Düşey girişimli basınç testlerinin modellenmesi ve parametre tahmini

Transkript

1 itüdegisi/d mühendislik Cilt:4, Sayı:6, 29-4 Aalık 25 Düşey giişimli basınç testleinin modellenmesi ve paamete tahmini İhsan Muat GÖK *, Mustafa ONUR İTÜ Maden Fakültesi, Petol ve Doğal Ga Mühendisliği Bölümü, 34469, Ayaağa, İstanbul Öet Bu çalışmada, düşey yöndeki geçigenlik değeleinin belilenmesine de olanak tanıdığı için endüstide yaygın kullanım alanı bulan bi kuyunun faklı noktalaında yeel olaak yapılabilen düşey giişimli basınçaman seti veileinden (öneğin çoklu-pob ve pake-pob testlei) kayaç öellikleinin belilenmesi poblemi üeinde duulmuştu. Yatay ve düşey yöndeki heteojenlikten etkilendiği bilinen düşey giişim testi basınç veileinin yatay ve düşey yöndeki heteojenliğin çöümlenmesinde ne deece etkili olduğu bu çalışmada aaştıılmıştı. Bunun için, düşey giişim testlei bu çalışmada geliştiilen üç boyutlu (3-B) -θ- tek-falı sayısal akış simülatöü ile modellenmişti. Bu sayısal simülatöe tes poblem metodolojisi üeine kuulu doğusal olmayan paamete tahmin yöntemi entege edilmişti. Doğusal olmayan paamete tahmini, gadyent temelli Levenbeg-Maquadt algoitması kullanılaak geçekleştiilmişti. Bu çalışmada geliştiilen model kullanılaak, sentetik olaak tasalanmış bi pake poblu ve bi çoklu poblu düşey giişim testinin analii sunulmuştu. Anahta Kelimele: Düşey giişimli basınç testi, heteojen kayaç öelliklei, eevua simülasyonu, doğusal olmayan paamete tahmini. The modeling of the vetical intefeence test and paamete estimation Abstact In this study, detemining heteogeneity in ock popeties fom vetical (multi- pobe and packe-pobe fomation test) intefeence pessue data sets, hich has a idespead usage in the industy fo alloing paticulaly the detemination of vetical pemeabilities along the ellboe, as investigated. It is knon that spatial pessue data sets of the vetical intefeence test contain infomation about heteogeneity in ock popeties in both lateal and vetical diections. Thus, it as examined to hat degee the heteogeneity in lateal and vetical diections can be esolved fom vetical intefeence tests. Theefoe, vetical intefeence tests ee modeled ith a thee dimensional (-θ-) single-phase flo simulato developed in this study. The simulato as extensively veified by compaing its esults ith analytical solutions given in the liteatue and ith the esults of commecial simulato ECLIPSE, fo a vaiety of cases. Non-linea paamete estimation capability based on this invese poblem theoy has been integated into this 3-D simulato to solve non-linea paamete estimation poblem. Non-linea paamete estimation is achieved by using the ell-knon gadient-based Levenbeg-Maquadt algoithm. The use of thee diffeent methods (finite diffeence, gadient simulato, and adjoint) fo efficiently computing sensitivities coefficients equied in the Levenbeg-Maquadt algoithm has been investigated. Synthetic examples of multi-pobe and packe-pobe vetical intefeence test ee shon by using model developed in this study. Keyods: Vetical intefeence pessue test, heteogeneous ock popeties, esevoi simulation, nonlinea paamete estimation. * Yaışmalaın yapılacağı yaa: İhsan Muat GÖK. gok@itu.edu.t, Tel: (22) Bu makale, biinci yaa taafından İTÜ Maden Fakültesi nde tamamlanmış olan "Düşey giişimli basınç testleinin modellenmesi ve paamete tahmini" adlı doktoa teinden haılanmıştı. Makale metni taihinde degiye ulaşmış, taihinde basım kaaı alınmıştı. Makale ile ilgili tatışmala taihine kada degiye göndeilmelidi.

2 İ. M. Gök, M. Onu Giiş Düşey giişimli basınç testlei, düşey yöndeki geçigenlik değeleinin belilenmesine de olanak tanıdığı için endüstide yaygın olaak kullanılan bi basınç testi tüüdü (Goode ve Thambynayagam, 99; Poett vd., 2). Bu tü basınç testlei ile eevua içeisinde ye alan olası tabakalaın düşey yönde bibii ile hidolik ilişki içeisinde olup olmadığı ve eevua üetim/enjeksiyon pefomansını önemli ölçüde kontol eden düşey ve yatay yöndeki geçigenlik ve göeneklilik değeleinin belilenmesi olasıdı. Ayıca, bu testle sıasında fomasyan akışkan öneklei alınabili, fomasyon hasaı ve fomasyon ilk basınçlaı hakkında önemli bilgile saptanabilmektedi. Düşey giişim testleinde genelde iki faklı konfigüasyon kullanılabilmektedi (Kuchuk, 994; Onu ve Kuchuk, 999; Onu ve Kuchuk 2). Şekil de gösteilen konfigüasyonda, genelde tabakaladan biine yeleştiilen çiftli pake aalığından belli bi süe boyunca üetim (veya enjeksiyon) yapılaak, çiftli pake aalığının otasından düşey yönde o (ve/veya o2 ) kada uaklıkta bulunan geçiimsi çamu kekini deleek fomasyona içine yeleştiilen bi (ve/veya iki) düşey gölem noktasında (pobunda) süekli olaak basınç kaydedili. Ayıca, çiftli-pake aalığına yeleştiilen bi basınç ölçe yadımıyla çiftli-pake aalığında üetim (veya enjeksiyon) sıasında basınç süekli olaak kaydedili. Dolayısıyla, Şekil de gösteilen çiftli-pake ve çift gölem noktalı bi düşey giişim testi sıasında, üç tip basınç-aman veisi; çiftli-pake aalığı basınç-aman veisi,. düşey gölem noktası basınç-aman veisi ve 2. düşey gölem noktası basınç-aman veisi eşamanlı olaak kaydedili. Şekil 2 de ise, endüstide daha a sıklıkla kullanılan çok-poblu düşey giişim testine ait şematik gösteilmektedi (Zimmeman vd., 99; Goode ve Thambynayagam, 99; Poett vd., 2, Onu vd., 22). Bu tü giişim testleinde, üetim pobu (sink pobe) olaak isimlendiilen bi pob yadımıyla üetim yapılıken, bu pobtan aynı yatay dülemde 8 uaklıkta bulunan yatay gölem pobu ile üetim pobundan düşey yönde o kada uaklıkta bulunan bi düşey gölem noktası pobundan (baı duumlada, üetim pobundan düşey yönde o ve o2 kada uaklıkta bulunan iki adet düşey gölem pobu da kullanılabilmektedi) süekli olaak basınçla kaydedili. İki gölem pobu kullanıldığında aalaında mesafe genelde 8 ft kadadı. Bu testlede amaç, kaydedilmiş faklı basınçaman seti veileinden, tabakalaa ait yatay ve düşey yöndeki geçigenlik değelei (k h ve k v ile gösteilmektedi) ile tabakalaa ait göeneklilik ( φ ) değeleinin belilenmesidi. Çiftli Pake Çiftli-Pake 2. Gölem Noktası Pobu 2. Pob. Gölem o2 Noktası Pobu o2. Pob l l Tabaka- o o Tabaka 2 Tabaka-2 Tabaka-3 3 Şekil. Tabakalı bi eevuada çift pake ve iki gölem poblu düşey giişi testine ait şema Düşey pob Yatay pob Kuyu Çamu keki o Şekil 2. Tabakalı bi eevuada çoklu-pob düşey giişim testine ait şema Alışılagelmiş kuyu testleine altenatif olaak öneilen ve yaygın uygulama alanı bulan, çokpoblu veya pake-poblu testleden elde edilen faklı noktaladaki (uaysal) basınç seti ölçümleinin, hem düşey hem de yatay doğultudaki kayaç heteojenliğine ait daha fala bilgi ihtiva h h 2 h 2 Üetim pobu h 3 3

3 Düşey giişimli basınç testlei ettiği, bi başka deyişle, daha çok etkilendiği bilinmektedi. Ancak, bu tü testleden, yatay ve düşey yönde uaysal heteojenliğin ne ölçüde çöümlenebileceği üeinde liteatüde detaylı çalışmala bulunmamaktadı. Dolayısıyla, bu çalışmada, bu tü düşey giişim testleinden elde edilen basınç veileinden heteojenliğin ne ölçüde çöülebileceği detaylı olaak aaştıılmıştı. Bu çalışmada, heteojenlik için iki faklı modelleme gö önünde bulunduulmuştu. Bu modelleden biinde, he tabakada faklı kayaç ve akışkan öellikleine sahip bölgelein bulunduğu diğeinde ise, daha küçük ölçekte, yani gidblok ölçeğinde kayaç öellikleinin jeoistatistiksel modellee uygun olaak değiştiği kabul edilmişti. Matematiksel temelle Heteojen sistemlede düşey giişim testleini modelleyebilmek ve bu tü sistemleden elde edilen düşey giişim basınç testi veileinden geçigenlik ve göeneklilik değeleini ve dağılımlaını kestiebilmek, ancak sonlu fakla gibi sayısal yöntemle üeine kuulu sayısal modellele mümkün olabilmektedi. Bu çalışmada bu amacı geçekleştimek için, 3 boyutlu -θ- tekfalı bi akış simülatöü geliştiilmişti. Geliştiilen simülatöe ilişkin eevua/kuyu sisteminin geometisi Şekil 3 te sunulmuştu. Simülatöü geliştiiken yapılan temel vasayımla; akışkan akışının tek falı, küçük ve sabit sıkıştıılabililikli olduğu, geçigenlik asal bileşenleinin -θ- yönlei ile çakışık olduğu ve eevuaın -θ düleminde yatay olduğudu. Ayıca, göenekliliğin ve geçigenliğin basınçla değişmediği vasayılmıştı. Bu vasayımla altında kütlenin kounumu pensibi ve Dacy denkleminin kullanımıyla elde edilen basıncın amana ve konuma (,θ,) göe değişimini tanımlayan difüyon denklemi, başlangıç ve sını koşullaı ile tanımlı başlangıç-sını değe poblemi aşağıdaki denklemlele veilebili: k k + (, θ, ) p k (, θ, ) (, θ, ) µ µ Başlangıç koşulu + 2 θ p D γ = c φ (, θ ) θ µ (, θ, ) p θ p ct t () p (, θ,, t = ) = p, (2) ve sını koşullaı p D γ p D γ, θ, =, θ,= h =,, θ 2π =,, θ 2π e e (3) (4) θ e Reevuaın üstü = = Reevuaın üstü Düşey pob Düşey gölem noktası k θ (, θ, ) p k (, θ, ) µ θ p =, θ µ θ (5), θ=,, θ= 2π,, h e h h =h =h =h 2 =h 2 p (, θ =, ) = p(, θ = 2π, ),, h e (6) =h =h altı Reevuaın altı p = e, θ, =, h, θ 2π (7) Şekil 3. Silindi şeklinde bi eevuadan düşey bi kuyuya kısmi bi aalıktan üetim yapılan sistemin gösteimi p =, θ, =, h, h2 h, θ 2π (8) q sf ( t) = c 2πh2 k p 2 µ h =,, θ d dθ. (9) 3

4 İ. M. Gök, M. Onu Yukaıdaki denklemlede, k md cinsinden yönündeki geçigenliği, k θ md cinsinden θ yönündeki geçigenliği, k md cinsinden yönündeki geçigenliği, µ cp cinsinden akmalığı, φ göenekliliği, c t psi - cinsinden toplam sıkıştıılabililiği, p psi cinsinden basıncı, γ psi/ft cinsinden akışkan gadyenini, ft cinsinden kuyu yaıçapını, e ft cinsinden eevuaın dış sınıını, q sf bbl/gün cinsinden akış debisini, h ft cinsinden açık aalığın üst sınıını, h 2, ft cinsinden açık aalığın alt sınıını, D ft cinsinden yönünde deinliği göstemektedi. Bu çalışmadada saha biimlei kullanılmıştı ve aman değişkeni t nin geçtiği tüm denklemlede, t saat cinsinden ve c =2.637x -4, c 2 =.27x -3 sabitine eşitti. Denklem -9 aasında başlangıç ve sını değei poblemi sonlu fak yöntemi kullanılaak ayık bi fomda yaılaak aşağıdaki şekilde bi matis-vektö poblemi olaak ifade edilebi. A n+ n n+ p = d. () Denklem () da A n+ oluşan katsayı matisini, n+ p bilinmeyen basınç vektöünü, d n bi önceki aman değeinde sağ yan vektöünü göstemektedi. Denklem nun he aman adımında çöülmesiyle he gidbloktaki basınç ve kuyudibi akış basıncı hesaplanmaktadı. Bu çalışmada Denklem nun çöülmesi için diğe yöntemlee göe daha hılı olmasından dolayı SSIP (Symmetic Stongly Implicit Pocedue) matis çöümleyicisi (Welty ve Meijeink, 98), geliştiilen simülatöde matis çöümleyicisi olaak tecih edilmişti. Geliştiilen simülatö sonuçlaının analitik çöümleden (Kuchuk ve Onu, 23) elde edilen sonuçla ve ticai simülatö olan ECLIPSE den (Schlumbege, 22) elde edilen sonuçla ile kıyaslanmıştı. Bu kıyaslamala yapılıken biçok düşey giişim testi gö önünde bulunduulmuştu. Hem analitik çöümleden hem de ECLIPSE den elde edilen sonuçlaın bu çalışmada geliştiilen simülatöün sonuçlaı ile uyumlu olduğu göülmüştü. Doğusal olmayan paamete tahmini Tüm optimiasyon yöntemleinde, veilen bi model paamete seti değelei için modelden hesaplanmış basınç-aman veilei ile ölçülmüş basınçaman veilei aasındaki uyumsuluğu (mismatch) tanımlayan bi hedef fonksiyon kullanılı. Bu çalışmada gö önünde bulunduulan düşey giişim testi pobleminde olduğu gibi, çakıştımada biden fala basınç-aman seti veileinin kullanılması olası olduğu ve he bi ölçüm basınçaman seti veilei için faklı ölçüm hatalaının olduğunun düşünülebileceği duumlada, kullanılacak en temel ve klasik optimiasyon yöntemi ağılıklı en küçük kaele olacaktı. Ağılıklı en küçük kaele yöntemi için hedef fonksiyon aşağıdaki denklemle veilebili (Bad, 974): S 2 T ( d ) C ( d ( m) d ) ( m) = d ( m) cal obs D cal obs () Buada, d obs, ölçülmüş basınç veileini (öneğin pake aalığında veya gölem pobunda ölçülen basıncı) ihtiva eden N d boyutlu bi vektödü. N d ölçülmüş toplam basınç-aman vei sayısını temsil etmektedi. d cal, ölçümüş vei vektöü d obs ye kaşılık veilen model paamete vektöü m için simülatöden hesaplanmış basınç veileini içeen N d boyutlu vektödü. C D, basınç veileine ait hata kovayans matisidi. m ise, M boyutlu tahmin edilecek model paameteleine ait vektöüdü. En genel (üç boyutlu aniotopik geçigenlik) duumunda, m [ φ, k, k, k, S, C, P P ], T m = (2) θ şeklinde tanımlanı. Buada, φ, N boyutlu simülatö gid blok göeneklilikleini içeen vektö, k N boyutlu simülatö gidblok ln(k ) geçigenlikleini içeen vektö, k θ N boyutlu simülatö gidblok ln(k θ ) geçigenlikleini içeen vektö, k N boyutlu simülatö gidblok ln(k ) geçigenlikleini içeen vektö, S, N s boyutlu a faktöleini içeen vektö, C ise N c boyutlu kuyuiçi depolama katsayılaını içeen vektö, f 32

5 Düşey giişimli basınç testlei p N p boyutlu ilk basınçlaı içeen vektö, p f ise t= anında ilk kuyudibi akış basınçlaını ihtiva eden N boyutlu vektödü. N toplam gidblok sayısını, N s üetim aalığında ve/veya gölem pobu noktalaında tahmin edilecek toplam a faktöü değeini, N c üetim aalığında ve/veya gölem pobu noktalaında tahmin edilecek toplam kuyu içi depolama katsayısını, N p fomasyonda tahmin edilecek toplam ilk basınç değeini göstemektedi. N ise kuyuda tahmin edilecek toplam ilk kuyudibi akış basıncını göstemektedi. Ağılıklı en-küçük kaele yöntemine ek olaak, düşey giişim basınç testi veileine koşullu geçigenlik ve göeneklilik dağılımlaı, son yıllada yaygın kabul bulan Bayes olasılık teoemi üeine kuulu tes poblem metodolojisi kullanaak da kestiilmişti (Olive, 994; He vd., 997; Zeybek ve Onu, 23). Bu tes poblem metodolojisi ile hem doğudan ölçümle yolu ile elde edilen statik veilee (kuyu-loglaı ve kaot analileinden elde edilen geçigenlik ve göeneklilik değeleine ve bu öelliklein jeoistatistikten belilenen uaysal koelasyonlaına) hem de dolaylı ölçümleden kuyu basınç testi veileine koşullu geçigenlik ve göeneklilik değeleinin kestiimi olasıdı. Bayes paamete kestiim yönteminde, basınç veileini sağlayan göeneklilik/geçigenlik sahalaı aşağıda tanımlanan hedef fonksiyonun minimiasyonundan elde edilmektedi: S( m ) = + 2 T [( m m ) C ( m m ) pio pio T ( d cal( m ) dobs ) CD ( d cal( m ) dobs )] M. (3) Denklem 3 ile veilen hedef fonksiyon ile he bi kayaç öelliği (yani, ln(k ), ln(k θ ), ln(k ) ve φ) duağan bölgesel astlantısal nomal değişkenle olaak düşünülebilmekte ve hatta değişkenle aasında koelasyonu modellemek olanaklı olmaktadı. Denklem 3 de, C M önsel vayogam modelinden elde edilecek, önsel kovayans matisti ve m pio ise değişkenlee ait önsel otalama değeleidi. Önsel jeoistatistiksel modelin bilinmediği ve model paameteleine ait otalama değelede çok büyük oanda belisilik olduğu duumlada, Denklem 3 deki ikinci teim atılabili ve bu duumda, Denklem 3 ile tanımlı hedef fonksiyon, Denklem ile tanımlanan ağılıklı en küçük kaelee ait hedef fonksiyonuna indigeni. Denklem 3 ün, ağılıklı en küçük kaelee için tanımlanan hedef fonksiyonuna (Denklem ) göe en önemli fakı, bilinmeyen model paameteleine ait dağılımlaın ve önsel otalama değeleinin bilindiği duumlada, bu bilginin çakışmaya dahil edilmesine olanak sağlamasıdı. Denklem 3 deki hedef fonksiyonu kullanılaak kestiilen paameteledeki belisiliğin saptanabilmesi için maksimum sonsal kestiime ( m ) ait sonsal kovayans matisin hesaplanması geekmektedi. Bu matis aşağıdaki şekilde tanımlanı: C MP = C M C M G T ( G CM G CD ) G CM T +. (4) Yukaıdaki denklemde, G sonsal tahmin m dan hesaplanan duyalılık katsayılaına ait matisi göstemektedi. Bu çalışmada Denklem veya 3 de tanımlanan hedef fonksiyonu, Levenbeg-Maquadt algoitması ile etkin bi şekilde minimie edilmişti (Levenbeg, 944; Maquadt, 963). Gadyentbalı minimiasyon algoitmalaın kullanılıken he iteasyonda ölçüm veileinin bilinmeyen paametelee göe tüevini ihtiva eden duyalılık katsayısı matisine ihtiyaç duyulmaktadı. Genelde, sonlu fakla üeine kuulu sayısal modellede duyalılık katsayılaını hesaplamada kullanılabilecek üç faklı yöntem mevcuttu. Bunla sonlu fakla (diek veya değiştime yöntemi olaak da liteatüde isimlendiilmektedi) yöntemi, gadyent simülatö yöntemi ve adjoint yöntem olaak ifade edilmektedi. Sonlu fak yöntemi paamete sayısının oldukça fala olduğu duumlada, geektidiği çok fala ilei simülatö hesaplaması nedeniyle, tecih edilemeyecek bi yöntemdi. Bundan dolayı bu yöntem bu çalışmada paamete tahmin ediliken kullanılmamıştı. Sadece gadyent simülatö ve adjoint yöntemleinin doğuluğunu sınamak için kullanılmıştı. 33

6 İ. M. Gök, M. Onu Gadyent simülatö yöntemi, geçmiş veilee otomatik çakıştıma konusu kapsamında kullanılmak üee Anteion ve diğelei (989) taafından öneilmişti. Yöntem, sonlu-fak denklemleinin he bi model paametesine göe kısmi tüevinin alınması esasına dayanı. Sonuçta elde edilen denklem, matis-vektö fomunda aşağıdaki gibi veili: T n+ n T p + n+ [ n+ ( f ) ] = v n ( f ) p m j T T [ ] p p m n j f m n+ j. (5) Bu denklemde f akış teimleine ait vektöü göstemektedi. Gadyent simülatö yöntemi, toplam paamete sayısı M nin eldeki ölçüm veilei sayısı N d den daha a olduğu duumlada hesaplama amanı açısından çekici hale gelmektedi. M nin N d den büyük olduğu duumlada duyalılık katsayılaının hesaplanması için adjoint yöntem öneilmektedi. Adjoint yöntem, ilk olaak Chen ve diğelei (974) ve Chavent ve diğelei (975) taafından kateyen gid sistemleinde tek falı akış sistemi gö önünde bulunduulaak geliştiilmişti. Adjoint denklem takımı öncelikle adjoint değişkenle için çöüldükten sona, duyalılık katsayı matisi G de geekli duyalılık katsayılaı aşağıdaki denklem yadımı ile hesaplanı: n= n ( f ) L T n J = β + λ (6) m m m Yukaıdaki denklemde λ adjoint değişken vektöünü, J ve β akış teimleine ait vektö f nin adjoint denklemleinde fonksiyonunu göstemektedi. Sentetik veile kullanılaak yapılan uygulamala Önek uygulama- Daha önce belitildiği gibi bu çalışmada, he tabakanın faklı kayaç ve akışkan öellikleine sahip biden fala bölgeden oluştuğunu kabul eden heteojen model uygulamalaınada ye veilmiş ve bu tü sistemleden paamete tahmini üeinde duulmuştu. Bu tü modelle, genellikle sondaj akışkanın fomasyona filtasyonundan dolayı fomasyonun yakın civaında mobilitesi o2 =.3 o2 =.3 ft o o =2.3 = =25 Yatay pob Yatay Pob V2 gölem Pobu 2. Gölem pobu Kilenme bölgesi Filtasyon Bölgesi. V Gölem gölem pobu Üetim (Sink ) pobu Üetim pobu i =.76 i =.76 ft Fomasyon h =5 h =5 ft Fomasyon Şekil 4. Sentetik tek tabakalı, kompoit bi modelde çoklu-pob düşey giişim test şeması ve stoativitesi daha faklı kilenmiş bölgelein basınç testlei üeinde etkisini çalışmak için kullanılabilini. İste su balı iste petol balı çamu kullanılmış olsun, bu bölgeye filte olan akışkanın akmalığı ve sıkıştıılabililiği fomasyonun ojinal akışkanın akmalığı ve sıkıştıılabililiğinden ve hatta bu bölgedeki etken geçigenlik fomasyonunkinden faklı olacaktı. Bu poblem, he tabakada faklı öelliklee sahip iki bölgeden oluştuğu düşünüleek modellenebili ve paamete tahmini yapılabi-lini. Şekil 4 de bu uygulamada tasalanmış çok-poblu düşey giişim testi şematiği gösteilmişti. Bu uygulamada amaç, hangi basınç seti veileinden kilenmiş ve kilenmemiş bölgelee ait paametelein güvenili olaak bulunabileceğini aaştımaktı. Şekil 4 teki gibi bi sistemi modellemek için kullanılan paametele Tablo a ve Tablo b de sunulmuştu. Şekil 4 den de göüleceği üee bu uygulamada basıncın 4 ayı noktada kaydedildiği kabul edilmiş ve bu poplaa ait basınç davanışlaı Şekil 5 de sunulmuştu. Şekil 5 de gösteilen basınçlaı hesaplamak için toplam N = 9656 ( N = 26, N θ = 2, N = 63) simülatö bloğundan oluşan gid sistemi kullanılmıştı. Geçek bi teste benemesi açısından he bi pobtan kaydedilen basınç setlei üeine sıfı otalamalı ve faklı vayanslı nomal dağılımlı asgele hata eklenmişti. 34

7 Düşey giişimli basınç testlei Çeşitli vei setleiyle yapılan çakıştıma uygulamalaı sonucunda elde edilen sonuçla % 95 güvenililik aalıklaı (Doğu vd., 977) ile Tablo 2 de sunulmuştu. Tablo 2 de sunulan uygulamalada ilk olaak, üetim, yatay ve düşey gölem poplaı beabe kullanılmıştı (No:3, S+H+V+V2). Tablo 2 de de göüleceği üee hem yatay hem de düşey mobilitele doğu değelee oldukça yakındı. Buna kaşın, toplam sıkıştıılabililik ve göeneklilik değelei doğu değelein oldukça uağındadı. Ancak tahmin edilen sıkıştıılabilik ve göeneklilik değeinin çapımı, doğu değelein çapımına oldukça yakındı. Bu paametele (göeneklilik ve sıkıştıılabililik) bibii ile koelasyonlu olduğu için bağımsı olaak bu paametelei bulmak mümkün değildi. Bundan dolayı, bundan sonaki uygulamalada da anali sonucu elde edilen göeneklilik ve sıkıştıılabililiğin çapımı, doğu değelein çapımı ile kaşılaştıılacaktı. Bundan sonaki iki uygulamadan (No:4, H+V+V2; No:5, H+V) elde edilen sonuçla hem fomasyona ait hem de kilenme bölgesine ait paametelein doğu olaak tahmin edilebileceğini göstemişti. Son olaak, yalnı düşey gölem poplaına ait basınç veilei (No:6, V+V2) kullanılaak paamete tahmin işlemi geçekleşmişti. Elde edilen sonuçla incelendiğinde, yalnı fomasyona ait paametelein tahmin edilebildiği buna kaşın kilenmiş bölgeye ait paametelein geçek değeleinden oldukça uak olduğu göülmüştü. Bu sonuç, yalnı düşey gölem popuna ait basınç veilein kullanılaak he iki bölgeye ait paametelein bulunamayacağını göstemişti. Bu konuya ilişkin ayıntılı bilgile Gök ve diğeleine (23) ait çalışmada bulunabili. Önek uygulama-2 İkinci sentetik test uygulaması için gö önünde bulunduulan sistem tek tabakalı heteojen sisteme aitti. Şekil 6 da teste ait şematik ve simülatöde kullanılan model paametelei ise Tablo 3 de veilmektedi. Şekil 6 da sunulan sistemi modellemek için N = 55 ( N = 25, Nθ =, N = 62) simülatö bloğundan oluşan gid sistemi kullanılmıştı. Bu önek uygulamada, sistem tek tabakalı heteojen ve aniotop olaak tasalanmıştı. Yatay ve düşey geçigenlikle log nomal dağılımlı heteojen saha, göeneklilik ise nomal dağılımlı heteojen saha olaak jeoista-tistiksel yöntemle kullanılaak tüetilmişti. Yatay yöndeki lnk h geçigenlik sahası için otalaması 2.99 (2 md) ve vayansı. olan dağılım ve koelasyon uunluğu 5 ft olan iotop küesel vayogam kullanılmıştı. Düşey yöndeki geçigenlik sahası için ise otalaması.79 (6 md) ve vayansı.5 olan dağılım ve koelasyon uunluğu 27.5 ft olan iotop küesel vayogam kullanılmıştı. Göeneklilik için otalaması.32 ve vayansı.25 olan nomal dağılım ve koelasyon uunluğu 5 ft olan iotop küesel vayogam kullanılmıştı. Yatay ve düşey geçigenlikle aasında ve geçigenlikle ile göeneklilik aasında koelasyon olmadığı kabul edilmişti. faktöüne ait önsel otalama 5 ve vayansı 25 olaak kabul ediliken, kuyuiçi depolama katsayısına ait önsel otalama 4-6 RB/psi ve vayası 5-5 (RB/psi) 2 kabul edilmişti. Buada hem pake aalığında ölçülen basınç veilei hem de düşey gölem pobunda ölçülen basınç veilei kullanılaak he bi gidbloktaki yatay ve düşey geçigenlik, göeneklilik paametelei, pake aalığında a faktöü ve kuyuiçi depolaması katsayısı değelei tahmin edilmişti. Tablo. Şekil 4 teki test şemasını modellemek için kullanılan paametele ve değelei Paametele Fomasyon Kilenme Bölgesi Diğe Paametele Değele Yatay geçigenlik (md) 5 5 Kalınlık (ft) 5 Düşey geçigenlik (md) 5.5 İlk basınç (psi) 5 Akmalık (cp).8 Kuyu yaıçapı (ft).328 Göeneklilik.5.5 Reevua yaıçapı (ft) Toplam sıkıştıılabililik (/psi).x -4 3.x -5 Za faktöü Akış debisi (bbl/gün) 2 Kuyuiçi depolanma katsayısı (bbl/psi).x -8 35

8 İ. M. Gök, M. Onu Tablo 2. Çeşitli vei setlei ile yapılan paamete tahmini uygulamalaının sonuçlaı Kilenme bölgesi Fomasyon No Tanım Yatay mobilite (md/cp) Düşey mobilite Göeneklilik (md/cp) Toplam sıkıştıılabililik (/psi) Yatay mobilite (md/cp) Düşey mobilite Göeneklilik (md/cp) Toplam sıkıştıılabililik (/psi) Doğu Değ x x -4 2 Başlangıç Değ... x x -5 3 S+H+V+V2 5. (±.2).5 (±.4).8 (±3463) 6x -5 (±2.7) 62.3 (±5.2) 5 (±2.).2 (±542) 7x -4 (±8) 4 H+V+V2 5.2 (±.6).6 (±.4).3 (±786).4x -5 (±.3) 6.4 (±.4) 8.8 (±.6).22 (±56) x -4 (±.2) 5 H+V 5.6 (±.5).6 (±.3).3 (±462).4x -5 (±.2) 62.8 (±.) 6.8 (±.8). (±35).7x -4 (±.9) 6 V+V (±6).6 (±.9). (±.62).x -5 (±.5) 62.2 (±.5) 5. (±4.).34 (±237) 3.7x -5 (±.9) S: Sink pob, H: Yatay pob, V:. Düşey pob, V2: 2. Düşey pob Pake basınç fakı (psi) Üetim pobu Yatay pob. Düşey pob 2. Düşey pob Pob basınç fakı (psi) Zaman, saat Şekil 5. Paamete tahmi için kullanılan basınç veilei Diğe bi ifade ile bu uygulamada 236 tane basınç veisi kullanılaak 4652 tane paamete tahmin edilmişti. Model paameteleine ait önsel otalamalaı ilk tahmin değelei alaak bu uygulama geçekleştiilmişti. Şekil 7 de modelden elde edilen veile ile gölem veilein amanla değişimi sunulmuştu. Çiilen gafiktende göüldüğü üee, çakışma sonası modelden elde edilen pake ve düşey gölem pobu basınçlaının ölçülmüş basınç veilei ile uyumu oldukça iyi göünmektedi. Şekil 8a ve 8b de lnkh ve lnkv ye ait geçek sahala sunulmuştu. Şekil 8c ve 8d de sıasıyla paamete tahmini sonucu elde edilen lnkh ve lnkv ye ait sahala sunulmuştu. Şekil 8e ve Şekil 8f de ise kestiilen lnkh ve lnkv ye ait sonsal kovayans değeleinin (Denklem 4 ten hesaplanmıştı) alansal değişimi sunulmuştu. Bu gafiklein tamamında, kesikli çigilein aasında kalan bölüm üetimin yapıldığı pake aalığını ( yönünde üstten gidle) göstemekte; dü çigi ise pobun bulunduğu gidi ( yönünde üstten 6. gid) göstemektedi. 36

9 Düşey giişimli basınç testlei Çiftli Çiftli pake Pake. Gölem pobu Düşey Gölem (V) l =.6 ft =27.5 ft o= ft o =6.4 =25 h=54.5 h=54.5 ft Şekil 6. Tek tabakalı heteojen sistemde çift pake poblu düşey giişim test şematiği Tablo 3. Şekil 6 daki test şemasını modellemek için kullanılan paametele ve değelei Paametele Değele Göeneklilik Heteojen Yatay geçigenlik (md) Heteojen Düşey geçigenlik (md) Heteojen Toplam sıkıştıabililik (/psı) Akmalık (cp).387 Kuyu yaıçapı (ft).354 Reevua yaıçapı (ft) Kuyuiçi depolanma katsayısı (bbl/psı) Za faktöü 5 Akış debisi (bbl/gün) 2 Reevua ilk basıncı (psı) 35 Kuyudibi akış basıncı (psı) 35 Şekil 8a, 8c ve 8e beabe değelendiildiğinde, doğu değelee en yakın kestiilen değelein pake aalığının içeisindeki bölgedeki değele olduğu göülebilmektedi. Ayıca, pake aalığı ile pob aasındaki bölgedeki kestiilen lnk h değelein de doğu değelee yakın olduğu göülmektedi. Yaklaşık olaak 5. gidbloktan (yaklaşık 4 ft) sona kestiilen değele önsel otalamalaa, hesaplanan sonsal kovayans değelei ise önsel modele ait vayanslaa eşit olmaktadı. Şekil 8b, 8d ve 8f beabe değelendiildiğinde doğu değelee en yakın kestiilen değelein pake aalığının üst sınıı ile pobun bulunduğu gidin aasında yönünde 3. ve 5. gidle olduğu göülmektedi. Tabakanın üst ve alt sınılaına yakın gidbloklada sonsal kovayansın değei, yaklaşık olaak önsel modele ait vayansın değeine eşitti. Yaklaşık olaak 9. gidbloktan (yaklaşık 5 ft) sona hesaplanan sonsal kovayans değelei ise önsel modele ait vayanslaa eşit olmaktadı. Bunlaa ilaveten bu uygulamada üetimin olduğu pake aalığındaki a faktöü ile kuyuiçi depolama sabitide egasyona dahil edilmişti. Kuyuiçi depolama sabiti C = 4-6 RB/psi bulunuken (doğu değein aynısı), a faktöü S = 2.6 olaak tahmin edilmişti (doğu değe 5.). He iki paamete içinde bulunan sonsal kovayans değelei a çok yakındı. Pake basıncı (psi) Pake (gölem) 349 Pake (model) Pob (gölem) Pob (model) Zaman, saat Şekil 7. Paamete tahmini uygulaması sonucu elde edilen model veileinin gölem veilei ile uyumu Pob basıncı (psi) Bu uygulamada bilinmeyen paamete vektöünün içeisinde he bi gidbloktaki göeneklilik veileide dahil edilmişti. Kestiiminden sona elde edilen sonsal kovayansın alansal değişiminde kovayans değeinin hemen hemen he yede e eşit olduğu göülmüştü. Kestiilen göeneklilik değelei, önsel modele ait vayans değeinin de çok küçük olmasından dolayı önsel otalamadan sapamamaktadı. Diğe bi ifade ile, göenekliliğe ait doğu değele, pake basıncının göenekliliğe duyalılığı gölemlenmiş olmasına ağmen sistemin bi çok yeinde tahmin edilememişti. Bundan dolayı göenekliliğe ait gafikle buada gösteilmemişti. 37

10 İ. M. Gök, M. Onu yönündeki gidle yönündeki gidle yönündeki gidle yönündeki gidle Ln(k v ) Şekil 8a. Geçek lnk h sahası Ln (k h ) Şekil 8b. Geçek lnk v sahası yönündeki gidle yönündeki gidle yönündeki gidle yönündeki gidle Ln(k h ) Ln(k v ) Şekil 8c. Uygulama sonucu elde edilen lnk h sahası Şekil 8d. Uygulama sonucu elde edilen lnk v sahası yönündeki gidle yönündeki gidle yönündeki gidle yönündeki gidle Nomalleştiilmiş C MP Şekil 8e. Kestiilen lnk h ye ait sonsal kovayansın alansal değişimi Nomalleştiilmiş C MP Şekil 8f. Kestiilen lnk v ye ait sonsal kovayansın alansal değişimi Sonuçla Düşey giişimli basınç testleine koşullama, kayaç öellikleindeki heteojenliği hem düşey hem de yatay yönde konumsal olaak güvenili olaak çöümlemede ne ölçüde başaılı olunabileceği çalışmada ayıntılı olaak aaştıılmıştı. Bu çalışma sonucunda, pake aalığı ve gölem noktası pob basınç veileine, bilikte koşullamanın yapılması duumunda, pake aalığının tam kaşısında ve pob ile pakeın üst sınıı aa- 38

11 Düşey giişimli basınç testlei sındaki gidblokladaki yatay geçigenliğin doğu olaak çöülebileceği göülmüştü. Buna ilaveten, pob ile pakeın üst sınıı aasındaki gidbloklaın düşey geçigenliğinin doğu olaak kestiilebileceği göülmüştü. He tabakanın faklı kayaç ve akışkan öellikleine sahip biden fala bölgeden oluştuğunu kabul eden heteojen model uygulamalaınada bu uygulamada ye veilmiş ve bu tü sistemleden paamete tahmini üeine duulmuştu. Bu tü modelle, genellikle sondaj akışkanın fomasyona filtasyonundan dolayı fomasyonun yakın civaında mobilitesi ve stoativitesi daha faklı kilenmiş bölgelein basınç testlei üeinde etkisini çalışmak için kullanılabilini.bu çalışmada böyle bi sistemde çok-poblu bi düşey giişim testi tasalanmış ve hangi basınç seti veileinden hangi bölgelee ait hangi paametelein güvenili olaak bulunabileceği aaştıılmıştı. Bu çalışma sonucunda, üetim pobu veya onun tam kaşısındaki yatay pob veileinin hehangi bi düşey gölem pobuna ait basınç seti ile bilikte analii hem kilenmiş hem de kilenmemiş bölgeye ait tüm paametelein saptanmasına yetecekti. Buna kaşın, sadece düşey gölem pobu veileinin kullanılması yalnı kilenmemiş bölgeye ait öelliklein saptanmasına yadımcı olacaktı. Diğe bi ifade ile düşey gölem poblaında ölçülen basınç veilei kilenmiş bölgenin öellikleinden fala etkilenmemektedi. Teşekkü Bu çalışmanın geçekleştiilmesinde geekli maddi katkıyı sağladığı için TÜBİTAK ve İTÜ Aaştıma Fonuna destekleinden dolayı teşekkü edei. Ayıca bu çalışmada geliştiilen simülatöü test etmek için kullanılan ECLIPSE simülatöünü vediği için Schlumbege şiketine teşekkü edei Kaynakla Anteion, F., Eymad, R., ve Kache, B., (989). Use of paamete gadients fo esevoi histoy matching, th SPE Resevoi Simulation Symp. Bad, Y., (974). Nonlinea Paamete Estimation, Academic Pess, San Diego, 56. Chavent, G.M., Dupuy, M., Lemmonnie, P., (975). Histoy matching by use of optimal contol theoy, Socity Petoleum Enginees Jounal, Febuay, Chen, W.H., Gavalas, G.R., Seinfeld, J.H., Wasseman, M.L., (974). A ne algoithm fo automatic histoy matching, Socity Petoleum Enginees Jounal, Decembe, Dogu, A.H., Dixon, T.N. ve Edga, T.F., (977): Confidence limits on the paametes and pedictions of slightly compessible, single phase esevois, Socity Petoleum Enginees Jounal, Febuay, Goode, P.A., Thambynayagam, R.K.M., (99). Analytic models fo a multiple pobe fomation teste, the 99 SPE Annual Technical Confeence and Exhibition, Ne Oleans, LA, USA, Septembe 23-26, SPE Gök, I. M., Onu, M., Hegeman, P. S., Kuchuk, F. J., (23). Effect of an invaded one on pessue tansient data fom multipobe and packe-pobe ieline fomation testes in single and multilaye systems, the 23 SPE Annual Technical Confeence, Denve, CO, USA, Octobe 5-8. He, N., Reynolds, A. C., ve Olive, D. S., (997). Thee-dimensional esevoi desciption fom multiell pessue data and pio ınfomation, Socity Petoleum Enginees Jounal, 2, Kuchuk, F. J., (994). Pessue behavio of MDT packe module and DST in cossflo-multilaye esevois, Jounal of Petoleum Science and Engineeing,, Kuchuk, F. J. ve Onu, M., (23). Estimating pemeability distibution fom 3D inteval pessue tansient tests, Jounal of Petoleum Science and Engineeing, 39, -2, Levenbeg, K., (944). A Method fo the solution of cetain nonlinea poblems in least squaes, Quately of Applied Mathematics, 2, Maquadt, D. W., (963). An algoithm fo least squaes estimation of nonlinea paametes, SIAM Jounal.,, Olive, D. S., (994). Incopoation of tansient pessue data into esevoi chaacteiation, In Situ, 8, Onu, M., Hegeman, P.S., Kuchuk, F.J., (22). Pessue-Pessue convolution analysis of multipobe and packe-pobe ieline fomation teste data, 22 SPE Annual Technical Confeence and Exhibition, San Antonio, TX, USA, Septembe 29 - Octobe 2, SPE Onu, M., Kuchuk, F.J., (999). Integated nonlinea egession analysis of multipobe ieline fomation teste packe and pobe pessues and flo ate measuements, 999 SPE Annual 39

12 İ. M. Gök, M. Onu Technical Confeence and Exhibition, Houston, TX, USA, Octobe 3-6 SPE Onu, M. ve Kuchuk, F.J., (2). Nonlinea egession analysis of ell-test pessue data ith uncetain vaiance, the 2 SPE Annual Technical Confeence and Exhibition, Dallas, TX, USA,Oct. -4, SPE Poett, M. A., Gilbet, G. N., Chin, W. C., Monoe, M. L., (2). Ne ieline fomation testing tool ith advanced sampling technology, Society Petoleum Enginees Resevoi Engineeing and Evaluation, Apil, 76. Schlumbege GeoQuest, (22). Eclipse Refeence Manual, Vesion 22. Welty, D. H. ve Meijeink, J. A., (98). An Impoved Fomulation and Solution Method fo Single Phase Flo Poblems, Socity Petoleum Enginees Jounal, June, Zeybek, A. D., ve Onu, M., (23). Conditioning factal (fbm/fgn) poosity and pemeability fields to multiell pessue data, Math Geology, 35, 5, Zimmeman T., Maclnnis, J vd., (99). Application of emeging ieline fomation technologies, the Eighth Offshoe Southeast Confeence, Singapoe, Decembe 4-7, OSEA-95. 4