEDIA ABSTRACT In the presents, many sental reports have been done by sentf groups. It s obvous that n sentf works, the groups need eah other at any tme. Espeally, relaton between photogrammetry and medal sene have been observng on usng the same nformaton. Usng photogrammetry n medal sene s beomng ommon. The bas rules of x-ray photogrammetry n ths feld are the same as onventonal photogrammetry. Also, x-ray tehnques are beng used n ths feld. The mathemat models used n x-ray photogrammetry forms the objet as three-dmensonal geometr wth the röntgen flm exposed to the part of orthoped. Key Words : -rays, -ray photogrammetry, Radograph. GİRİŞ Son yıllarda fotogrametrnn çeştl meslek gruplarının problemlerne çözüm olmaya başladığı gerçeğ ortaya çıkmaktadır. Jeodez dışındak alanlarda kullanılan fotogrametr genelde yakın resm (lose-range) fotogrametrs olup, bu alanlarda x-ışın teknkler kullanılmaktadır. Fotogrametrnn yaygın olarak kullanıldığı alanlardan br tanes tıp blmdr. Tıptak fotogrametr uygulamaları, genelde nsan vüudunun belrl kısımlarının bçm ve boyutlarının çeştl ölçmelerle belrlenmes ve söz konusu kısımların zamanla değşmnn nelenmesnden barettr. Bu alanda kullanılan fotogrametrnn temel stereo fotogrametr lkelerne dayanmaktadır. Ayrıa teknk olarak bu sstem x- ışınları desteklemektedr. Çekm yapılaak materyaln hareketl olması durumunda, resm çekm eş zamanlı (smultaneous) olarak br çft resm maknes le yapılır. Hareketl olmadığı durumlarda çekmler farklı zamanlarda yapılablr. Yne ağız ve dş yapıları, der üzerndek lekelern 685

2 - Işın Fotogrametrsnn Ortopedde Üç Boyutlu Kullanımı İçn Matematk Modeller, F. Karslı, T. Tüdeş büyüklüğü, baak ve kollardak hareketlern ve büyümenn takb ve nelenmes x-ışın fotogrametrs yardımıyla yapılablmektedr. Baaktak yaraların kenar kalınlığı, dernlğ, alanı ve hamnn stereo x-ışın fotogrametrs le tespt edlmes tedav çn güvenlr br kaynak oluşturmaktadır. Kafanın doğrudan ölçülmes zor br şlem olması ve genel şeklnn çok karışık olması nedenyle, fotogrametr bu alanda da ön plana çıkmıştır. Bu nedenle dş hekmler, göz uzmanları ve estetk uzmanları çn yakın resm fotogrametrs önem kazanmaktadır. -ışın fotogrametrsnn, anormal yüzlern errah olarak düzeltlmesnde, damak bçmlernn belrlenmesnde, gebelk sırasında omurganın deformasyonunun belrlenmesnde de katkıları olduğu açıktır. Ayrıa el yüzeynn hartasının çıkarılması, vüuda yerleştrlen protezlern zamanla değşmnn nelenmes stereo x-ışın fotogrametrs le yapılablmektedr. Bütün bu şlemlern yapılablmes çn flm çekm aşamasında ve sonrasında br takım fzksel kabuller yapılmakta ve matematksel modeller kurulmaktadır. Bu çalışmada daha çok bu matematk modellern gerçekleşmesn sağlayaak sstem ve matematk modeller üzernde durulaaktır.. - IŞIN FOTOGRAMETRİSİ -ışın fotogrametrs, br odak noktasından çıkan ve obje çnden geçerek flm üzerne (radyograf) z düşürülen x-ışınlarının merkez projeksyonudur (Mofftt and Mkhal 980). Ortopedk br parçanın matematksel ve fzksel verlernn elde edlmes ve bu verlerden üç boyutlu görüntülern çıkarılması anak x-ışın fotogrametrs le sağlanır. -ışın fotogrametrs çn gerek ve yeter şart, ölçü sstemn kurmak ve x-ışın flmlern çekmektr. -ışın flmlerne lteratürde shadowraps veya radograps denlmektedr (Karara, 987). Tek x-ışın fotoğraflarından sadee k boyutta blg ednleeğnden, üçünü boyutta da blg sahb olmak çn % 50 veya daha fazla bndrmel çft x- ışın flmler çeklr. Böylee stereo x-ışın fotogrametrsnn gerçekleşmes sağlanır. -ışın fotogrametrs çn gerekl olan x-ışınları, x- ışın tüpünde üretlerek nesne üzerne gönderlrler. Bu tüpte, ışınların çıkış kaynağı yan perspektf merkez br anottur. -ışınları elektrksel ve mağnetk alanlardan etklenmezler ve 0.04 A - 00 A arasında dalga boyuna sahptrler. Flm çekmnde bu ışınların kullanılmasının en öneml neden sağlık açısından emnyetl olmalarıdır. İletkente l Odak kabı Katot (-) Flm Anot (+) Şekl. -ışın tüpü Etkn odak Gerçek odak Tungsten hedef -ışınları Obje Br x-ışın tüpünün dyagramı Şekl de gösterlmektedr. Tüpte bulunan odak noktasının büyüklüğü, görüntünün çözümü olması çn küçük odaksal noktalarla lşk kurulaağından önem arz etmektedr... - Işın Flmler ve Görüntü Elde Edlmes -ışınının yayılım hareket çok açık olarak görülmedğnden, fotoğrafk emülsyonun ortaya çıkarılablmes çn x-ışın flmler kullanılır. -ışın flm, ışık em ve x-ışın hassas ışık saçıı perdenn emülsyonla lşks sağlanarak çeklr (Turner-Smth et al., 990). Normalde br flmn x-ışınlarını emmes nspeten az olması sebebyle, emlme mktarının artırılması çn mav ışık saçan kuvvetlendr perde kullanılır. Bu perdenn kullanılması durumunda, ortaya çıkaak olan çözünürlük azalması da çft emülsyonlu flm kullanılarak çözülür. Br flm kasetnn kest Şekl de gösterlmektedr. Emülsyon Ön Kuvvetlendr perde Flm Kuvvetlendr perde Keçe Metal Kaset Şekl. Br flm kasetnn kest Şekl de, flm muhafaza etme görevn üstlenen keçenn, düzenl br yoğunluğa sahp olmaması nedenyle flmde br dalgalanma olur. Bunun Mühendslk Blmler Dergs (-) Journal of Engneerng Senes (-)

3 - Işın Fotogrametrsnn Ortopedde Üç Boyutlu Kullanımı İçn Matematk Modeller, F. Karslı, T. Tüdeş netesnde, düz olmayan (pürüzlü) flm ortaya çıkmış olur. Şekl 3 de C projeksyon merkez, (, Y ) asal noktanın koordnatları, (, Y) se noktasının araz koordnatlarıdır. C - x ve y, r uzunluğunun (radyal yönde) x ve y bleşenler, - (, Y), noktasının resm koordnatları, 0, asal uzaklıktır. Bu etk, asal uzaklık k emülsyon düzlemnn ortasına kadar olan uzaklık alınarak ve bleşenlern sadee yarısı resme etk ettrlerek kısmen gderlr (Verres et al., 979a). -ışın flm 0 0 drx Görüntü düzlem R dr ds S dsx Bütün bu etklern yanı sıra, x-ışınının refraksyonu, odak noktasının br nokta olmamasından kaynaklanan penumbra ve umbra etkler, flm kalınlığının değşm ve deformasyonunun da, görüntülern elde edlmesnde brer etk araı oldukları söyleneblr. Bu etkler hmal edleblr dereede küçük mktarlar olduklarından dkkate alınmazlar (Mofftt, 97). Şekl 3. Flm dalgalanması Dalgalanma sonuunda elde edlen sapma mktarları, drx = ( )dr / dry = (Y Y )dr / () formülleryle elde edlr. Bu mktarlar, 6 µm den 75 µm ye kadar değşmektedr (Karara, 987). Bu etkler azaltmak çn dar açılı görüntü alınır ya da flm önüne özel madenle kaplı (nh) kalınlığında br levha yerleştrlr. Bu levha resm (görüntü) düzlem olarak kabul edlr. Görüntünün bozuk olmasına sebep olan br başka etk se çft emülsyonun etksdr. Bu etk tek emülsyonlu flm kullanılarak gderleblr. Şekl 4 de noktası k emülsyon tabakası üzernde R ve S noktaları şeklnde görüntülenmektedr (Ghosh, 979). latform -ışınflm T Dx R Şekl 4. Çft emülsyonun etks T flm kalınlığında radyal yönde oluşan deformasyon bleşenler, x = ( )T/ y = (Y Y )T/ Dr S ().. - Işın Sstemlernn Kalbrasyonu Radyograflar üzerndek nel blgler elde edeblmek çn, odak uzaklığının konumunun, poz (çekm) anında radyografın düzlem le lşksnn blnmes gerekr. Bu lşk sonuunda kalbrasyonla ç yöneltme elemanları belrlenmş olur. Kalbrasyonun amaı, asal noktanın yer ve asal uzaklığı belrlemektr. Asal nokta, odak uzaklığının flm düzlemndek normal ayağıdır. Odak noktası le asal nokta arasındak mesafe se asal uzaklıktır. Lteratürde, asal noktanın yer ve asal uzaklığı belrleyen brçok yöntem vardır. Anak bu çalışmada en öneml ve yaygın olan Mofftt n ana nokta yerleştrsnden bahsedleektr.... Mofftt n Ana Nokta Yerleştrs Mofftt n ana nokta yerleştrs, üzernde dört köşeye yerleştrlmş 7 (nh) boyunda tüplern bulunduğu plexglass br tabladan barettr. Asal noktanın yer ve asal uzaklığın belrleneblmes çn, bu levha resm üzerne yerleştrlerek görüntü alınır ve elde edlen doğru denklemler yardımıyla doğruların kesm noktası (asal nokta) bulunur. şeklnde fade edlr. Burada, Mühendslk Blmler Dergs (-) Journal of Engneerng Senes (-)

4 - Işın Fotogrametrsnn Ortopedde Üç Boyutlu Kullanımı İçn Matematk Modeller, F. Karslı, T. Tüdeş Temel levha 6 5 -ışın fotogrametrsnde hedef materyal nesneye bağımlıdır. Hedefn görüntüde ayırt edleblmes çn, nesneden daha büyük atom numarasına sahp olması gerekr. Normal br röntgen flmnde kemk yapılarının daha net gözükmesnn sebeb de kemğn atom numarasının dğer kısımların atom numaralarından daha büyük olmasıdır. Genelde hedef materyal olarak nsanlarda çelk top, protezlerde se çelk halkalar kullanılır. Bu top ve halkaların çapı mm dr Görüntü Şekl 5. Mofftt n ana nokta yerleştrs Şekl 5 de gösterlen levha yardımıyla asal noktanın bulunması aşamasında aşağıdak formüller kullanılır. Resm koordnatları sayısallaştırııda ölçüldükten sonra asal noktanın yaklaşık koordnatlarıdır. x = (mx m x y y )/(m m ) y = m (x x ) + y 0 0 şeklnde elde edlr. Burada, (3). 3. Stereo - Işın Fotogrametrs Stereo radyografları ortaya çıkarmak çn k farklı perspektf merkeznden k ayrı görüntü alınmalıdır. Böylee üç boyutlu görüntü elde edlmş olur. Görüntü alma şlem farklı şekllerde olablmektedr. erspektf merkez sabt tutulup sm hareket ettrleblr (Şekl 6-b), sm sabt tutulup perspektf merkez hareket ettrleblr (Şekl 6-a) ya da smn bulunduğu flm düzlem eğleblmektedr (Şekl 6-). Eğlme açısı 5 le 7 arasındadır (Slama, 980). Radyografların kaltes baz oranına bağlıdır k bu oranda yaklaşık :0 veya daha az olmalıdır. Şekl 6 da radyografların üç ayrı çekm durumları gösterlmektedr. m = (y y )/(x x ) m = (y y )/(x x ) (4) b Bu eştlkler her br doğru çn yazılarak dengelemel çözüme gdlr. (-) doğrusu çn eştlk yazılırsa, D b(baz) (y y 0)Vx + (x0 x )Vy + (y0 y )Vx + (x x 0) Vy + (y y ) x 0 + (x x ) y 0 + (xy0 xy+ ( 6) x y - x y x y + x y ) = bağıntısı ortaya çıkar. Bu fade matrs bçmnde gösterlrse, BV + A + W (7) Flm (a) Flm (b) bçm elde edlr. Normal denklem çözümünden, T T [ ] T T Dx = A (B B )A A (B B ) W ve (x + x ), (y + y ) (8) bağıntısıyla asal noktanın koordnatları elde edlr. Asal uzaklık se, tüplern üzerndek markaların görüntü uzaklığından ve tüp yükseklklernden hesaplanır (Karara, 987). Flm () Şekl 6. Stereo radyograflar. 3.. Radyografların Ölçümü... Hedef Materyal Mühendslk Blmler Dergs (-) Journal of Engneerng Senes (-)

5 - Işın Fotogrametrsnn Ortopedde Üç Boyutlu Kullanımı İçn Matematk Modeller, F. Karslı, T. Tüdeş Genel olarak, radyografları ölçmek çn dört yöntem kullanılmaktadır. Bu yöntemler,. Monoküler modda br komparator kullanarak,. Stereoskopk modda br stereo komparator kullanarak, 3. Stereoskopk modda br stereometre alet kullanarak, 4. Stereoskopk modda br stereo değerlendrme alet kullanılarak yapılan ölçmelerdr (Slama, 980). Radyografları ölçeek olan aletn kapastes flm boyutlarını (46 36 m) kapsayaak şeklde yeterl olmalıdır. Orjnal olarak radyografları ölçen alet ess Str-3 x-ışın komparatorudur. Bu alet m boyutundak flmler, x ve y koordnatlarını 0. mm, paralaksları se 0.0 mm nelğnde ölçeblmektedr. Ayrıa radyograflar sayısallaştırıılarda da ölçüleblmektedrler. 3. MATEMATİKSEL MODELLER -ışın fotogrametrsnde kullanılan br kaç matematksel model vardır. Bu modellern esas amaı noktaların ve anotların (perspektf merkez) konumlarını br koordnat sstemnde belrlemektr. Bu çalışmada sadee k matematk modelden söz edleektr. 3.. Stereo - Işın Fotogrametrsnn Normal Alım Durumu Stereo x-ışın fotogrametrsnn normal alım durumu Şekl 7 de gösterlmektedr. Bu durumda anotların asal eksenler brbrne paralel ve baza dktrler. Sol anotun bulunduğu nokta (O ) koordnat sstemnn başlangıı ve bu nokta le flm düzlem arasındak uzaklık asal uzaklıktır (). x O B O p Y y x y Şekl 7. Normal alım durumu Br noktasının radyograf üzerndek görüntüsü, sol flmde (x, y) ve sağ flmde (x, y ) olarak belrlenr. (x, y ) ve (x, y ) radyograf koordnatları, p paralakstır. noktasının araz koordnatları (, Y, ), = x ( /) Y = y( /) = y ( /).p = B p, p = + x x (9) formüller le hesaplanır (M Nel, 966). Böylee smn, sm uzayında araz koordnatları üç boyutta elde edlmş olur. 3.. Genşletlmş Doğrudaşlık Şartı (Fotogrametrk Sstem) Fotogrametrk sstemn temel kollnearte şartına (Collnearty Condton) dayanmaktadır. Anak x- ışın fotogrametrs çn kollnearte şartı braz değştrlmştr. Fotogrametrk sstemde, fotoğraf sstem gb gösterleek br radyograf sstem ve referans sstem olmak üzere k sstem kullanılır. Br perspektf merkez çn sstemn genel geometrs Şekl 8 de gösterlmektedr. Şeklden de görüldüğü r r gb d ve D vektörler farklı boyda olmalarına rağmen aynı yönlüdür ve aynı doğru üzerndedrler. y z r D Y r d Y z 0 x 0 x y C y 0 Referans sstem Resm sstem Şekl 8. Analtk x-ışın fotogrametrsnn geometrs Kollnearte eştlkler genel formda yazılırsa, x p Mühendslk Blmler Dergs (-) Journal of Engneerng Senes (-)

6 - Işın Fotogrametrsnn Ortopedde Üç Boyutlu Kullanımı İçn Matematk Modeller, F. Karslı, T. Tüdeş M x x0 = z 0 M k 3 M y y0 = z 0 M k 3 (0) bçm elde edlr. Burada x, y ölçülen radyograf koordnatları, z 0 asal uzaklık ve k ölçek faktörüdür. M se dönüklük matrsdr ve elemanları aşağıdak şekldedr. M M = M M Ayrıa, 3 = Y Y m m m = m m m m m m () () dır. referans sstem le fotoğraf koordnat sstem arasındak lşk, k M T = x (3) formülü le fade edlr. Burada, = Y Y x x0, x = y y 0 z0 (4) şeklnde fade edlr. noktası ve referans sstemndek karşılığı olan noktası arasındak lşk se, = ( )/( ) Y Y = (Y Y)/( ) (5) bçmndedr. Referans düzlemnde,, 3 olarak belrlenen noktaların fotoğraf düzlemndek karşılıkları, ve 3 dür. Bu noktalar kullanılarak perspektf merkeznn koordnatları (, Y ve ) kollnearte eştlğ yardımıyla ya da (5) eştlkler yenden düzenlenerek aşağıdak şeklde bulunablr. F= + ( )-=0 e F=Y + (Y Y)-Y=0 f (6) -ışın görüntülernn (, Y ) resm koordnatları, (,Y,0) referans düzlem koordnatlarına çevrlerek (5) eştlkler, F = + ( ) - = W F = Y + (Y Y) -Y = W e e (7) f f bağıntılarıyla EKK lkes formunda yazılır. Burada W ve W kapanmalardır. e f Referans noktalarının koordnatları (, Y, ) sabt olarak düşünülürse, perspektf (zdüşüm) merkeznn yaklaşık koordnatları, = + Y = Y + Y = + (8) bağıntıları le bulunur. Burada, Y ve zdüşüm merkeznn yaklaşık koordnatları,, Y ve se düzeltmelerdr. Ölçülen ve Y değerler de aşağıda formüle edldğ gb aynı hatalara (v, v ) sahptrler. x y = + v Y = Y + v x y (9) Blnmeyenlern elde edlmes amaıyla (7) eştlğ lneerleştrlrse, e v Fe Y v Fe Fe Y Y Fe x + y We = 0 (0) f v Ff Y v Ff Ff Y Y Ff x + y W = 0 f eştlkler elde edlr. (0) eştlğ genel formda, BV + A + W = 0 () bçmnde yazılır. Burada parametrelern karşılıkları matrs bçmnde aşağıdak gb yazılırlar. B B B =.. B A A,A =.. A n W W D v x,w=.,v=, DY v y. = D W n n Mühendslk Blmler Dergs (-) Journal of Engneerng Senes (-)

7 - Işın Fotogrametrsnn Ortopedde Üç Boyutlu Kullanımı İçn Matematk Modeller, F. Karslı, T. Tüdeş B e = f e A = f W F e = Ff e Y 0 = f 0 Y e Y f Y e f 0 = 0 Y Y Systems, and Applatons, Handbook of Non- Topograph hotogrammetry. M Nel, G. T Ray Stereo hotogrammetry, hotogrammetr Engneerng, 3 (6), Mofft, F. H. 97. Stereo -Ray hotogrammetry Appled to Orthodont Measurements, Ottawa IS Congress, İnternatonal Arhves of hotogrammetry, 9 (5). Mofftt, F. H., Mkhal, Ray hotogrammetry. Bu eştlkler EKK lkesne göre çözüleblr. Dönüklük matrs ve teork zdüşüm merkez koordnatları bulunduktan sonra obje uzayı koordnatları uzay önden kestrmeyle hesaplanır (Verres et al., 979). 4. SONUÇ Sonuç olarak, fotogrametrnn sadee hartaılık sektöründe hzmet vermeyp, tıp ve dğer blm dallarında da kullanılabldğ görülmektedr. Özellkle, tıpta ortoped alanında, çalışmada söz edlen matematk model ve yöntemlerle yaygın br şeklde uygulanmaktadır. -ışın fotogrametrs sstemlernn tıpta br tedav araı olduğu sonuu da ortaya çıkmıştır. Matematk modellern y sonuç vermes çn kullanılan materyal üzernde noktaların y seçlmes gerekr. Ayrıa bu modeller yardımıyla ortopedk br uzvun, üç boyutlu br model yüksek hassasyetle elde edlebleeğ gösterlmştr. Farklı meslek dsplnlernn bazı blgler ortaklaşa kullanableekler sonuuna da varılmıştır. Slama, C. C Ray Systems and Applatons, Manual of hotogrammetry, Ameran Soety. Turner-Smth, A. R., Whte, S.., Bulstrode, C Ray hotogrammetry of Artfal Hp Jonts, Close Range hotogrammetry Meets Mahne Vson. Veress, S. A., Lppert, F.G., Hou, M. C. Y., Takamoto, T atellar Trakng atterns Measurement by Analytal -Ray hotogrammetry, Journal Bomehans, (), Veress, S. A., Lppert, F. G., Takamoto, T An Analytal Approah to -Ray hotogrammetry, hotogrammetr Engneerng and Remote Sensng, 43 (), Özellkle tıpta herhang br materyal üzernde çalışılması gerektğ durumda, çalışmada söz edlen matematk modellern stenlen hassasyet sağlayaak şeklde kurulması gerçeğ otaya çıkmaktadır. Çünkü, kullanılan materyaln hayatyet çok önemldr. 5. KAYNAKLAR Ghosh, S. K Ray hotogrammetry, Handbook of Analytal hotogrammetry. Karara, H. M Ray hotogrammetry, Mühendslk Blmler Dergs (-) Journal of Engneerng Senes (-)