TEDAR K Z NC R ULA TIRMA PROBLEM Ç N B R SEZG SEL ÇÖZÜM: GENET K ALGOR TMA YAKLA IM

Transkript

1 TEDAR K Z NC R ULA TIRMA PROBLEM Ç N B R SEZG SEL ÇÖZÜM: GENET K ALGOR TMA YAKLA IM Yrd. Doç. Dr. Al hsan ÖZDEM R Ercyes Ünverstes,..B.F., letme Bölümü, Kayser e-mal: ozdemr@ercyes.edu.tr Ara. Gör. Gökhan SEÇME Nev ehr Ünverstes,..B.F., letme Bölümü, Kayser e-mal: gsecme@nevsehr.edu.tr Öz Tedark zncr a tasar m problem, tedark zncrn olu turan ö elern say lar n n ve konumlar n n tespt, brbrler aras ndak ürün ak mktar n n belrlenmes eklnde tan mlanablr. Tasar m problemnn ana hedef bu planlama faalyetlernn mnmum malyet le gerçekle trlmes olarak tan mlanablr. Ula t rma problem olarak formüle edleblen bu problemde amaç de k arz noktalar ndan de k talep noktalar na toplam malyet en küçükleyecek eklde ürünün nas l ta naca n n tespt edlmesdr. Bu çal mada standart lneer ula t rma problem temelnde genetk algortmalar uygulanm ve ula t rma problemnn genetk gösterm le kar la lan zorluklar aç klanm t r. Problemn genetk göstermnde kullan lan vektör gösterm yap s ve matrs gösterm yap lar genetk operatörlern uygulanmas ve amaç fonksyonun de erlendrlmes aç s ndan ncelenm tr. Yap lan analzler le ula t rma problemnn çözümünde vektör ve matrs göstermlernn etknlkler belrl br terasyon say s nda optmum çözüme yakla ma amac aç s ndan ncelenm tr. Sonuç olarak ula t rma problemnn genetk algortmalar le çözümünde matrs göstermn vektör gösterme göre daha ba ar l sonuçlar ürett ve ayr ca kod bastl ve uygulanablrl aç s ndan da daha üstün oldu u belrlenm tr. Anahtar Kelmeler: Tedark Zncr Yönetm, Standart Lneer Ula t rma Problem, Genetk Algortmalar, Genetk Operatörler, Matlab AN HEURISTIC SOLUTION FOR SUPPLY CHAIN TRANSPORT PROBLEM: GENETICS ALGORITHMS APPROACH Abstract Supply chan network desgn problem can be defned as determnng the locatons, number of supply chan members and the amount of product flows between the chan members. The man purpose of the desgn problem can be defned as realzng these plannng actvtes supply ponts to dfferent demand ponts wth mnmum cost. In ths study, genetc algorthms were appled to standard lnear transportaton problems and dffcultes were explaned by usng the genetc llustraton of the transportaton problem. Vector structure and matrx structure of the genetc problem are examned n terms of applcaton of genetc operators and evaluaton of objectve functon. By analyzng the solutons of the

2 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) transportaton problem, vector and matrx structure effcences are examned n terms of achevng the optmum soluton by specfc teraton numbers. The artcle concludes that matrx structure of genetc problems s superor to vector structure n terms of provdng better solutons, code smplcty and applcablty. Keywords: Supply Chan Management, Standart Lnear Transport Problem, Genetc Algorthms, Genetc Operators, Matlab. Gr Tedark zncr, hammaddeler temn etmek, bu hammaddeler btm ürünlere dönü türmek ve bu ürünler mü terlere da tmak çn organze edlm, tedarkçler, üretm tessler, depolar ve da t m kanallar ndan olu an br a d r. Tedarkç ve mü ter ba lant s n sa layan tedark zncr, tedarkçlern ham maddeler üretmesyle ba lar ve ürünün mü terler taraf ndan tüketlmesyle son bulur. Tedark zncrnde mallar n tedarkçler ve mü terler aras ndak ak çe tl a amalardan geçer ve her br a ama brçok tessten olu ablr. Br tedark zncr a n n olu - turulmas stratejk br karar olup kurulacak üretm tesslernn say s, konumu, kapastes ve teknolojs gb y planlanm faalyetler gerektrr. Tedark zncr a ; tedarkç, naklyec, üretc, da t m merkezler, perakendec ve tüketc le ortaya ç kan tedark zncrn olu turan sstemler, alt sstemler, operasyonlar, aktvteler ve bunlar n brbrleryle olan l klern çeren karmak br bütündür Tedark zncr a tasar m problem, tedark zncrn olu turan ö elern say lar n n ve konumlar n n tespt, brbrler aras ndak ak n mktar n n belrlenmes ve bütün bu planlama faalyetlernn toplam malyet en küçükleme gb ortak br amaç do rultusunda gerçekle trlmesdr. Lteratürde ula t rma problem olarak da ncelenen bu problem teork ve ekonomk önemnden dolay üzernde çokça çal lan br problemdr. Ula t rma Problemnde amaç de k arz noktalar ndan de k talep noktalar na toplam malyet en küçükleyecek eklde ürünün nas l ta naca n n tespt edlmesdr. Kombnatöryel optmzasyon problemlernn bast br türü olan ula t rma problem, belrl say dak kaynaklardan belrl say dak hedeflere mnmum malyetl ula t rma plan n belrlemektedr. Her br kayna n arz kapastesnn, her br hedefn talep mktar n n ve her br kaynaktan her br hedefe ula t rma malyetnn blnd varsay l r. Ehap H. Sabr, Benta M. Beamon, A mult-objectve approach to smultaneous strategc and operatonal plannng n supply chan desgn,omega,vol.8,, pp.58. Turan Paksoy, Tedark Zncr Yönetmnde Da t m A lar n n Tasar m ve Optmzasyonu: Malzeme htyaç K s t Alt nda Stratejk Br Üretm-Da t m Model, Selçuk Ünverstes Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs, Say :, 5, s. 5. smal Karao lan, Fulya Alt parmak, Konkav Malyetl Ula t rma Problem çn Genetk Algortma Tabanl Sezgsel br Yakla m, Gaz Ünverstes Mmarl k Mühendslk Fakültes Dergs, Clt., 5, s..

3 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) Tedark zncr a tasar m problemler bast tek ürün tpnden karma k çok ürünlü olanlara ve lneer determnstk modellerden karma k non-lneer stokastk problemlere kadar gen br alanda formüle edlen problemler kapsar. Lteratürde, tedark a lar n n tasar m problem le lglenen farkl çal malar mevcuttur ve bu çal malar taraf ndan özetlenm tr. Tedark zncr a tasar m ve analznn öneml br ble en uygun performans ölçülernn kullan m d r. Performans ölçütü ve performans ölçütler kümes, mevcut sstemn etknl n ve/veya etkll n belrleyerek alternatf sstemlerle kar la t rmada ve önerlen br sstem tasarlamada kullan l r. Bu ölçütler kaltatf ve kanttatf olarak s n fland r lablmektedr. Mü ter memnunyet, esneklk ve etkl rsk yönetm kaltatf performans ölçütlerndendr. Kanttatf performans ölçüler se brnc olarak; malyet mnmzasyonu, sat maksmzasyonu, kar maksmzasyonu gb dret olarak malyet veya kar a dayal hedefler, knc olarak se doluluk oran n n maksmzasyonu, mü ter tepk zaman n n mnmzasyonu, tedark zaman mnmzasyonu gb mü ter tepksell ne dayanan hedefler olmak üzere k alt kategorye ayr lablr 5. Geleneksel tedark zncr yönetmnde, tedark zncr a tasar m genellkle mnmum malyet veya maksmum kar gb tek hedefe odaklan r. Örne n brçok çal mada tedark zncrnn toplam malyet amaç fonksyonu olarak de erlendrlm tr 6. Bunun yan nda, tek amaçl problemlerde tasar m görevler yoktur. Tasa- 5 6 Carlos J. Vdal, Marc Goetschalckx, Strategc producton-dstrbuton models: A crtcal revew wth emphass on global supply chan models, European Journal of Operatonal Research, Vol. 98, 997, pp.; Benta M. Beamon, Supply chan desgn and analyss: models and methods, Internatonal Journal of Producton Economcs, Vol. 55, 998, pp.8; Selçuk. Erenguc, N. C. Smpson, Asoo J. Vakhara, Integrated producton/dstrbuton plannng n supply chans: An nvted revew, European Journal of OperatonalResearch, Vol. 5, 999, pp..; P.Pontrandolfo, O. G. Okogbaa, Global manufacturng: A revew and a framework for plannng n a global corporaton, Internatonal Journal of Producton Research, Vol. 7, No., 999, pp.. Bonta M. Beamon, Supply chan desgn and analyss: models and methods, Internatonal Journal of Producton Economcs, Vol. 55, 998, pp.8. V. Jayaraman, H. Prkul, Plannng and coordnaton of producton and dstrbuton facltes for multple commodtes, European Journal of Operatonal Research, Vol.,, pp. 95;V. Jayaraman, A.Ross, A smulated annealng methodology to dstrbuton network desgn and management, European Journal of Operatonal Research, Vol.,, pp. 69; H. Yan, Z. Yu, T.C. E. Cheng, A strategc model for supply chan desgn wth logcal constrants: Formulaton and soluton, Computers and Operatons Research, Vol., No.,, pp. 5; S.S. Syam, A model and methodologes for the locaton problem wth logstcal components, Computers and Operatons Research, Vol. 9,, pp.75. ; A. Syarf, Y. Yun, M. Gen, Study on mult-stage logstcs chan network: A spannng tree-based genetc algorthm approach, Computers and Industral Engneerng, Vol.,, pp..; A. Amr, Desgnng a dstrbuton network n a supply chan system: Formulaton and effcent soluton procedure, European Journal of Operatonal Research, Vol. 7, No., 6, pp. 568.; M. Gen, A. Syarf, Hybrd genetc algorthm for mult-tme perod producton / dstrbuton plannng, Computers and Industral Engneerng, Vol. 8, No., 5, pp. 799.; T.H. Truong, F. 5

4 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) r m/planlama/çzelgeleme projeler genellkle farkl amaçlar aras nda de toku u çerr. Son y llarda tedark zncr a lar n n çok amaçl optmzasyonu lteratürde farkl ara t rmac lar taraf ndan de erlendrlm tr. Sabr ve Beamon, ürün, talep ve da t m belrszlkler alt nda operasyonel ve stratejk tedark zncr planlamas çn bütünle k çok amaçl tedark zncr model gel trm lerdr 7. Malyetler, doluluk oranlar ve esneklk amaçlar olarak de erlendrlrken k s t metodu çözüm yöntem olarak kullan lm t r. Chan vd. talep yönlendrmel tedark zncr a nda s ral da t m problem çn çok amaçl genetk optmzasyon prosedürünü sunmu - lard r 8. Amaçlar olarak sstemn toplam malyetnn, toplam da t m günlernn mnmzasyonunu ve üretcler çn kapaste kullan m oranlar n n e tl n kullanm lard r. Chen ve Lee belrsz ürün fyatl ve talepl çok a amal tedark zncr a çn çok ürünlü, çok a amal ve çok döneml çzelgeleme model gel trm lerdr 9. Tüm kat l mc lar aras nda kar n, güvenlk stoku sevyelernn ve maksmum mü ter hzmet sevyelernn e t da l m ve ele al nan belrsz talepler çn al nan kararlar n kararl l amaçlar olurken problemn çözümü çn k a amal bulan k karar alma metodu gösterlm tr. Erol ve Ferrel tedarkçler depolara ve depolar da mü terlere atayan br model önerm lerdr. Bu modelde malyetn mnmzasyonu ve mü ter memnunyetnn maksmzasyonu çn çok amaçl optmzasyon model çerçevesn kullanm lard r. Gullen vd. tedark zncr a tasar m problemn k s t metodu ve dal s n r tekn le çözüleblen çok amaçl stokastk karma tamsay l do rusal programlama model olarak formüle etm lerdr. Amaçlar zaman ufku boyunca tedark zncr kar ve mü ter memnunyet sevyesdr. Chan vd. çok fabrkal tedark zncr modellernde üretm ve da t m problemler çn genetk algortmalar ve analtk hyerar prosesne (AHP) dayanan hbrd br yakla m gel trm lerdr. Çal malar nda operasyon malyetlern, hzmet sevyesn ve kaynak kullan m oran n amaçlar olarak kullanm lard r. Son y llarda, üretm yönetm alan ndak kombnatöryel ve NP-zor yap - dak çok çe tl tek ve çok amaçlar problemler genetk algortmalar kullanarak Azadvar, Optmal desgn methodologes for confguraton of supply chans, Internatonal Journal of Producton Researches, Vol., No., 5, pp. 7. Ehap H. Sabr, Benta M. Beamon, A mult-objectve approach to smultaneous strategc and operatonal plannng n supply chan desgn,omega,vol.8,, pp.59. F.T.S. Chan, S.H. Chung, S.A. Wadhwa, A hybrd genetc algorthm for producton and dstrbuton, Omega, Vol.,, pp. 6. C. Chen, W. Lee, Mult-objectve optmzaton of mult-echelon supply chan networks wth uncertan product demands and prces, Computers and Chemcal Engneerng, Vol. 8,, pp.. I. Erol, W.G. Junor Ferrell, A methodology to support decson makng across the supply chan of an ndustral dstrbutor, Internatonal Journal of Producton Economcs, Vol.89,, pp.. G. Gullen, F.D. Mele, M.J. Bagajewcz, A.Espuna, L.Pugjaner, Multobjectve supply chan desgn under uncertanty, Chemcal Engneerng Scence, Vol. 6, 5, pp.56. F.T.S. Chan, S.H. Chung, S.A. Wadhwa, A hybrd genetc algorthm for producton and dstrbuton, Omega, Vol.,, pp. 5. 6

5 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) çözme konusunda artan br lg vard r. Bu çal mada NP-zor problemlerden olan tedark zncr a lar n n tasar m problemlernn genetk algortmalara dayal olarak çözümü sunulmaktad r. Burada dkkate al nan amaç toplam malyetn en küçüklenmesdr. Bu çal man n amac br çok NP-zor optmzasyon problemnde ba a- r yla uygulanan genetk algortmalar sezgsel yakla m n n tedark zncr a tasar m problemnde kullan m n n gösterlmesdr. Ayr ca ula t rma modelnn matematksel formülasyonunun GA le çözüm aramaya yatk n oldu u (- de kenler kullanma, alternatflern ncelenmes gb) görülmektedr.. Problemn Yap s Bu çal mada ele al nan problem belrl say dak tedarkçler ve belrl say dak mü terlerden olu an tek a amal bast ula t rma problemdr. Ula t rma problemnn çözümünde dkkate al nacak amaç se toplam ula t rma malyetnn en küçüklenmesdr. Problemn çözümünde kullan lan genetk algortma yakla m, çok a amal ula t rma problemlernn her a amas n alt problemler olarak de erlendrmek suretyle çok amaçl ve çok a amal (tedarkçler, üretm merkezler, da - t m merkezler, mü terler) ula t rma problemler çnde kullan lablmektedr. çnde benzer eklde kullan lablmektedr. Ula t rma problemnde kaynaklardan hedeflere gönderlecek ürünlern malyet ula t r lacak mktar n br oran se bu tür problemlere lneer ula t rma problem denr. Burada ele al nan lneer ula t rma problemnde sadece br ürün olduundan, mü terler talep edlen ürün mktarlar n br veya daha fazla tedarkç kayna ndan kar layablmektedrler. Genel ula t rma problem, S tedarkçler kümes, D mü terler kümes olmak üzere k parçal ebeke olarak tan mlan r ( ekl ). Matematksel notasyon ve formüller a a dak gbdr. M. Gen, R. Cheng, Genetc algorthms and engneerng optmzaton. New York: Wley, NY,, p. 5; C. Dmopoulos, A.M.S. Zalzala, Recent developments n evolutonary computaton for manufacturng optmzaton: Problems, solutons and comparsons, IEEE Transactons on Evolutonary Computaton, Vol., No.,, pp.9.; H. Aytug, M. Khouja, F.E. Vergara, Use of genetc algorthms to solve producton and operatons management: a revew, Internatonal Journal of Producton Researches, Vol., No.7,, pp

6 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) Tedarkçler Mü terler S D S... D... S D j ekl. Genel ula t rma problem yap s tedarkçler çn ndeks ( I), S() tedarkçsnn kapastes (arz ), j mü terler çn ndeks (j J), D(j) j mü tersnn talep ett ürün mktar, c kayna ndan j hedefne brm ula t rma malyet ve x tedarkçsnden j mü tersne ula t r lan mktar olmak üzere; mn f ( x) K s tla x j x x S D j j ve tamsay j c,,... n x,,... n Brnc k s tlar kümes br kaynaktan tüm hedeflere gönderlen toplam mktar n kayna n kapastesn a mamas n, knc k s tlar kümes se her br hedefn talebnn kar lanmas n sa lamaktad r. Amaç fonksyonu toplam ula t rma malyetn en küçüklemektr. Genel ula t rma problemnde amaç fonksyonu do rusald r ve bu problemn çözümünde do rusal programlama teknkler kullan lablmekte- 8

7 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) dr. Genel ula t rma problemnde verlen yap toplam kapastenn toplam talebe e t oldu u dengel ula t rma problem yap s d r. Toplam talep toplam kapasteden büyükse aylak tedarkç, tam ters durumda se aylak mü ter eklenmek suretyle problemde denge art sa lan r. Aylak tedarkçnn kapastes art k talebe (toplam talep - toplam kapaste), aylak mü ternn taleb se art k kapasteye (toplam kapaste - toplam talep) e ttr 5. Ula t rma problemlernn çözümünde do rusal ve do rusal olmayan programlama, amaç programlama, dal s n r tekn ve çe tl sezgsel teknkler ba ar yla uygulanmaktad r. Çal man n sonrak bölümlernde de kullanaca m z br örnek le genel ula t rma problemn ve çözümünü aç klayal m. Örnek : kaynak ve hedeften olu an br ula t rma model dü ünelm. Kaynaklar n kapasteler S()=5, S()=5, S()=5 ve hedeflern talepler D()=5, D()=5, D()=5 ve D()= olarak belrlensn. Kaynaklar n kapastelernn ve hedeflern taleplernn brbrne e t (5) oldu unu unutmayal m. Brm ula t rma malyet c a a da Tablo de verlm tr. Tablo. Brm Ula t rma Malyetler Kaynak/Hedef Kapaste Talep /5 dak gb olacakt r. Toplam mal- Bu küçük örne n optmum çözümü a a yet 5 olarak bulunmu tur. 5 Wayne L. Wnston, Operatons Research: Applcatons and Algorthms, Duxbury Pres, The USA, 99, pp.8. smal Karao lan, Fulya Alt parmak, Konkav Malyetl Ula t rma Problem çn Genetk Algortma Tabanl Sezgsel br Yakla m, Gaz Ünverstes Mmarl k Mühendslk Fakültes Dergs, Clt., 5, s. 5. 9

8 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) Tablo. Çözüm Tablosu Kaynak/Hedef Kapaste 5 5/5 5 5/5 5 5/5 Talep 5/5 5/5 5/5 / 5/5 Çözüm tablosu ncelend nde brnc kaynaktan knc hedefe 5 br, dördüncü hedefe br; knc kaynaktan knc hedefe br, üçüncü hedefe 5 br ve üçünçü kaynaktan brnc hedefe 5 br ürün gönderlmektedr. Toplam Ula t rma malyet se (x)+(x7)+(5x9)=5 pbr olmaktad r.. Genetk Algortmalar Brçok optmzasyon problemn de çeren zor problemlern büyük br k s- m, çözümü yeternce h zl eklde garant eden algortmalar le çözülememektedr. Baz durumlarda e er yeternce h zl hesaplanablyorsa yakla k optmum çözümler kabul edleblmektedr. Genetk algortmalar, do adak do al seçlm ve evrm olgular n benzeterek problemlern çözümünde kullan lablen probablstk algortmalard r 6. Genetk algortmalar rastgele olu turulmu çözüm adaylar ndan olu an ba lang ç populasyonunun olu turulmas le ba layarak, daha y breyler elde etmek çn genetk operatörler yard m yla populasyonun evrm geçrerek en y aday n bulunmas lem olarak aç klanablr. Genetk algortmalar n ley nde, verlen problem çn çözümlerden olu an popülasyon olu turularak bu popülasyonun do al seçlme göre evrm geçrerek kötü breylern/çözümlern ölmes, y breylern/çözümlern ya amas ve sonuçta en y breye/çözüme ula lmas esast r. Bast br genetk algortma yap s ekl de görülmektedr. 6 D.E. Goldberg, Genetc Algorthms n Search, Optmzaton & Machne Learnng.Readng, Addson Wesley, MA, 989, pp.. 5

9 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) Begn End t= P(t) olu tur P(t) y evrmle tr Whle (durdurma krter sa lanmad begn t=t+ P(t-) den P(t) y seç P(t) y yenden olu tur P(t) y evrmle tr End End sürece) Do ekl. Genetk algortma sürec t t t Genetk algortma, t terasyonu süresnce x,..., xn çözümlernden olu an P(t) popülasyonunda her br x çözümünün uygunluk dereces f x ) hesaplanarak de erlendrlecektr. Uygunluk de erlerne göre çözümler seçlecek, seçlen çözüler genetk operatörler (çaprazlama, mutasyon, nverson) uygulanmas yla yenden üretlerek yen popülasyon (t+ terasyonu) elde edlecektr. Çaprazlama operatöründe, k breyn özellklernn brle trlmesyle k yen çocuk elde edlmektedr. Aleler gösteren dzlern parçalar n n yer de trmes eklnde gerçekle trlr. Örne n, aleler 5 elemandan olu an vektörler (a, b, c, d, e ) ve (a, b, c, d, e ) le gösterlr ve çaprazlama aral olarak ve 5. genler seçlrse olu acak çocuklar (a, b, c, d, e ) ve (a, b, c, d, e ) eklnde olacakt r. Mutasyon operatörüyle popülasyondak çe tllk artt r l r. Mutasyon lemnde seçlen breyn yap s ndak br veya daha fazla say dak eleman n de er de trlr. Popülasyondak her br çözüm vektörünün her br konumu mutasyon oran olarak smlendrlen belrl br olas l kla rasgele olarak de trlr. Inverson operatörü, çözümü gösteren vektördek de erlern tamam n n veya br k sm n n ters döndürülmesyle gerçekle trlr. Sadece belrl baz çözüm göstermler çn tan mlanm t r. Problem çözmede genetk algortmalar n genel kabul görmü ble enler unlard r: - Problemn çözümlernn genetk gösterm - Çözümlern ba lang ç popülasyonunun olu turulmas - Çözümlern uygunluklar n belrleyecek br de erlendrme fonksyonu 5 ( t

10 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) - Yenden üretm sürecnde olu turulacak yen breylern yap lar n etkleyecek genetk operatörler - Genetk algortmalar n kulland parametrelern de erler (popülasyon büyüklü ü, genetk operatörlern uygulanma olas l klar vb.) Br problemn genetk algortmalar le çözüm sürecnn en öneml a amas problemn gösterm ekldr. Ula t rma problemnn genetk algortmalar le çözümü çn problemn k temel gösterm ekl mevcuttur. Brncs vektör gösterm yap s ve kncs matrs gösterm yap s d r. Son y llarda yap lan baz çal malarda çok a amal ula t rma problemlernn a yap s n genetk algortmalarda göstermek üzere prüfer say lar kullan lmaktad r. Problemn tüm özellklern yans tablmes ve genetk lem kolayl sa lamas aç s ndan çok a amal ve çok amaçl ula t rma problemlernde oldukça y sonuçlar vermektedr... Vektör gösterm yap s Klask genetk algortmalar, kromozomlar (çözümler) ve lerden olu an bt dzlerdr. Ula t rma problemnde çözüm çn bt dzlernn tan mlanmas nda bast <v,v,,v p > (p=n.k) vektörü kullan l r. Bu vektörün her br v ble en <w, w s > alt vektör parças na kar l k gelr ve atama matrsndek j. sat r ve m. sütundak de er gösterr. Burada j=[(-)/k + ] ve m=(-)mod k + olarak hesaplanablr. W vektörünün uzunlu u (s parametres) gösterlecek maksmum tam say y ( s+ -) belrler. Yukar da aç klanan bu göstermn k s tlar n tatmn, fonksyon de erlendrmes ve genetk operatörler aç s ndan çal mas n nceleyelm. dak artlar sa la- S n rlar n Sa lanmas : Her br çözüm vektörünün a a mas gerekt aç kt r. V q >= tüm q=,,,k.n çn c k k v c k k n v j j m, step k S( c ), D( m), c m,,..., n çn,,..., k çn Brnc k s t n her zaman sa land aç kt r (poztf tamsay lar olarak ve lern br s ralamas olmas anlam nda). D er k k s t formüller smetrk olmad - nda her br kaynak ve her br k s t çn toplamlar sa lar. De erlendrme Fonksyonu: Problemn yap s ndan dolay do al de erlendrme fonksyonu brmler kaynaklardan hedeflere ula t rma malyetdr ve a a - dak formül le gösterlr. 5

11 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) Eval(<v,v,,v p >)= p v C jm j=[(-)/k +] ve m=(-)mod k + Genetk Operatörler: Ele al nan gösterm ekl çn ula t rma problemnn genetk operatörlernn do al br tan mlamas yoktur. Mutasyon se genellkle çözüm vektöründek tek br gen (bt) de ernn de mes olarak tan mlan r. Bu durum problemmzde s n rlar n sa lanmas çn farkl konumlardak de erler çn br dz de kl berabernde getrmektedr. Ayr ca matrs gösterm d ndak göstermlerde hang sat r ve sütunlarda de klk yap ld n her zaman hat rlamam z gerektrecektr. Bu durum oldukça karma k formüller berabernde getrecektr ve bu karma kl n lk belrts s n rlar tan mlarken ortaya ç kan smetr kayb d r. Ayr ca d er baz cevaplanmam sorularda mevcuttur. Örne n, mutasyon çözüm vektöründek küçük de mler olarak anla l rken yukar da aç kland gb br de erdek tek br de klk belrl konumlardak en az farkl de kl de berabernde getrmektedr. Bu yüzden tek br gendek de kl çeren mutasyon yöntemler seçlen eleman n lgl sat r ve sütununu kontrol etmede karma kl k sebebyle etkl yöntemler olamamaktad r. Bu durum çaprazlama operatörünü ele ald - m zda daha da çnden ç k lmaz br hal olacakt r. Br vektörün rasgele br noktadan keslmes; k s tlar a an, kaynak kapasteler ve hedef taleplernden daha büyük de erl elemanlar n ortaya ç kmas na sebep olablecektr. Çaprazlama sonucu olu - turulan tüm breylerdek say lar n kabul edleblr br aral kta olmas n sa layacak br yöntem gel trlse de yen çözümlern de s n rlar a t görülecektr. Tüm k s t- lar n sa lanmas çn bu çözümler düzenlemeye çal rsak bu kez de çocuklar olu turan alelerle benzerlkler kaybedlecektr. Ayr ca bunun nas l yap laca da bell de ldr. Bu de erlendrmelern sonucunda ele al nan k s tl problem çn yukar da aç klanan vektör göstermnn genetk operatörlern uygulanmas çn en y yöntem olmad anla lmaktad r. Vektör göstermnn temel yap s n koruyarak çözüm göstermn gel treblrz. Öncelkle tüm k s tlar sa layan çözümler üretmenn yolunu tan mlamam z gerekr. Bu sürec ba lang ç ayarlamas olarak smlendryoruz. Bu süreçte tüm s n rlar sa layan en fazla k+n- adet s f r olmayan elemandan olu an br matrs olu turulur. Bu matrs olu turan algortma ekl de görülmektedr. Matrsn olu - turulmas se örnek verler kullan larak örnek de aç klanmaktad r. 5

12 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) Begn den kxn e kadark tüm say lar seçlmem olarak aretle repeat kxn aras ndak say lardan daha önce seçlmem rasgele q say s n seç ve onu seçl olarak aretle =[(q-)/k + ] (sat r) olarak ayarla j=(q-) mod n + (sütun) olarak ayarla deger=mn(s(), D(j)) olarak ayarla v =Value S()=S()-Value olarak ayarla D(j)=D(j)-Value olarak ayarla Untl tüm say lar aretlenene kadar End ekl. Ba lang ç ayarlamas sürec Ba lang ç ayarlamas sürec le problemn çözümü çn uygun çözümlern üretlmes sa lanmaktad r. Örnek : Örnek de ncelenen ve brm malyetler Tablo de verlm olan problemn verlern kullanarak genetk algortmay üzernde uygulayal m. Yukar da aç klanan algortmay uygularsak öncelkle x= adet say n n tamam aretlenmem olarak belrlenr. Brnc rasgele say örne n olarak belrlensn. Bu say =[(q-)/k + ] =[(-)/+]=,5 sat r numaras na ve j=(q- ) mod k+=(-)mod += 9 mod += += sütun numaras na dönü türülür. Deger=mn[S(), D()]=mn(5,5)=5 ve dolay s yla v =5 olarak belrlenr. Brnc terasyondan sonra S()= ve D()= olarak güncellenr. Bu hesaplamalar aretlenmem sonrak rasgele say (8, 5, ) çn tekrarlarsak s ras yla (sat r=, sütun=; sat r=, sütun=; sat r=, sütun=) olacakt r. E er terasyon boyunca rasgele say lar (, 8, 5,,,,,, 7, 6, 9, ) s ras nda al n rsa olu an son matrs a a dak gb olacakt r. Tablo. Genetk Algortma Uygulamas Kaynak/Hedef Artan Kapaste 5 /5 5 /5 5 /5 Artan Talep /5 /5 /5 / / 5

13 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) Dkkat edlrse terasyon sonunda tüm kapaste ve talepler s f ra dü mü olmaktad r. Ayr ca, ba lang ç ayarlamas sürec çn optmal sonucu üretecek say - lar n çe tl s ralamalar mevcuttur. Örne n, örnek de elde edlen optmum çözüme <7,9,,,6,*,*,*,*,*,*,*> s ralamalar ndan herhang brsyle ula lablmektedr. Bu yöntem en fazla k+n adet s f r olmayan tam say çeren herhang br uygun çözüm üreteblmektedr. Ba lang ç ayarlamas sürec de trlerek lneer olmayan ula t rma problemlernn çözümünde de kullan lablmektedr. Problemle lgl bu blgler ve çözüm özellkler, ula t rma problemnn çözümünün vektör gösterm le lgl ba ka f rsatlar da sa lamaktad r. Çözüm vektörü ba lang ç ayarlamas sürec le kabul edleblr br çözüm üretleblen <, kxn> aral ndak kxn adet farkl say n n br s ralamas d r. Yan çözüm vektörünü say lar n br permütasyonu olarak de erlendreblrz ve optmal çözüm çn farkl permütasyonlar nceleyeblrz. Bu göstermn s n rlar n sa lanmas, fonksyonun de erlendrlmes ve genetk operatörler aç s ndan nas l uygulanablrl n nceleyelm. S n rlar n Sa lanmas : kxn adet farkl say n n herhang br permütasyonu s n r artlar n kar layan sadece tek br çözüm üretr. Bu durum ba lang ç ayarlamas sürec le sa lanablr. De erlendrme Fonksyonu: Herhang br matrsn amaç fonksyonunun hesaplanmas belrl br v matrsyle l kl olmas sebebyle oldukça kolayd r. De erlendrme fonksyonu v c olacakt r. j Genetk Operatörler: Bu süreçte oldukça aç k ve basttr. Inverson: Herhang br <x,x,,x q > (q=kxn) çözüm vektörü ba ka br çözüm vektörüne kolayca ters çevrleblr <x q,x q-,,x ). Mutasyon: <x,x,,x q > çözüm vektörünün herhang k eleman x ve x j olmak üzere yen br çözüm vektörü olu turmak üzere yer de trleblrler. Çaprazlama: Bu lem braz karma kt r. Rasgele yap lm çaprazlama lemnn hatal çözümler üretece unutulmamal d r. <,,,,5,6, 7,8,9,,,> ve <7,,,,,, 5,,,9,6,8> vektörler 6. genden tbaren çaprazlan rsa uygun çözümler olmayan <,,,,5,6,5,,,9,6,8> ve <7,,,,,,7,8,9,,,> vektörler elde edlr. Dolay s yla çaprazlama operatörü olarak permütasyon özell n bozmayan br yakla m kullan lmal d r. D er br kombnatöryel problem olan gezgn sat c problemnde de kullan lan PMX çaprazlama operatörü çözüm vektörünün uygunlu unu bozmadan yen çözüm vektörler üreteblmektedr. 55

14 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) Ula t rma problemnn vektör gösterm kullan larak genetk algortmalar le çözüm sürec ve zorluklar yukar da k saca aç klanm t r. D er br gösterm ekl olan matrs gösterm ve genetk algortmalar le çözüm sürec se a a da özetlenmektedr... Matrs gösterm yap s Ula t rma problemnn çözümü çn muhtemelen en do al gösterm ekl k boyutlu matrs yap s d r. Ayr ca problemn gösterm ve çözümünün nas l yap - laca da belldr. Yan V=v ( k, j n) matrs br çözümü göstereblr. Matrs göstermn s n rlar n sa lanmas, de erlendrme fonksyonu ve genetk operatörler aç s ndan uygulanmas n nceleyelm. S n rlar n Sa lanmas : Her br V=v çözüm matrsnn a a sa lamas gerekt aç kt r. v =,,,k; ve j=,,,n dak s n rlar k v D j j,..., n n j v S,..., k Bu yakla m öncek bölümde aç klanan bast vektör gösterm yakla m na benzemekle brlkte s n rlar daha kolay ve daha do al br yolla gösterlm tr. De erlendrme Fonksyonu: Problemn do al amaç fonksyonu de erlendrme fonksyonu olarak kullan l r. eval( v ) k n j j v c Burada da, verlen formül öncek bölümdek yakla mdan daha kolay ve daha h zl d r. Genetk Operatörler: Burada Mutasyon ve çaprazlama olmak üzere k genetk operatör tan mlanm t r. Inverson operatörünün tan mlanmas oldukça güçtür. Mutasyon: {,,, p } kümesnn {,,,k} kümesnn alt kümes oldu unu ( p k) ve {j,j,,j q } kümesnn {,,,n} kümesnn alt kümes oldu unu ( q n) varsayal m. 56

15 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) V=(v ) matrsn (kxn) mutasyon çn ata olarak belrleyelm. V matrsnn tüm elemanlar ndan W=(w ) alt matrsn (pxq) a a dak gb olu - tural m. Br v V eleman e er sadece ve sadece {,,, p }ve j {j,j,,j q } se v eleman W kümesndedr (e er = r ve j=j s se v eleman W matrsnn r. sat r ve s. sütuna yerle trlr). Smd W matrs çn S w () ve D w (j) nn yen de erlern atayablrz ( p ve j q). s ( ) w D ( ) w j j, j,... j p,,... p v v,, j p q Ba lang ç ayarlamas sürecn W matrsne tüm k s tlar n S w () ve D w (j) sa land yen de erler atamak çn kullanablrz. Daha sonra V matrsnn uygun elemanlar W matrsndek yen elemanlarla güncelle trlr. Bu yolla tüm global k s tlar S() ve D(j) korunmu olur. A a dak örnek mutasyon operatörünün uygulanmas n göstermektedr. Örnek : kaynak ve 5 hedeften olu an ula t rma problemne at blgler a a dak gbdr. S()=8, S()=, S()=, S()=6; D()=, D()=5, D()=, D()=7, D(5)=5. A a dak V matrsnn mutasyon çn ale olarak seçld n varsayal m. V Rasgele k sat r {,} ve üç sütun {,,5} seçerek lgl W alt matrsn olu tural m. W S w ()=, S w ()=, D w ()=5, D w ()= ve D w ()= oldu u görülmektedr. W matrsnn yenden ba lang ç ayarlamas n n yap lmas ndan sonra matrs a a dak de erler almaktad r. W 57

16 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) Dolay s yla sonuç olarak V matrsnn mutasyondan sonrak yen brey a a dak gb olacakt r. V Çaprazlama: Çaprazlama operasyonu çn V ( v ) ve V ( v ) matrslernn ale breyler olarak seçld n varsayal m. A a da V ve V çocuklar n olu turmak çn kulland m z algortman n ana hatlar bulunmaktad r. Öncelkle k geçc matrs olu turulur. DIV=(dv ) ve REM=(rem ). dv rem [( v ( v v ) / ] v ) mod DIV matrs her k aleden gelen yuvarlanm ortalama de erler saklarken, REM matrs herhang br yuvarlaman n uygun olup olmad le lgl aretler saklar. REM matrsnn baz lgnç özellkler vard r; örne n her br sat r ve sütundak lern say s sabttr. D er br fadeyle S j REM ve D REM de erlernn her ks de (REM matrsnn s ras yla sat r ve sütün toplamlar n n marjnaller) tamsay d r. Bu özell REM matrsn REM ve REM olarak k alt matrse dönü türmede kullanaca z. REM=REM+REM, S REM ()=S REM ()=S REM ()/, =,,,k. D REM (j)=d REM (j)=d REM (j)/, j=,, n. V ve V çocuklar se a a dak olu turulur: V =DIV+REM V =DIV+REM A a dak örnek de bu lem daha detayl gösterlm tr. Örnek : Örnek de ncelenen problem aynen kullanal m. A a dak V ve V matrslernn çaprazlama çn seçld n varsayal m. V V DIV ve REM matrsler se a a dak gb olacakt r

17 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) 59 DIV REM REM ve REM matrsler a a dak gb olu turulur. REM REM Son olarak V ve V çocuklar elde edlr. V 5 V Genetk algortmalar n matrs yap s nda çözümü yukar da aç klanan prosedürlere dayanmaktad r. Vektör yap s ve matrs yap s yla çözümler ve çözümlern kar la t r lmas sonrak bölümde gösterlmektedr.. Deneyler ve Bulgular Standart lneer ula t rma problemnn çözümü çn vektör gösterml ve matrs gösterml genetk algortmalar gel trlm tr ve farkl problemlern çözümü çn kullan lm t r. Buradak amaç vektör ve matrs göstermlernn hangsnn daha y oldu unu tespt etmekten çok problem boyutuna ba l olarak genetk göstermlernn etknl nn kar la t r lmas d r. Olu turulan genetk algortmalar farkl boyutlarda rasgele olu turulan ula t rma problemler çn çözülerek performanslar kar la t r lm t r. Ayr ca lteratürdek k problem 7 çn de kar la t rmalar yap l- m t r. Öncelkle olu turulan her br problem standart ula t rma algortmalar le çözülerek optmal çözüm tespt edlm tr. Bu blg genetk algortmalarda durdur- 7 Hamdy A. Taha, H.A., Operatons Reseach: An Introducton, Prentce Hall, NJ.,99, pp.8.; Wayne L. Wnston, Operatons Research: Applcatons and Algorthms, Duxbury Press, The USA,99, pp.8.

18 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) ma krter olarak kullan lm t r. Kar la t rma çn kullan lan problemlere at blgler Tablo de görülmektedr. Tablo. Kar la t rmada Kullan lan Problemler ve Özellkler Problem No Boyut Referans Prob Prob x x Rasgele üretlm tr Taha x Taha(99) Wnston 9x5 Wnston(99) Genetk algortma göstermlernn kar la t r lmas çn kullan lablecek krterlern ba nda optmum çözüm elde edlrken ula lan jenerasyon say s d r. Jenerasyon say s de ernn lem ve hesaplama zaman le l kl oldu u aç kt r. Baz durumlarda parametrelern baz de erler çn optmum çözüme ula lamadan süreç sonland r lmaktad r. Ayr ca jenerasyon say s n etkleyen en öneml faktörlerden brs de ba lang ç çözümüdür. Genetk algortma rasgele olu turulan ba - lang ç çözümünü evrmle trerek çal t ndan ba lang çtak de erler optmuma ula mak çn gerekl jenerasyon say s n drekt olarak etklemektedr. Performans kar la t rmas nda kullan lablecek br d er öneml krter de belrl br jenerasyon say s çn en y çözümün optmum çözüme yak nl d r. Bu çal mada jenerasyon da optmum çözüme % yakla ma dereces kullan lm t r. Ayr ca jenerasyon çn yap lan deneylerde, jenerasyon say s na ula lmadan optmum çözümün yakaland görülmü tür. Genetk algortmalar n performans n etkleyen çok say da parametre olduundan, öncelkle baz parametre de erlern kar la t rma çn sabtledk. Popülasyon büyüklü ü 5 ve yenden üretme kat lacak brey say s 5 (popülasyonun %5 s) olarak belrlenm tr. Bu de er ayn zamanda her br jenerasyonda ç kar - lacak breylern say s n n da 5 oldu unu göstermektedr. Çaprazlama yöntem olarak bast s ral çaprazlama yöntem seçlm ve yen nesle seçlen breylern tümü çaprazlanm t r. Mutasyon lem çn se gen takas mutasyonu benmsenm ve genler % htmalle mutasyona tab tutulmu tur. Matlab ortam nda gel trlen genetk algortmalar belrlenen test problemler çn Pentum.8 Ghz lemcl, 5 Mb Ram e sahp br blgsayarda çal t - r lm t r. Vektör ve matrs gösterm ekller çn jenerasyonda optmum çözüme % yakla ma oranlar ekl de görülmektedr. 6

19 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) jenerasyonda optmum çözümün % üzer Problem boyutu Matrs Gösterm Vektör Gösterm Hareketl Ortalama ba na (Matrs Gösterm) ekl. Matrs ve vektör göstermlern optmum çözüme % yakla ma oranlar Burada dkkat edlmes gereken nokta problem boyutunun optmum çözüme yakla ma oran üzernde büyük etkye sahp oldu udur. Dkkate al nan tüm problem boyutlar nda matrs yap s vektör göstermne göre optmum çözüme daha yak n de erler üretm tr. Ayr ca matrs gösterm vektör göstermne göre kolay kodlanablrdr. Bu özellk kod bastl aç s ndan da matrs göstermne avantaj sa lamakta, lem zaman etklemektedr. 5. Sonuç Bu çal mada standart lneer ula t rma problemnn genetk algortmalar le çözüm yöntem ve bu çözüm yöntemnde kullan lablecek vektör gösterm yap s ve matrs gösterm yap s aç klanarak performanslar de erlendrlm tr. Daha karma k yap ya sahp (çok a amal çok amaçl ula t rma problemler) problemlern çekrde n olu turan standart lneer ula t rma problem çn aç klanan prosedürler, çok boyutlu olarak dkkate al narak daha karma k boyutlu ula t rma problemlerne uygulanablr. Yap lan deneyler sonucu dkkate al nan problem boyutlar nda matrs göstermnn vektör göstermne göre daha y sonuçlar verd, optmum çözümün üzernde kalma yüzdesnn daha küçük de erlerde oldu u görülmü tür. Ancak problem 6

20 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) boyutunun bu sonuçlar üzerndek büyük etks aç kt r. Yan baz problem boyutlar nda vektör gösterm matrs göstermyle e ba ar da sonuçlar üretm tr. Modern sezgsel yöntemlerden olan genetk algortmalar n ula t rma problemnn çözümünde kullan lmas gerçek hayat ko ullar dü ünüldü ünde zaman ve çabukluk aç s ndan öneml avantajlar sa layablecektr. lerk çal malarda daha karma k ula t rma problem türler çn genetk algortmalar le çözüm yakla m ara t r larak algortman n etkn olarak kullan labld problem sahalar gen letleblr. KAYNAKÇA Amr, A., Desgnng a dstrbuton network n a supply chan system: Formulaton and effcent soluton procedure, European Journal of Operatonal Research, Vol. 7, No., 6, pp Aytug, H., Khouja, M., and, Vergara, F. E.., Use of genetc algorthms to solve producton and operatons management: a revew, Internatonal Journal of Producton Researches, Vol., No.7,, pp Beamon, B. M., Supply chan desgn and analyss: models and methods, Internatonal Journal of Producton Economcs, Vol. 55, 998, pp.8 9. Chan, F. T. S., Chung, S. H., and, Wadhwa, S., A hybrd genetc algorthm for producton and dstrbuton, Omega, Vol.,, pp Chen, C., and, Lee, W., Mult-objectve optmzaton of mult-echelon supply chan networks wth uncertan product demands and prces, Computers and Chemcal Engneerng, Vol. 8,, pp.. Dmopoulos, C., and, Zalzala, A. M. S., Recent developments n evolutonary computaton for manufacturng optmzaton: Problems, solutons and comparsons, IEEE Transactons on Evolutonary Computaton, Vol., No.,, pp.9. Erenguc, S. S., Smpson, N. C., and, Vakhara, A. J., Integrated producton/dstrbuton plannng n supply chans: An nvted revew, European Journal of Operatonal Research, Vol. 5, 999, pp.9 6. Erol, I., and, Ferrell, W. G. Jr., A methodology to support decson makng across the supply chan of an ndustral dstrbutor, Internatonal Journal of Producton Economcs, Vol.89,, pp.9 9. Gen, M., and, Cheng, R., Genetc algorthms and engneerng optmzaton. New York: Wley, NY,. 6

21 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) Gen, M., and, Syarf, A., Hybrd genetc algorthm for mult-tme perod producton / dstrbuton plannng, Computers and Industral Engneerng, Vol. 8, No., 5, pp Goldberg D. E., Genetc Algorthms n Search, Optmzaton & Machne Learnng.Readng, Addson Wesley, MA, 989. Gullen, G., Mele, F. D., Bagajewcz, M. J., Espuna, A., and, Pugjaner, L., Multobjectve supply chan desgn under uncertanty, Chemcal Engneerng Scence, Vol. 6, 5, pp Jayaraman, V., and, Prkul, H., Plannng and coordnaton of producton and dstrbuton facltes for multple commodtes, European Journal of Operatonal Research, Vol.,, pp Jayaraman, V., and, Ross, A., A smulated annealng methodology to dstrbuton network desgn and management, European Journal of Operatonal Research, Vol.,, pp Karao lan,., Alt parmak, F., Konkav Malyetl Ula t rma Problem çn Genetk Algortma Tabanl Sezgsel br Yakla m, Gaz Ünverstes Mmarl k Mühendslk Fakültes Dergs, Clt., 5, sayfa: -5. Paksoy, T., Tedark Zncr Yönetmnde Da t m A lar n n Tasar m Ve Optmzasyonu: Malzeme htyaç K s t Alt nda Stratejk Br Üretm-Da t m Model, Selçuk Ünverstes Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs, Say :, 5, sayfa: 5-5. Pontrandolfo, P., and, Okogbaa, O. G., Global manufacturng: a revew and a framework for plannng n a global corporaton, Internatonal Journal of Producton Research, Vol. 7, No., 999, pp. 9. Sabr, E. H.,and, Beamon, B. M., A mult-objectve approach to smultaneous strategc and operatonal plannng n supply chan desgn,omega,vol.8,,pp Syam, S. S., A model and methodologes for the locaton problem wth logstcal components, Computers and Operatons Research, Vol. 9,, pp.7 9. Syarf, A., Yun, Y., and, Gen, M., Study on mult-stage logstcs chan network: A spannng tree-based genetc algorthm approach, Computers and Industral Engneerng, Vol.,, pp. 99. Taha, H.A., Operatons Reseach: An Introducton, Prentce Hall, NJ.,99. Truong, T. H., and, Azadvar, F., Optmal desgn methodologes for con.guraton of supply chans, Internatonal Journal of Producton Researches, Vol., No., 5, pp

22 Sosyal Blmler Ensttüsü Dergs Say : 7 Y l: 9/ (-6 s.) 6

23 Ths document was created wth WnPDF avalable at The unregstered verson of WnPDF s for evaluaton or non-commercal use only. Ths page wll not be added after purchasng WnPDF.