Kendine eş operatör fonksiyonlar için Riesz bazı ve özdeğer problemleri

Transkript

1 tüdergs/c fe blmler Clt:5, Sayı:1, Kasım 2007 Kede eş oeratör foksyolar ç Resz bazı ve özdeğer roblemler Nurha ÇOLAKOĞLU *, Mahr HASANOV İTÜ Fe Blmler Esttüsü, Matematk Mühedslğ Programı, 34469, Ayazağa, İstabul Özet Bu çalışmada br ve k arametrel kede eş oeratör foksyoları bazı sııfları ç Resz bazı ve özdeğer roblemler ele alımıştır. İlk olarak k arametrel sıırsız dalga t oeratör olomları sektral yaısı celemştr. Bu oeratör olomlar aşırı söümlü olmaya oeratör foksyoları aa sııflarıda br oluşturur. Burada br arametre sabt tutulduğu zama sektrumu ayrık olması le lgl teoremler verlmştr. Kök bölgeler bazı kısımlarıda reel özdeğerler ç varyasoel formüller belrlemştr. Bu, oeratör olomlar sıırlı bçme döüştürülmede yaılmıştır. Sözü edle sııf ç sayısal bölge ve kök bölgeler yaısıı celemek amacıyla daha geel kede eş oeratör foksyoları da kasaya br model oluşturulmuştur. Bu model çerçevesde kök bölgeler bazı kısımlarıda kökler ve özdeğerler dağılımı le lgl teoremler satlamış ve kök bölgeler bazı bağlatılı kısımları belrlemştr. Dalga t oeratör foksyoları br çoğuda sağlaa bazı doğal ek koşullar altıda kök bölgeler üst üste bdğ gösterlmştr. So olarak kede eş sürekl oeratör foksyolar ç Resz bazı roblemler ele alımıştır. Bazı koşullar altıda, yoğu br alt sııf ç özvektörler Resz bazı oluşturduklarıı göstere br teorem verlmştr. Geelde bu kou le lgl çalışmalarda faktörzasyo yötem kullaılmaktadır. Bu çalışmada s Resz bazı le lgl roblemler çözmek ç sektral dağılım foksyolarıa dayalı tamame farklı br tekk kullaılmıştır. Aahtar Kelmeler: Oeratör foksyolar, sektrum, özdeğer, sektral dağılım foksyou, Resz bazı. * Yazışmaları yaılacağı yazar: Nurha ÇOLAKOĞLU. colak@tu.edu.tr; Tel: (212) Bu makale, brc yazar tarafıda İTÜ Fe Blmler Esttüsü, Matematk Mühedslğ Programı da tamamlamış ola Resz bass ad egevalue roblems for oe ad to arameter self-adjot oerator ecls" adlı doktora tezde hazırlamıştır. Makale met tarhde dergye ulaşmış, tarhde basım kararı alımıştır. Makale le lgl tartışmalar tarhe kadar dergye göderlmeldr.

2 N. Çolakoğlu, M. Hasaov Resz bass ad egevalue roblems for self-adjot oerator ecls Exteded abstract I ths aer Resz bass ad egevalue roblems for some classes of oe ad to arameter oerator ecls are cosdered. Sectral roblems for oerator ecls arse aturally from dfferetal equatos ad boudary value roblems, oerator matrces, evoluto equatos, cotrollable systems ad equatos deedg o oe or more arameters. Oe art of the roblems studed here are varatoal roblems for real egevalues for ooverdamed tye oerator ecls. It s ell ko that dscrete egevalues of a selfadjot oerator A o a Hlbert sace H hch le belo or above the lmt sectrum (or essetal sectrum) of A ca be characterzed by varatoal rcles aled to the Raylegh quotets ( x) = ( Axx, )/( xx, ), x H, x 0. These varatoal rcles ere geeralzed to the λ -olear egevalue roblems of the form L( λ ) x = 0 by may authors, here the Raylegh quotet of a lear roblem Ax = λx as relaced by the so-called Raylegh fuctoal, hch s a homogeeous, real-valued, olear fuctoal defed by the equato ( L ( ( x)) x, x) = 0 for x 0. There are to cases the varatoal theory of λ - olear sectral roblems: A) The Raylegh fuctoal x () s defed o the etre sace H \{ 0 } ad the codtos a) L ( α) >> 0, L ( β ) << 0, b) the equato ( L( λ ) x, x) = 0 has exactly oe smle zero ( α, β ), for every x H \{ 0 } are satsfed. I ths case the λ -olear egevalue roblem L( λ ) x = 0 s called overdamed. B) The Raylegh fuctoal (x) s defed oly o a coc roer subset of H \{ 0 } ad the codtos gve above are artally fulflled. Such sectral roblems are called the ooverdamed oes. All oerator fuctos cosdered ths aer are assumed to be self-adjot a searable Hlbert sace H. Notce that recet studes are cocetrated o the case B). The oerator ecls of avegude tye (.g.t.) form oe of the ma classes of ooverdamed oerator ecls ad have very mortat alcatos to hyscal roblems. I the frst art of the reset study, the sectral structure of to arameter oerator ecls of.g.t. s studed. Theorems o dscreteess of the sectrum for a fxed arameter are gve. Varatoal rcles for real egevalues some art of the root zoes are establshed. Also, the structure of the umercal rage ad root zoes of a class of oerator fuctos, arsg from oe or to arameter oerator ecls of.g.t s studed. We costruct a geeral model of such kd of oerator ecls. I the frame of ths model theorems o dstrbuto of roots ad egevalues some arts of root zoes are roved. Some coected arts of the root zoes are determed. It s roved that root zoes, uder some atural codtos hch are satsfed for most of.g.t. multarameter sectral roblems, overla. Aother roblem studed ths aer s the Resz bass roblem for a class of self-adjot oerator fuctos. It s ko that f L s aalytc a symmetrc eghborhood of a terval ( ab,) ad the codtos ) L ( a) << 0, L ( b) >> 0, ) ( L( λ ) x, x) = 0, x H \{ 0 } has oly oe root ( a, b), ) π ( L) = { γ } ( a, b), here π (L) deotes the lmt sectrum of L are satsfed the the egevectors, corresodg to egevalues ( a, b) form a Resz bass. But t s ot clear stll do e eed a smoothess codto o L (λ) to obta the same result. We rove t for a subclass of cotuous oerator fuctos ad the last art s devoted to these roblems. Keyords: Oerator ecls, sectrum, egevalue, sectral dstrbuto fucto, Resz bass. 76

3 Kede eş oeratör foksyolar ç Resz bazı ve özdeğer roblemler Grş Bu çalışmada br ve k arametrel oeratör foksyoları bazı sııfları ç Resz bazı ve özdeğer roblemler ele alımaktadır. Oeratör foksyoları sektral roblemler dferasyel deklemler ve sıır değer roblemlerde, evolusyo deklemlerde, kotrol edleblr sstemlerde, oeratör matrslerde ve br veya daha çok arametreye bağlı deklemlerde kayaklaır. H Hlbert uzayıda taımlı kede eş br A oeratörüü esaslı sektrumu σ ess ( A) ı altıda veya üstüde yer ala ayrık, ya zole ve solu katlı, özdeğerler üç temel varyasyoel lkeyle karakterze edlebleceğ blmektedr. Bular Raylegh, Pocare-Rtz ve Courat- Fsher-Weyl lkelerdr ve Raylegh oraı olarak adladırıla ( x) = ( Ax, x)/( x, x), x H \{ 0 } fadese uygulaırlar. Öreğ eğer kede eş br A oeratörüü esaslı sektrumuu mmumuu altıda yer ala özdeğerler, katlılıkları da hesaba katarak λ1 λ2 λ şeklde gösterls. Bu durumda özdeğerler Raylegh lkes aracılığıyla λ = m ( x) x 0, ( x, x ) = 0 = 1,, 1 λ şeklde fade edleblrler. Burada x ler özdeğerlere karşı gele özvektörlerdr ve mmum değer x özvektörüde alıır. Bezer şeklde sırasıyla Pocare-Rtz lkes aracılığıyla λ = m max ( x), L D( A) x L dm L= x 0 veya Courat-Fsher-Weyl lkes aracılığıyla λ = max m ( x) L H x D ( A) dm L= 1 x L (1) şeklde fade edleblrler. Burada D le lgl oeratörü taım kümes gösterlmektedr Bu varyasyoel lkeler brçok yazar tarafıda L( λ ) x = 0 şeklde λ arametrese göre leer olmaya özdeğer roblemlere geelleştrlmştr. Bu durumda, leer Ax = λx roblemdek ( x) = ( Axx, )/( xx, ) Raylegh oraı yere ( Lx ( ( )) xx, ) = 0, x 0 deklem yardımıyla taımlaa homoje, reel değerl ve leer olmaya Raylegh foksyoel alıır. λ ya göre leer olmaya sektral roblemler varyasyoel teorsde k durum söz kousudur: A) Raylegh foksyoel (x), H \{ 0} uzayıı tamamıda taımlıdır. Bu durumda λ ya göre leer olmaya L( λ ) x = 0 özdeğer robleme aşırı söümlü der ve uygulaa yötemler L (λ), λ = [ αβ, [ oeratör foksyouu olom şeklde, aaltk, düzgü veya düzgü-olmaya olmasıa göre değşr. Bu kouda R. J. Duff, R. Turer, E. H. Rogers, B. Werer a at klask çalışmaları amak yerde olur (Werer, 1971). Ayrıca Abramov (1983), Markus (1988) ve Hasaov (2002) a bakılablr. B) Raylegh foksyoel ( x ) yalızca H \{ 0} uzayıı kok br alt kümesde taımlıdır ve yukarıda adı geçe çalışmalarda belrtle şartlar yalız kısme gerçekler. Bu şartlar aşağıdak gbdr: a) L ( α) >> 0, L ( β ) << 0, b) Her x H \{0}ç ( L( λ ) x, x) = 0 deklem ] α, β [ aralığıda yalız br ( x ) kökü olsu. Bu şekldek sektral roblemlere aşırı söümlü olmaya adı verlr. So zamalardak çalışmalar B) durumua yoğulaşmaktadır. Dalga t oeratör olomlar aşırı söümlü olmaya oeratör foksyoları öeml sııflarıda brsdr ve fzksel roblemlere çok öeml uygulamaları vardır (Abramov, 1986; Abramov, 1993; Hasaov, 2006; Kostyucheko ve Orazov, 1986; Slberglet ve Kolevch, 1996). Bu çalışmaı lk bölümüde de, B) durumua dahl ola dalga t oeratör olomları sek- 77

4 N. Çolakoğlu, M. Hasaov tral yaısı ve özdeğerler varyasyoel lkeler yardımıyla verlmes ele alımaktadır. E.M. Barsto aşırı söümlü olmaya kc derece özdeğer roblemler br sııfıı ele almış ve solu boyutlu durumda reel özdeğerler varyasyoel karakterzasyouu vermştr (Barsto, 1974). Sosuz boyutlu durumda leer olmaya, aşırı söümlü olmaya özdeğer roblemler ç mmax lkeler lk olarak Voss ve Werer (1982) de verlmş gb görümektedr (ayrıca bkz. Voss (2003a) ve Voss (2003b)). Bu makalelerde varyasyoel lkeler, etkleşme gre akışka-katı yaıları ttreşmde kayaklaa br rasyoel özdeğer roblem özdeğerler belrlemek ç kullaılır. Aşırı söümlü olmaya sektral roblemler daha geş br sııfı da blok oeratör matrsler sektral roblemler ve λ -rasyoel Sturm- Louvlle roblemleryle bağlatılıdır (Bdg vd., 2000; Esché ve Lager, 2004). Aşırı söümlü olmaya, R reel sayılar kümes br [ α, β [ aralığıda taımlı ve değerler sıırlı kede eş oeratörler ola daha geel oeratör foksyolar Bdg ve dğerler (2000) de ele alımıştır. Burada, aşırı söümlü sektral roblemler ç yukarıda a) ve b) le verle klask koşullar sağlamaz (ayrıca bkz. Grv ve Mel k (1997)). Yukarıdak a) koşuluda κα : = dm{ E 0 x E,( L( α) x, x) < 0} = 0 soucu çıkar. Aşırı söümlü sektral roblemlerde deks ötelemes olmamasıı sebeb budur. Bdg ve dğerler (2000) (bkz. Teorem 3.5) κ α > 0 durumuda klask varyasoel lke (1) yer λ = m su x ( ), = 1, 2, L x L dm L= κ α x 0 fades aldığıı göstermştr. Bu formülü ve Courat-Fsher-Weyl lkes br bezer, değerler kede eş sıırsız oeratörler sııfıda ola oeratör olomlar ç Eshé ve Lager (2004) de (bkz. s. 293, Teorem 2.1) verlmştr. Geelde oeratör olomlar dferasyel deklemlerde ortaya çıkarlar ve buda dolayı sıırsız oeratör foksyolardır. Dğer tarafta bazı sıırsız oeratör olomları sıırlılara döüştürmek ç stadart tekkler vardır. Acak bazı durumlarda, özellkle de dalga t oeratör olomlar durumuda, sıırsız oeratör olomlarla uğraşmak daha ydr. Bu edele, bu çalışmada Esché ve Lager (2004) dek yötemler ve verle souçlar kullaılarak dalga t oeratör olomları reel özdeğerler ç varyasyoel lkeler verlmektedr. Çalışmada ele alıa dğer br kou da kede eş oeratör foksyoları br sııfı ç Resz bazı roblemlerdr. { Au } = 1 vektörler sstem H Hlbert uzayıı br ortoormal bazı olacak şeklde br A tersr oeratörü mevcutsa { u } = 1 vektörler ssteme H ı br Resz bazı adı verlr. Kede eş aaltk oeratör foksyoları özvektörler Resz bazı özellkleryle lgl olarak aşağıdak teoremde Souç 1 elde edlr. Teorem 1 (Markus, 1988). Reel sayıları br aralığı [ ab, ], ou R ye göre smetrk bağlatılı br cvarı U ve L( λ ) oeratör foksyou U üzerde taımlı, kede eş ve aaltk olsu. Eğer L ( a) << 0, L ( b) >> 0 ve, ( L( λ ) x, x) = 0 ( x 0) foksyouu U da br ve yalız br kökü varsa, o zama L( λ ) foksyou L( λ) = L ( λ)( λi Z) şeklde çaralara ayrılablr. Burada L ( λ) oeratör foksyou aaltk ve U da tersrdr. Z sıırlı br oeratör ve σ ( Z) ( ab, ) dr. Ayrıca Z kede eş br oeratöre bezerdr. Souç 1 (Markus, 1988). Br γ ( ab, ) ç π ( L) { γ } = olsu. Bu takdrde Teorem 1 şartları altıda L ( ab, ) aralığıdak özdeğerlere karşı gele özvektörler Resz bazı oluştururlar. Çalışmaı devamıda π ( L) le L oeratör foksyouu lmt sektrumu ya 78

5 Kede eş oeratör foksyolar ç Resz bazı ve özdeğer roblemler π( L) = { λ ( a, b) x, x = 1, x 0, L( λ) x 0} kümes gösterlmektedr (baze esaslı sektrum olarak da adladırılır ve σ ( L) le gösterlr.) Bezer souçlar, ye çaralara ayırma formülü aracılığıyla, C 2 ([ a, b], S( H )) sııfıda oeratör foksyolar ç Markus ve Matsaev (1991, 1993) de verlmştr. SH ( ) le H Hlbert uzayıda kede eş sıırlı oeratörler ve k geel olarak C ([ a, b], S( H )) le [ ab de, ] taımlı, k-defa sürekl dferasyelleeblr ve değerler SH ( ) de ola oeratör foksyolar sııfı gösterlmektedr. Ayrıca Azzov ve dğerler (2000) ve Matsaev ve Segel (1993) makalelere de bakılablr. C([ a, b], S( H )) sııfıda ola ve Teorem 1 şartlarıı sağlaya oeratör foksyoları özvektörler, π ( L) = { γ} ( a, b) durumuda, Resz bazı özellkleryle lgl roblem hala açıktır. Daha et fade edlecek olursa, L C([ a, b], S( H)), L ( a) << 0, L ( b) >> 0, her x H \{0} vektörü ç ( L( λ ) x, x) = 0 foksyouu ( ab, ) aralığıda br ve yalız br kökü var ve π( L) = { γ} ( a, b) se L ( ab dek, ) özdeğerlere karşı gele özvektörler H uzayıda br Resz bazı oluşturduğua yada H da tam olduğua dar br hotez vardır. Yukarıdak makaleler tamamıda özvektörler baz özellkler çaralara ayırma yötem yardımıyla celemştr ve bu yötem L oeratör foksyouu br kısım düzgülük koşullarıı sağlamasıı gerektrr. Bu çalışmada se ayı roblem C([ a, b], S( H )) br alt sııfıda sektral dağılım foksyoua dayaa ye br varyasyoel yaklaşımla ele alımaktadır. Çalışmaı lk bölümüde, k arametreye bağlı dalga t sıırsız oeratör olomları sektral yaısı celemektedr. Br arametre sabt tutulduğu zama sektrumu ayrık olmasıyla lgl teoremler verlmektedr. Kök bölgeler bazı kısımlarıda reel özdeğerler ç varyasyoel lkeler ortaya koulmaktadır. İkc ess bölümde, br veya k arametrel dalga t oeratör olomlarda kayaklaa br oeratör foksyolar sııfı ç sayısal bölge ve kök bölgeler ele alımaktadır. Bu t oeratör foksyolar ç geel br model şa edlmekte ve bu model çerçevesde kök bölgeler bazı kısımlarıda kökler ve özdeğerler dağılımı le lgl teoremler verlmektedr. Kök bölgeler bazı bağlatılı kısımları belrlemektedr. Çok arametrel dalga t sektral roblemler çoğu ç gerçeklee bazı doğal ek koşullar altıda kök bölgeler ayrık olmadığı gösterlmektedr. So kısımda se C([ a, b], S( H )) sııfıda oeratör foksyoları özvektörler le lgl yukarıda sözü edle hotez bazı koşullar altıda yoğu br alt sııfta doğru olduğu gösterlmektedr. Bu çalışmadak souçları çoğu ayrıtılı olarak Çolakoğlu ve dğerler (2006) ve Hasaov ve dğerler (2006) da verlmştr. Buda dolayı çoğu souçlar satsız olarak verlmektedr. İk arametrel dalga t oeratör olomları özdeğerler Bu bölümde 2s Lk (, ): = A k Cs 1 s= 1 1 2s 1 s 2 s= 0 k B D I (2) şekldek oeratör olomları sektral yaısı celemekte ve reel özdeğerler ç varyasyo lkeler verlmektedr. Burada A, D, B s ve C s, s= 0,1,, 1 oeratörler H Hlbert uzayıda smetrk oeratörlerdr ve C 1 dışıdakler sıırsız olablrler. Ayrıca aşağıda Taım 1 de verle koşulları sağladığıı kabul edlmektedr. Bu sııfa dalga t oeratör olomlar adı verlr (Abramov, 1993; Slberglet ve Kolevch 1983). Bu t oeratör olomlar dalga sstemlerde kayaklaır ve k arametres dalga sayısıı, se frekası göstermektedr. Bu çalışmada bazı souçlar D 0 durumu ç verlse de, souçları br kısmıda D = 0 olduğu kabul edlmektedr. 79

6 N. Çolakoğlu, M. Hasaov İk arametrel oeratör foksyolar ç sektrum σ ( L) ve özdeğerler kümes σ ( L ) { σ ( )} σ ( ) σ( L) = ( k, ) 0 L( k, ), { } σ ( L) = ( k, ) 0 L( k, ) şeklde taımlaır. Burada ( Lk (, )) σ le L oeratör foksyouu ( k, ) oktasıdak değer ola Lk (, ) oeratörüü sektrumu gösterlmektedr. Regüler oktalar kümes ρ ( L) ve lmt sektrum π ( L) de bezer şeklde taımlaır. Buları dışıda arametres sabt br değere karşı gele özdeğerler ve k dalga sayısıı sabt br değere karşı gele özdeğerler sırasıyla { σ ( )} σ ( ) σ ( L) = k ( k, ) L, { } k σ ( L) = ( k, ) L şeklde taımlaır. σ ( L ), σ ( ) k L, π ( L ) ve π k ( L) sektral kümeler de bezer şeklde taımlaır. Bu bölümde esas olarak σ ( L) ve k σ ( L ) kümeler yaısı ve σ ( L) dek reel özdeğerler varyasyoel formüllerle verlmes ele alımaktadır. Taım 1 (Slberglet ve Kolevch 1983, s.285). Aşağıda verle şartları sağlaya, (2) formudak k arametrel Lk (, ) oeratör olomua dalga t oeratör olom adı verlr: (I) A kede eş egatf olmaya br oeratör, 1 ( A I) S, D smetrk br oeratör ve 1/2 DA ( I) S dur. Burada S komakt oeratörler kümesdr. (II) C 1 sıırlı ve oztf deft br oeratördür: 0 < c1 c2 sayıları vardır öyle k c1( u, u) ( C 1u, u) c2( u, u), u H, (III) Bs, s = 0,1,, 1 ve Cs, s = 0,1,, 2 oeratörler smetrk ve (IV) Her 1/2 1/2 ( A I) Bs ( A I) S, 1/2 1/2 ( A I) Cs ( A I) S dr. Bu şartlar, özel olarak 1/2 D(( A I) ) D( Bs ), s = 0,1,, 1 1/2 D(( A I) ) D( Cs ), s = 0,1,, 1 olduğu alamıa gelr. 1/2 k R ve u D (( A I) ) ç 2s ( Au, u) k ( Cs 1u, u) s= 1 1 2s 1 2 s µ s= 0 k ( Buu, ) ( uu, ) olacak şeklde br µ 0 sayısı vardır. Bua ek olarak k arametrel dalga t br oeratör olom, eğer aşağıdak koşulu sağlarsa, eerj stablte koşuluu sağlıyor der: (V) Her 1/2 k R ve u D (( A I) ) ç 2s ( Au, u) k ( Cs 1u, u) s= 1 1 2s s 0 s= 0 k ( Buu, ) ( c k ς )( uu, ) olacak şeklde ς 0 ve c 0 > 0 sayıları vardır. Yukarıda sözü edldğ gb (I)-(V) koşulları doğal olarak fzksel roblemlerde ortaya çıkar ve dalga sstemler geş br sııfı tarafıda sağlaır (Kostyucheko ve Orazov, 1986; Slberglet ve Kolevch, 1996). Şmd σ ( L ) ve σ ( ) k L sektral kümeler ayrık olduğuu, ya solu katlı zole özdeğerlerde oluştuğuu göstere teoremler verlmektedr. Teorem 2 (Çolakoğlu vd., 2006). Lk (, ) eerj stablte şartıı sağlaya dalga t br oeratör olom olsu. Bu takdrde her R ç 80

7 Kede eş oeratör foksyolar ç Resz bazı ve özdeğer roblemler σ ( L ) ayrıktır. Ayrıca, eğer D = 0 se σ ( L) her C, komleks sayılar kümes ç ayrıktır. Teorem 3 (Çolakoğlu vd., 2006). Lk (, ) oeratör olomu (I)-(III) koşullarıı sağlası. Bu takdrde her k C ç σ ( L) ayrıktır. = 1 durumuda, geelleştrlmş ( L ( k) x, x) = ( Ax, x) k( Bx, x) k 2 2 k ( Cx, x) ( x, x) = 0, x D kuadratk form deklem Raylegh foksyoeller olarak adladırıla ( Bx, x) ± dx (, ) ± ( x, ) = 2( Cx, x) foksyoeller taımlar. Burada dx Bxx A Ixx Cxx 2 2 (, ) = (, ) 4(( ), )(, ) şekldedr. Burada 1/2 [ A I ] D: = D ( ) dr. Dalga t oeratör olomlar aşırı söümlü olmaya oeratör foksyolar sııfıa grerler dolayısıyla d( x, ) 0 koşulu her x D ç sağlamaz. Buu hesaba katarak { D } G ( ) = x dx (, ) > 0 ve ± ( x, ) foksyoeller taım kümes { x D \ {0} d( x, ) 0} G '( ) = kok kümeler ve bu kümeler üzerde ± ( x, ) foksyoeller sıırları k ( ) = f ( x, ), k' ( ) = f ( x, ), x G( ) x G'( ) k ( ) = su ( x, ), k' ( ) = su ( x, ), x G( ) x G'( ) δ ( ) = f ( x, ), δ ( ) = su ( x, ). x G( ) x G( ) taımlası. Burada k'( ) k( ) δ ( ) δ ( ) k ( ) k'( ) olduğu açıktır ( δ ( ) δ ( ) eştszlğ ç bkz. Abramov (1993)). Aşağıdak teorem [ k ( ), δ ( ) ) aralığıdak özdeğerler ç fade edlmştr. Bezer şeklde δ ( ), k ( ) aralığı ç de fade edleblr. ( ] Teorem 4 (Çolakoğlu vd., 2006). L ( k ) kc derecede dalga t br oeratör olom ( = 1), = [ k( ), δ ( ) ) ve k( ) < δ ( ) olsu. Bu takdrde a) da yalız solu sayıda özdeğer vardır: bular, katlılıklar da hesaba katılarak k1 ( ) k2( ) k ( ) şeklde sıralası, b) Tüm özdeğerler egatf ttr, ya her x ker L ( k) \{0} ve k σ ( L) ç ( L' ( k) x, x ) < 0 dır, c) k ( ) = m max ( x, ), = 1,2,, L D x L dm L= x 0 L H x D, x 0 dm L= 1 x 0 k ( ) = max f ( x, ), = 1,2, > 1 durumuda bezer br teorem uygu şeklde seçle br aralığıdak özdeğerler ç verleblr. Hazırlık amacıyla aşağıdak koşulu verlmektedr. Koşul 1. Her x D, x 0 ç aşağıdaklerde brs sağlaır: a) l( k)[ x] > 0, k, b) l( k)[ x] < 0, k, c) l ( )[ ] 0 k0 x = olacak şeklde br tek k0 vardır ve l( k)[ x ] foksyou k 0 değerde azaladır. Burada l ( k)[ x]: = ( L ( k) x, x) tr. Raylegh foksyoel yalız c) durumuda, x ( ) = k0 olarak, y taımlıdır. D kümesdek dğer vektörler ç ( x ) foksyoel 81

8 N. Çolakoğlu, M. Hasaov, eğer k ç l( k)[ x] 0 se, x ( ): = <, eğer k ç l( k)[ x] > 0 se, şeklde geşletleblr. Bu şeklde geşletlmş ola foksyoele geelleştrlmş Raylegh foksyoel adı verlr (Bdg vd., 2000). Teorem 5 (Çolakoğlu vd., 2006). L ( k ) dalga t br oeratör olom ve, k R olsu. Bu takdrde σ k ( L) ve σ ( L ) ayrıktır. Ayrıca, eğer L ( ) k br = [ α, β ] R aralığıda Koşul 1 sağlarsa, [ α, β ] aralığıdak { k ( )} = 1 özdeğerler katlılıklar hesaba katılarak azalmaya sırada sıralamış olmak üzere aşağıdak varyasyoel lkelerle verlr: k ( ) = m max ( x, ), L D x L dm L= κ ( α) x 0 k ( ) = max f ( x, ). Burada L H x D, x 0 dm L= κ ( α) 1 x L { E l x x E} κ ( α): = maxdm ( α)[ ] < 0,0 şeklde taımlaır. Bu bölümde so olarak = 1 durumuda reel özdeğerler hareket le lgl br souç verlmektedr. k ( ) ( k ( ) ) le [ k( ), δ ( )) (( δ ( ), k ( )] ) aralığıdak özdeğerler azalmaya (artmaya) sırada gösterlrse aşağıdak souç elde edlr. Souç 2 (Çolakoğlu vd., 2006). ds sabt tutulduğuda ç k ( ) özdeğer sağa ve k ( ) özdeğer sola hareket eder. Kede eş oeratör foksyoları br sııfı ç sayısal bölge Bu bölümde br ve k arametrel dalga t oeratör olomlarda kayaklaa br kede eş oeratör foksyolar sııfı ç sayısal bölge ve kök bölgeler yaısı celemektedr. Bular özellkle dalga t oeratör olomları varyasyoel teors ç öemldr. Çok arametrel oeratör foksyoları sektrumuu varyasyoel teorsdek esas zorluklar kök bölgeler üst üste bmesde, ya oeratör foksyoları aşırı söümlü olmamasıda kayaklaır. Bu edele yalız dalga t oeratör olomları değl ama daha geş br aşırı söümlü olmaya oeratör foksyolar sııfıı çe ala geel br model oluşturulmaktadır. Sözü edle roblemler bu model çerçevesde ele alımaktadır. Buu yaarke, lglele roblemlerde dolayı, katsayılarla lgl koşullar yere olarda elde edle ve celee durumda uygulaması daha kolay ola koşullarla uğraşmak terch edlmektedr. Böylece aşağıdak koşullarla verle br model kurulmaktadır: (A1) Lk ( ):[ ab, ] SH ( ), L C 1 [ a, b] ve H Hlbert uzayıdak br G ' kose at her x 0 elemaı ç ( Lkxx ( ), ) = 0 deklem [ ab, ] aralığıda yalız k kökü ( x) ve ( x) vardır (burada katlılıklar göz öüe alımıştır ve ( x) ( x) tr) ve dğer x H \{ 0 } ç [ ab, ] aralığıda kökü yoktur. (A2) Eğer x G se ( L'( ( x)) x, x) < 0 ve ( L'( ( x)) x, x) > 0 olur. Burada G = { x G' ( x) ( x) }. (A3) ( Lkxx ( ), ) < 0 olacak şeklde br k [ a, b] sayısıı buluması ç gerek ve yeter şart x G olmasıdır. (A4) Eğer { x} G ' dzs x G ' elemaıa zayıf yakısaksa lmf ( x ) ( x) ve lmsu ( x ) ( x) olur. L oeratör foksyou ç { ± } { } W ' : = ( x) x G', ± W : = ( x) x G ± ± kümelere kök bölgeler adı verlr. ( Lkxx ( ), ) = 0 deklem reel br k 0 köküe, ( L'( k0) x, x ) fades şarete bağlı olarak o- 82

9 Kede eş oeratör foksyolar ç Resz bazı ve özdeğer roblemler ztf t, egatf t veya ötr der. Bezer şeklde L oeratör foksyou k, x özdeğer özvektör çfte ye ( L'( k) x, x ) ı şarete bağlı olarak oztf t, egatf t veya ötr der. Br k özdeğer, karşı gele bütü özvektörlerle oztf t çft oluşturuyorsa k özdeğer oztf ttr der. Negatf ve ötr özdeğer kavramları da bezer şeklde taımlaır. ± foksyoeller G ve G ' kümeler üzerdek sıırları aşağıdak gb taımlaır: δ = f ( x), k = f ( x), k' = f ( x), x G x G x G' δ = su ( x), k = su ( x), k' = su ( x). x G x G x G' Teorem 6. L oeratör foksyou (A1)-(A4) koşullarıı sağlası. Bu durumda aşağıdakler doğrudur: () k ± σ R ( L) : = σ ( L) R, () Eğer k ( k ) oktası σ ( L) br lmt oktası değlse, o zama her k W ' ( δ, k ] ( k W ' [ k, δ )) oztf (egatf) t br köktür. Özel olarak, ( δ, k ] ([ k, δ )) aralığıdak tüm özdeğerler oztf (egatf) ttr. İsat. İlk olarak () şıkkı k ç satlaacaktır. x G, x = 1, ( x ) k, x x (3) koşullarıı sağlaya br { x } dzs alısı, ( L( k ) x, x ) L( k ) L( ( x )) eştszlğde lm ( Lk ( ) x, x) = 0 elde edlr. (A2)-(A3) koşullarıda ve k ı taımıda Lk ( ) 0 dır. Burada da lm Lk ( ) x = 0, Lk ( ) x= 0 (4) elde edlr. (3) ve (4) ü sağlaya br dz var olmasıda k σ R ( L) soucu çıkar. Bezer şeklde k σ ( L) olduğu da satlaır. R () y satlamak ç W ' ( δ, k ] dek kökler oztf t olduğuu gösterlecektr. İlk olarak k ı özdeğer olduğuu ve oztf t çft oluşturduğu br özvektöre sah olduğu gösterlecektr. (3) ve (4) özellkler sağlaya br dz seçerlrse k σ ( L) br lmt oktası olmadığı ç x 0 ve (4) te x, k özdeğere karşı gele br özvektördür. (A4) koşuluda ( x) ( x) lmsu ( x) lmf ( x) olur. ( x ) k olduğu ç br alt dz ç ( x) ( x) lm ( x ) lm ( x ) yazılablr. Eştszlğ sağ tarafı oztftr ve lm ( x ) lm ( x ) = 0 durumuda k = lm ( x ) = lm ( x ) δ olacaktır k δ < k olmasıyla çelşr. Böylece ( x) < ( x) ve x G olur. (A4) koşuluda k ( x) olduğu ç k = ( x) elde edlr ve k, x çft (A2) de dolayı oztf ttr. Şmd k ı oztf t br özdeğer olduğuu gösterlecektr. k ya karşı gele br özvektör z 0 olsu. Eğer z egatf t olursa bu k ı taımıyla çelşr. z ötr de olamaz. ( L'( k ) z, z) = 0 olduğu kabul edlrse ve x, k ya karşı gele oztf t br özvektör olmak üzere zt = tx (1 t) z, t [0,1] alıırsa Lk ( ) z t = 0 olduğuda dolayı t [0,1] ç zt G' ve ( z t ) = k olur. K = { zt t [0,1]} olmak üzere K G' yol bağlatılı br küme olur. G ' üzerde sürekl, ( z0) = ( z) = k ve ( z1) = ( x) δ olduğua dkkat edz. ( K) bağlatılı olduğu ç her k ( ( x), ( z) ) br zt * K vardır öyle k ( zt ) = k olsu. Eğer k, δ k k * < < olacak şeklde seçlrse ( z ) = k < k, t* 83

10 N. Çolakoğlu, M. Hasaov ( z ) = k ve t* t* zt * G soucu elde edlr. ( z ) = k > δ olduğu ç bu δ taımıyla çelşr. Dolayısıyla z ötr olamaz ve k ı oztf t br özdeğerdr. Şmd se ( Lk ( ) zz, ) = 0 se ( L'( k ) z, z) > 0 olacağıı satlaacaktır. Lk ( ) 0 olduğu ç 2 ( ) Lk ( ) z Lk ( ) Lk ( ) zz, yazılablr. Burada k ı özdeğer, z se oa karşı gele özvektör olduğu ve dolayısıyla oztf t br çft oluşturdukları görülür. k oktası δ < k < k eştszlğ sağlası ve z ç ( Lkzz ( ), ) = 0 deklem br kökü olsu. ( L'( k) z, z ) < 0 olamaz çükü burada z G ve k = ( z) olduğu soucu çıkar k δ < k eştszlğyle çelşr. ( L'( k) z, z ) = 0 olduğu kabul edlrse k = ± ( z) olacaktır. k özdeğere karşı gele oztf t br x özvektörü alısı ve zα = z α x taımlası. Gerektğde x yere x yazarak Re ( Lkzx ( ), ) 0 olduğuu kabul edleblr. δ < k < k olduğu ç ( Lkxx ( ), ) < 0 olacaktır ve buda dolayı α > 0 ç ( Lkz ( ) α, zα) = ( Lkzz ( ), ) 2α Re( Lkzx ( ), ) 2 α ( Lkxx ( ), ) < 0 olacaktır. (A3) koşuluda α > 0 ç z α G ve burada da lm ( z ) = ( z) = k δ α α 0 elde edlr k δ < k le çelşr. W ' [ k, δ ) durumu da bezer şeklde celer. Teorem 7. L oeratör foksyou (A1)-(A4) koşullarıı sağlası. Eğer k W ' ( k, k' ] ( k W ' [ k', k )) se k ötr br özdeğerdr. (A1)-(A4) koşullarıı sağlaya oeratör foksyo ç kümeler bağlatılı olmayablr. W ± W ± kümeler bazı kısımlarıı bağlatılı olduğuu gösterlecektr. Bu amaçla { δ } { ( ) δ } G = x G ( x) >, G = x G x < kümeler taımlası. Eğer G ( G ) boş değlse W ± bazı arçaları bağlatılıdır. J± : = ± ( G± ) olsu. Eğer G ( G ) boşsa J ( ) y boş kabul edls. G ± durumuda J J = W ( δ, k ] ve J = W [ k, δ ) olacaktır. Teorem 8. L oeratör foksyou (A1)-(A4) koşullarıı sağlası. Eğer H komleks br Hlbert uzayıysa, G ± yol bağlatılı ve J ± bağlatılıdır. İsat. ± foksyoeller G üzerde sürekl olduğu ç J ± bağlatılı olması G ± yol bağlatılı olmasıda çıkar. G ı yol bağlatılıdır. x, y G se ( x) > δ, ( y) > δ, ( x) δ ve ( y) δ olacaktır. ε > 0 sayısı ( x) > δ ε, ( y) > δ ε olacak şeklde seçlr ve k = δ ε alıırsa k ( ( x), ( x)) ( ( y), ( y)) (5) olur. λ = 1 veya -1 seçls öyle k Re [ λ ( Lkxy ( ), )] oztf olması. x = λx, zα = α x (1 α) y, α [0,1] şeklde taımlaırsa 2 ( Lkz ( ) α, zα) α ( Lkxx ( ), ) = 2 α(1 α)re λ( ( ), ) 2 (1 α) ( ( ), ) [ Lkxy] Lk yy olur. Eğer x G se (A2) ve (A3) te dolayı ( Ltxx ( ), ) < 0 t ( ( x), ( x)) 84

11 Kede eş oeratör foksyolar ç Resz bazı ve özdeğer roblemler olacaktır. t = k seçlrse (5) te ( Lkxx ( ), ) < 0 ve ( Lk ( ) yy, ) < 0 soucu çıkar. Burada α [0,1] ç ( Lkz ( ) α, zα ) < 0 olur. Bu da z α G ve k < ( z ) α soucu verr. k > δ olduğua göre α [0,1] ç zα G olur. Dolayısıyla x le y vektörler G ı çde kala br doğru arçası le brleştrleblrler. H komleks br uzay olduğu ç λ = 1 durumuda x ve x vektörler G da xe ϕ, 0 ϕ π eğrs aracılığıyla brleştrleblr. Bezer br sat G ç de verleblr. Bazı ek koşullar altıda kök bölgeler üst üste ber. Teorem 9. L oeratör foksyou (A1)-(A4) koşullarıı sağlası. Eğer G ve G H \{ 0 } se δ δ olur. İsat. G koşuluda x1 tarafta H G \{ } G vardır. Dğer 0 koşuluda x2 G vardır. x 1 de x 2 ye br yol zt = (1 t) x1 tx2, 0 t 1 şeklde olacaktır. x1 G, x2 G ve G açık olduğu ç br t * (0,1] sayısı vardır öyle k her t [0, t* ) ç z t G olsu. G = G' olduğu ç z G' olur. Şmd t* δ = f ( z) lm ( z ) = ( z ) = t z G t t* 0 = ( z ) = lm ( z ) = su ( z) = δ yazılablr. t* t t t* 0 z G Aaltk olmaya oeratör foksyoları br sııfı ç özvektörlerde oluşa Resz bazları Bu bölümde kede eş ve sürekl oeratör foksyoları br sııfı ç Resz bazı özellkler ele alımaktadır. Bölümü devamıda aşağıdak koşulu sağladığıı kabul edlmektedr: t* Koşul 2. L ( a) << 0, L ( b) >> 0, her H 0 ç ( L( α ) x, x) foksyouu ( ab, ) aralığıda tek br kökü vardır ve π ( L) = { γ} ( a, b). x \{ } C([ a, b], S( H )) uzayıı yoğu br alt uzayıda, eğer γ ı sağıda yada soludak özdeğerler solu sayıda se, Koşul 2 altıda L oeratör foksyouu ( ab, ) aralığıdak özdeğerlere karşı gele özvektörler Resz bazı oluşturduğuu göstere br teorem verlmektedr. Sözü geçe sııf Cγ ([ a, b], S( H)) le F gösterlmektedr. Bu bölümde verle esas souç aşağıda taımlaa yaklaşık Resz bazı kavramıyla bağlatılıdır. Taım 2. L C([ a, b], S( H)) olsu. Eğer ç L L (düzgü) olacak şeklde br { L } C([ a, b], S( H)) dzs var ve her ç = 1 L özvektörler H uzayıda Resz bazı oluşturuyorsa L oeratör foksyouu özvektörler yaklaşık Resz bazı oluşturuyor der. PW ([ a, b], S( H )) le arçalı leer ve sürekl oeratör foksyoları gösterls (Hasaov, 2002; Maksudov ve Gasaov 1993). F F PWγ ([ a, b], S( H )) alt uzayı Cγ ([ a, b], S( H)) alt uzayı bezer şeklde taımlaıyor. Esas olarak yukarıdak kayaklarda verle yaklaştırım yötem kullaılmaktadır. Bu yöteme göre Raylegh sstem aksyomlarıı (bkz. Abramov, 1983; Maksudov ve Gasaov 1993) sağlaya br sürekl oeratör foksyoa ayı sııfta arçalı leer olalarla yaklaşılablr. Bu bölümde ele alıa oeratör foksyolar Raylegh sstemler br alt sııfıı oluşturur. Bu edele lk olarak arçalı leer oeratör foksyolar ç baz roblemyle lgl br teorem verlmektedr. Teorem 10 (Hasaov vd., 2006). L PW([ a, b], S( H)) oeratör foksyou Koşul 2 y sağlası. Eğer L oeratör foksyou γ oktasıda türetleblr veya F L PWγ ([ a, b], S( H )) se [ ab, ] aralığıdak özdeğerlere karşı gele özvektörler H da Resz bazı oluştur. 85

12 N. Çolakoğlu, M. Hasaov Bu teorem yardımıyla souç olarak aşağıdak teorem elde edlr. Teorem 11 (Hasaov vd., 2006). Eğer br L oeratör foksyou Koşul 2 y sağlar ve F L Cγ ([ a, b], S( H)) se bu takdrde L özvektörler yaklaşık Resz bazı oluştur. Kayaklar Abramov, Yu., (1983). Varatoal methods the theory of oerator ecls, Legrad Uv., Legrad (Russa). Abramov, Yu., (1986). To arameter oerator ecls of avegude tye, Russa Academy of Sceces Doklady Mathematcs, 286, 4, Abramov, Yu., (1993). Pecls of avegude tye ad related extremal roblems, Joural of Sovet Mathematcs, 64, 6, Azzov, T. Ya., Djksma, A. ve Sukhocheva, L. I., (2000). O bass roertes of selfadjot oerator fuctos, Joural of Fuctoal Aalyss, 178, Barsto, E. M., (1974). A mmax rcle for ooverdamed systems, Iteratoal Joural of Egeerg Scece, 12, Bdg P., Esché D. ve Lager H., (2000). Varatoal rcles for real egevalues of selfadjot oerator ecls, Itegral Equatos ad Oerator Theory, 38, 2, Çolakoğlu, N., Hasaov, M. ve Üalmış Uzu, B., (2006). Egevalues of to arameter olyomal oerator ecls of avegude tye, Itegral Equatos ad Oerator Theory, 56, Esché, D. ve Lager M., (2004). Varatoal rcles for egevalues of self-adjot oerator fuctos, Itegral Equatos ad Oerator Theory, 49, 3, Grv, R. O. ve Mel'k, T. A., (1997). O a sgular Raylegh fuctoal, Mathematcal Notes, 60, 1-2, Hasaov, M., (2002). A aroxmato method the varatoal theory of the sectrum of oerator ecls, Acta Alcadae Mathematcae, 71, Hasaov, M., (2006). O the sectrum of a eak class of oerator ecls of avegude tye, Mathematsche Nachrchte, 279, 8, Hasaov, M., Uzu B. Ü. ve Çolakoğlu, N., (2006). A ote o Resz bass of egevectors for a class of oaalytc oerator fuctos, Rocky Mouta Joural of. Mathematcs, 36, 2, Kostyucheko, A. G. ve Orazov, M. B., (1986). The roblem of oscllatos of a elastc half cylder ad related selfadjot quadratc ecls, Joural of Sovet Mathematcs, 33, Maksudov, F. G. ve Gasaov, M. G., (1993). O the varatoal theory of the sectrum of the oerator ecls, Russa Academy of Sceces. Doklady. Mathematcs, 46, 1, Markus, A. S., (1988). Itroducto to the sectral theory of olyomal oerator ecls, Traslatos of Mathematcal Moograhs, Vol.71, Amerca Mathematcal Socety, Provdece, RI. Markus, A. S. ve Matsaev, V., (1991). Prcal art of resolvet ad factorzato of a creasg oaalytc oerator fucto, Itegral Equatos ad Oerator Theory, 14, Markus, A. S. ve Matsaev, V., (1993). Factorzato of a selfadjot oaalytc oerator fucto II, Itegral Equatos ad Oerator Theory, 16, Matsaev, V. ve Sgel, E., (1993). Codtos for egevectors of a selfadjot oerator-fucto to form a bass, Itegral Equatos ad Oerator Theory, 17, 3, Slberglet, A. S. ve Kolevch, Yu. I., (1983). Sectral theory of regular avegudes, Fzko- Tekhchesky Isttut, Legrad (Russa). Slberglet, A. S. ve Kolevch, Yu. I., (1996). Sectral theory of guded aves, Isttute of Physcs Publshg, Brstol. Voss, H. ve Werer, B., (1982). A mmax rcle for olear egevalue roblems th alcatos to ooverdamed systems, Mathematcal Methods the Aled Sceces, 4, Voss, H., (2003a). A ratoal sectral roblem flud-sold vbrato, Electroc Trasactos o Numercal Aalyss, 16, Voss, H., (2003b). A maxm rcle for olear egevalue roblems th alcato to a ratoal sectral roblem flud- sold vbrato, Alcatos of Mathematcs, 48, 6, Werer, B., (1971). Das sektrum vo Oeratoreschare mt verallgemeerte Rayleghquotete, Archve for Ratoal Mechacs ad Aalyss, 42,