İSTATİSTİK ANABİLİM DALI

Transkript

1 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Yekta Stara KOÇ ROBUST TAHMİN EDİCİLERİ VE ÖZELLİKLERİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI ADANA, 007

2 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ ROBUST TAHMİN EDİCİLERİ VE ÖZELLİKLERİ Yekta Stara KOÇ YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI Bu tez 5/ 09 / 007 Tarhde Aşağıdak Jür Üyeler Tarafıda Oybrlğ/ Oyçokluğu İle Kabul Edlmştr. İmza İmza.. İmza Prof.Dr. Fkr AKDENİZ Prof.Dr. Hamza EROL Prof.Dr. H.AltaÇABUK DANIŞMAN ÜYE ÜYE Bu tez Esttümüz İstatstk Aablm Dalı da hazırlamıştır. Kod No: Prof.Dr. Azz ERTUNÇ Esttü Müdürü İmza ve Mühür Not: Bu tezde kullaıla özgü ve başka kayakta yapıla bldrşler, çzelge, şekl ve fotoğrafları kayak gösterlmede kullaımı, 5846 sayılı Fkr Eserler Kauudak hükümlere tabdr.

3 ÖZ YÜKSEK LİSANS TEZİ ROBUST TAHMİN EDİCİLERİ VE ÖZELLİKLERİ Yekta Stara KOÇ ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI Daışma: Prof. Dr. Fkr AKDENĠZ Yıl: 007, Sayfa: 0 Jür: Prof.Dr. Fkr AKDENĠZ Prof.Dr. Hamza EROL Prof.Dr. H. Alta ÇABUK Robust tahm edcler, ver kümesde güvel gözlemler homoje dağılmaması durumuda güvel souçlar bulmak ve sapa değerler etks azaltmak amacıyla kullaılır. Tez temel amacı; klask regresyo aalzde sapa gözlemler varlığı edeyle stadart varsayımları sağlamaması durumuda e küçük kareler yöteme alteratf olarak suula robust regresyo yötemler celemesdr. Bu çalıģmada öce sapa değerler, kırılma oktası ve etk foksyou kavramları ele alıacak, sora robust bast regresyo ve çoklu regresyodak tahm edcler celeecektr. Öreklerle bu tahm edcler, e küçük kareler tahm edcsyle karģılaģtırılacaktır. Aahtar kelmeler: E küçük kareler tahm edc, E küçük medya kareler tahm edc, Kırılma oktası, Robust tahm edc, Sapa değer I

4 ABSTRACT MSc.THESIS ROBUST TAHMİN EDİCİLERİ VE ÖZELLİKLERİ Yekta Stara KOÇ DEPARTMENT OF STATISTICS INSTITUTE OF NATURAL AND APPLIED SCIENCES UNIVERSITY OF ÇUKUROVA Supervsor: Prof. Dr. Fkr AKDENĠZ Year: 007, Sayfa: 0 Jury: Prof.Dr. Fkr AKDENĠZ Prof.Dr. Hamza EROL Prof.Dr. H.Alta ÇABUK Robust estmators are used for reducg the effects(weghts) of outlyg observatos the data set to get more relable ad stable estmators. The am of ths thess s to propose robust regresso procedures as a alteratve method to Least Squares procedure whch s wdely used classcal regresso aalyss ad very sestve to outlyg observatos. I ths thess, frstly outler ad breakg pot cocepts wll be troduced, secodly a geeral overvew of estmators for robust smple ad multple regresso wll be gve ad fally these estmators wll be compared wth classcal Least Squares estmators ad examples wll be provded. Keywords: Breakg Pot,, Least meda squares estmator, Least squares estmator, Outler, Robust estmator, II

5 TEŞEKKÜR Bu tez hazırlaması esasıda değerl blgler ve kayaklarıı bemle paylaģa daıģmaım sayı Prof.Dr. Fkr AKDENĠZ e; yardımlarıı esrgemeye Ġstatstk bölümü öğretm elemalarıa teģekkürlerm suarım. Ayrıca eğtm ve öğretm hayatım boyuca madd ve maev katkılarıı esrgemeye aleme teģekkürü br borç blrm. III

6 İÇİNDEKİLER SAYFA ÖZ. I ABSTRACT.II TEġEKKÜR III ĠÇĠNDEKĠLER...IV TABLOLAR DĠZĠNĠ...V ġekġller DĠZĠNĠ...VII.GĠRĠġ.. Kırılma oktası (Breakdow pot).. Etk foksyou (Ifluece fucto).. ÖNCEKĠ ÇALIġMALAR VE REGRESYON ANALĠZĠNDE SAPAN DEĞERLER BASĠT REGRESYON 3.. GrĢ E Küçük Medya Kareler Doğrusuu Hesaplaması Örekler Tam Model Özellkler Br Öreğ Orjde Geçe Bast Regresyo Bast Regresyo Ġç Dğer Robust Tekkler 5 4. ÇOKLU REGRESYON 4.. GrĢ Çoklu Regresyoda E Küçük Medya Kareler Hesaplaması Örekler LMS,LTS ve S-Tahm Edcler Özellkler ĠzdüĢüm Aramayla ĠlĢk Robust Çoklu Regresyoua Dğer YaklaĢımlar.9 5.SONUÇLAR VE ÖNERĠLER...0 KAYNAKLAR.0 ÖZGEÇMĠġ..0 IV

7 TABLOLAR DİZİNİ Tablo3.. Plot-Plat Vers 4 Tablo3.. Belçka da Yapıla Uluslar arası Arama Sayısı...8 Tablo3.3.CYG OB Yıldız Kümes Hertzprug-Russell Dyagramıı Verler..9 Tablo3.4. Ġlk Kelme-Gesell Adaptasyo Skor Vers 40 Tablo Arasıda Belçka da Yagı Ġhbarlarıı Sayısı..4 Tablo Arası Srebest Ç dek Aa ġehrlerde Yıllık Ortalama Fyat ArtıĢı...43 Tablo Hayvaı Vücut ve Bey Ağırlıkları 46 Tablo3.8. Bey ve Vücut Ağırlıkları Vers Ġç StadartlaĢtırılmıĢ EKK ve RLS Rezdüler...48 Tablo3.9. Segel Ver Kümes...50 Tablo4.. Yığı Kaybı Vers.58 Tablo4.. Orta Atlas ve Ye Ġgltere Bölgesde 0 Okulu Blgs Ġçere Colema Ver Kümes...6 Tablo4.3. Colema Vers: Tahm EdlmĢ Sözlü Sıav Souçlarıı Ortalaması ve EKK ve LMS Model ç Ortak Rezdüler...6 Tablo4.4. Colema Vers: EKK ve RLS Modellere Göre t Değerler...63 Tablo4.5. Tuzluluk Vers...64 Tablo4.6. Mayıs 973 ç Hava Kaltes Vers Kümes..67 Tablo4.7. Hava Kalte Vers: Tahm Yaıt ve StadartlaĢtırılmıĢ Souçlarla EKK Model 68 Tablo4.8. Hava Kaltes Vers: LMS ye Dayalı RLS Model...69 Tablo4.9. Hawks, Bradu Ve Kass ı Yapay Ver Kümes..7 Tablo4.0. Br sıvıı bulaıklık vers.73 Tablo4.. Bulaık Nokta Vers: EKK ve RLS Regresyouyla Tahm Eğm ve Kese le t Değerler...76 Tablo4.. Bulaık Nokta Vers: Özet Değerlerle. Derecede Model Ġç EKK ve RLS Tahmler...79 Tablo4.3. Kalp sodası vers...80 V

8 Tablo4.4. Kalp Sodası Vers: EKK ve RLS Souçları..80 Tablo4.5. Kalp Soda Vers:DeğĢkeler Arasıdak Korelasyo.83 Tablo4.6. Eğtm Gderler Vers 87 Tablo4.7. Eğtm Harcamaları Vers EKK ve RLS Souçları: Katsayılar, Stadart Hatalar,ve t-değerler...89 Tablo4.8.. p bazı değģkeler ç * / p değer 96 VI

9 ŞEKİLLER DİZİNİ ġekl.. (a) beģ oktalı orjal ver kümes ve EKK regresyo doğrusu. (b) se (a) dak ver le ayı fakat y-yöüde sapa var...7 ġekl.. (a) BeĢ oktalı orjal ver kümes ve EKK regresyo doğrusu. (b) se (a) dak ver le ayı fakat x-yöüde sapadır ( kaldıraç oktası )..9 ġekl.3. (x k,y k ) oktası x k sapa olduğu ç br kaldıraç oktasıdır. Fakat. (x k,y k ) br regresyo sapaı değldr çükü dğer ver kümeleryle brlkte modele uyuyor....0 ġekl.4. Regresyo ver kümes (x,x ) açıklayıcı değģkeler grafğ... ġekl.5. (a) L regresyouu y-yöüdek sapmaya karģı robustlığı (dayaıklılığı). (b) L regresyouu x-yöüdek sapaa karģı hassaslığı( kaldıraç oktası )....4 ġekl.6. LMS regresyouu y-yöüde (a) da y-yöüdek sapaa ve (b) de x- yöüdek sapaa karģı dayaıklılığı...0 ġekl3.. EKK ve LMS modelyle Plot-Plat vers..5 ġekl3.. ġekl dek le ayı ver fakat tek sapaı var. Keskl doğru EKK modele karģılık gelr. Düz çzgl doğru se oktaları yarısıı çere e dar Ģertle çevrlr....6 ġekl3.3. Belçka da yılları arasıdak uluslar arası telefo aramaları sayısıı EKK ve LMS model...7 ġekl3.4. CYG OB yıldız kümes Hertsprug-Russell dyagramıı EKK ve LMS model ġekl3.5. Ġlk kelmedek yaģıa göre Gesell adaptasyo skoruu saçılım grafğ 40 ġekl yıllarıda Belçka dak yagı hbarıı sayısı...4 ġekl tae hayva ç logartmk vücut ağırlıklarıa göre logartmk bey ağırlıklarıı EKK ve RLS model...47 ġekl3.8. Tam model öreğ. Segel ver kümes EKK ve LMS model saçılım grafğ...49 ġekl3.9. Bulaıklık Vers Saçılım Grafğ...50 VII

10 ġekl3.0. Lbby ve Newgate tek su debs saçılım grafğ EKK ve LMS model....5 ġekl3.. Altı yötem kullaılarak yapay ver ç regresyo doğruları. (RLS, LMS e dayalı yede ağırlıkladırılmıģ e küçük kareler; EKK, e küçük kareler; M,Huber M tahm edcs; GM, Mallows u ve Schweppe M tahm edcler; RM, tekrarlı medya...54 ġekl4.. Yığı kaybı vers: EKK ye göre deks grafğ 59 ġekl4.. Yığı kaybı vers: LMS ye göre deks grafğ 59 ġekl4.3. Tuzluluk vers: EKK modele göre rezdü grafğ...65 ġekl4.4. Tuzluluk vers: LMS modele göre rezdü grafğ 66 ġekl4.5. Hawks-Bradu-Kass vers: EKK regresyoua göre deks grafğ.7 ġekl4.6. Hawks-Bradu-Kass vers: LMS regresyoua göre deks grafğ...7 ġekl4.7. Bulaık okta vers: saçılım grafğ...75 ġekl4.8. Bulaık okta vers. EKK ye göre rezdü grafğ.75 ġekl4.9. Bulaık okta vers. LMS ye göre rezdü grafğ...77 ġekl4.0. Bulaık okta vers: Kuadratk model ç EKK rezdü grafğ..77 ġekl4.. Bulaık okta vers: Kuadratk model ç RLS rezdü grafğ...77 ġekl4.. Kalp sodası vers. çocuğu boylarıa karģı uygu sodaı uzuluğu 8 ġekl4.3. Kalp soda vers: çocuk ç ağırlığa karģı uygu soda uzuluğuu saçılım grafğ...88 VIII

11 . GİRİŞ Yekta Stara KOÇ.GİRİŞ Regresyo aalzde amaç; gözlee değerlere uya e y deklem oluşturmaktır. Brçok regresyo tekğ olmasıa karşı bularda e kullaışlı; olaı klasklğ ve hesaplama kolaylığıda dolayı e küçük kareler (EKK) tahm edcsdr. Fakat bu tahm edc sapa değerlere karşı çok hassastır. Bu probleme çözüm bulmak amacıyla sapalar değerlerde çok etklemeye ye statstksel tekkler gelştrld. Böylece robust (dayaıklı) tahm edcler ortaya çıktı. Bu yötem ver çoğuluğua uygu br model tasarlamaya çalışır. Ya, ver kümes küçük br bölümü sapa değerlerde oluşsa ble kala büyük bölüm güvelr souçlar verr. Bu çalışmada bast regresyo ve çoklu regresyo olmak üzere k aa başlık altıda robust tahm edcler ele alımış ve buları souçları örekler aracılığıyla klask EKK aalzyle karşılaştırılmıştır. Kouu daha y alaşılması ç bazı taımlar bu kısımda verlmştr... Kırılma Noktası (Breakdow Pot) tae ver oktasıda oluşa herhag br öreklem alalım: Z {( x,..., x p, y),..., ( x,..., xp, y )} (.) T br regresyo tahm edcs olsu. Ya Z öreklemde T ye başvurularak ˆ regresyo katsayılarıı br vektörü elde edlr. T(Z)= (.) dr. Orjal ver oktalarıı herhag m taes keyf değerlerle değştrls. Böylece Z öreklem Z bas (m;t,z) le fade edlr ve bas (m;t,z) = sup Z e döüştürülür. Bu durumda maksmum yalılık T ( Z ) T( Z) (.3)

12 . GİRİŞ Yekta Stara KOÇ olarak taımlaır. Burada bas (m;t,z), sosuz se ya m sapa değer T üzerde geş br etkye sahpse bu tahm edc kırılması olarak açıklaır. Bu edele, örektek T tahm edcs kırılma oktası solu öreklem ç * m ( T, Z) m ; bas( m; T, Z) sosuz (.4) şeklde taımlaır. Dğer br fadeyle bu T (Z) de uzaktak keyf değerler ç T tahm edcs ede olduğu bozulmaı e küçük kırılmasıdır. Dkkat edlrse bu taım, dağılımları olasılığıı çermez! EKK ya göre bütü sıırlar üzerde T y taşımak ç br sapa değer yeterl olduğu görülür. Bu edele kırılma oktası, * ( T, Z) * dr. Burada öreklem geşlğ arttıkça ( T, Z ) fades 0 a yaklaşır. Bu edele EKK, % 0 lık kırılma oktasıa sahptr delr. Bu EKK yötem sapa değerlere karşı aşırı hassaslığıı da gösterr... Etk Foksyou ( Ifluece fucto=if) Kırılma oktası, güverlğ evresel br ölçüsüyke; etk foksyou, tahm edc üzerdek so derece küçük etkler ölçer. F dağılımıda T tahm edcs etk foksyou, IF(z;T,F) = lm 0 T. F. z T( F) dr. Örek uzayı tüm z oktalarıda lmt vardır. z term, z oktasıdak bütü yığııı olduğu olasılık dağılımıdır. Etk foksyou, ver kümesde sapa değerler etkledğ yalılığı fade eder. Homoje olmaya verler dağılımıda bu fade, tahm edc,

13 . GİRİŞ Yekta Stara KOÇ T F z T( F) IF z; T, F şekldek br yaklaşımıı verr. Solu öreklemlerle çalışıldığıda zama etk foksyouu keskl tp kullaablr. Bua hassas eğr (sestvty curve=sc) der. Hassas eğr, SC(z) = T. F z T ( F ) IF z; T, F le taımlaır. Burada F, Z z,..., x, y,..., z x,..., x p, y,..., x p le oluşturulmuş deeysel br dağılımdır. Eğer br gözlem le z sapa değer yer değştrlrse T z,..., z, z T( F ) SC z fades buluur. Hatta gözlemler olasıdır. Bu durumda da m/ küçük br kırılmasıyla yer değştrmes T m z,..., z, z T( F ) IF( z; T, F) fades elde edlr. Bütü tahm edcler br kırılma oktasıa sahptr. Buula brlkte mutlaka br etk oktasıa sahp olması gerekmez. 3

14 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ.ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Regresyo aalzde amaç; gözlee değerlere e y uya deklemler oluşturmaktır. Klask leer model, y = x +. x e =,,, (.) p p dr. Burada öreklem geşlğ, x,, x p açıklayıcı değşkeler, y yaıt değşkedr. e hatalarıı se 0 ortalamalı ve blmeye varyaslı ormal dağılıma sahp olduğu varsayılır. Blmeye parametre vektörü ya.. p, (.) verde tahm edlr. Ver ç değşkeler olaylar x. x. x... x p... x p... x p y. y. y (.3) matrs gösterm kullaılsı. Böyle br ver kümese regresyo tahm edcs uyguladığıda. p (.4) 4

15 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ elde edlr. Burada j tahmler, regresyo katsayıları olarak adladırılır. Gerçek blmemese rağme j tahm edcler le açıklayıcı değşkeler çarpılarak j y x... x p p (.5) tahm edle değerler elde edlr. Bu durumda -c olayı r rezdüsü, y gözlemş değerler le ŷ tahm edle değer farkı olarak taımlaır. Ya, r = y - y (.6) dır. E popüler regresyo tahm, edcs Gauss ve Legedre tarafıda buludu. Bu tahm edc, r m (.7) fadese karşılık gelr. Bu tahm edc amacı (.7) le verle fadey mmum yaparak model e y duruma getrmektr. Bu yötem çok y ble e küçük kareler yötemdr (EKK). Bu yötem, statstğ öeml br köşe taşıdır. Popüler olmasıı ede se alaşılmasıı kolaylığıdır. 800 lü yıllarda buluduğuda blgsayarlar yoktu ve EKK tahm edcs verde belrl br matrs cebr le kolayca hesaplaablrd. Güümüzde ble brçok statstksel paket program hala geleeksellğ ve hesaplama hızıda dolayı ayı tekğ kullamaktadır. Ye de tek boyutlu durumda (.7) de verle EKK krter gözlemler artmetk ortalamasıı verr k o zama da e uygu koum tahm edcs olduğu görülür. Sorada Gauss EKK yı e y duruma getre hata dağılımı olarak ormal dağılımı (Gaussa Dağılımı ) öerd. Böylece güzel br matematk teors oldu. Oda sora Gaussa varsayımları ve EKK ı kombasyou, statstk tekkler üretlmes ç stadart br mekazma oldu. ( Öreğ Çoklu yer, Varyas Aalz, Mmum varyas sııflaması gb) 5

16 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ Daha yakı zamalarda brçok araştırmacı, gerçek verler klask varsayımları tamame sağlamadığıı farketmeye başladı. ( Studet 97, Pearso 93, Box 953 ve Tukey 960). Bast doğrusal regresyo modelde sapa değerler etkler celeyelm. y x e (.8) bast doğrusal regresyo modelde eğm ve sabt tahm edlmeldr. Bu (.) dek fadede p = özel durumudur. Çükü x = x ve x tüm =,.. ç olur. Geelde açılayıcı değşke olması sabt terml regresyou elde etmek ç kullaıla stadart br yoldur. Bast doğrusal regresyo modelde saçılım grafğ olarak adladırıla (x, y ) grafğ oluşturulur. p geel hal ç çoklu regresyo modelde bu mümkü olmaz. İşlemler görsel olarak açıklamak amacıyla bast doğrusal regresyo model kullamak daha ydr. Şekl.(a) (x, y ),, ( x 5, y 5 ) oktalarıı saçılım grafğ olsu. Burada bu oktalar doğrusal olarak uzaıyorlar. Böylece grafkte, y x olur. EKK doğrusuda görülebleceğ gb EKK çözümü verye çok y uyar. Fakat kopyalarke ya da taşırke y4 değer öreğ odalıklı kısmıı hatalı alıdığıı varsayalım. Bu durumda ( x 4, y4 ) değer deal doğruda uzaklaşacaktır. Şekl.(b), 4.oktaı.(keskl çzgyle yuvarlak çe alıa okta) orjal durumuda uzaklaştığıı ve yukarı doğru hareket ettğ gösteryor. Bu okta y-yöüde sapa değer olarak adladırılır. Bu se şekl.(a) dak EKK de oldukça farklı ola EKK doğrusu üzerde oldukça geş br etkye sahptr. Bu olayı lteratüre öeml katkısı 6

17 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ Şekl.. (a) beş oktalı orjal ver kümes ve EKK regresyo doğrusu. (b) se (a) dak ver le ayı fakat y-yöüde sapa var. olmuştur. Çükü geelde y gözlemler olarak, x,..., x p ler de sabt sayılar olarak düşüülür. Böyle sapa değerler geş poztf rezdülere ya da geş egatf rezdülere sahp olur. Gerçekte bu örekte 4.okta doğruda e uzak koumdadır. 7

18 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ Bu edele (.6) le verle r s şüphel br bçmde geştr. p geşlğdek (.) çoklu geel regresyoda ble k bu durumda very gözümüzde caladıramayız böyle sapalar rezdüler lstesde veya rezdü grafklerde buluablr. Fakat geelde x,..., xp açıklayıcı değşkeler rasgele değşkelğe bağlı olarak gözlemş celklerdr. Gerçekte de brçok uygulamada br yaıt değşke ve bazı açıklayıcı değşkelerde seçlmek zoruda ola değşkeler br lstes alıır. Bu edele y yaıt değşkede sadece kötü oktaları (gross errors) ede meydaa geleceğ br sebeb yoktur. Bazı durumlarda p geel olarak de büyük olduğu ç x,..., xp açıklayıcı değşkelerde brde sapa olması ble daha muhtemeldr ve bu edele br şeye yalış gtmek ç daha fazla fırsat vardır. Böyle br sapaı etks ç Şekl. dek bast regresyou br öreğ celeyelm: Şekl.a, EKK doğrusua y uya (x, y ),, ( x 5, y 5 ) oktalarıı çeryor.x hatalı grersek Şekl.b y elde ederz.o zama bu oktaya x yöüde sapa derz.bu okta EKK doğrusuu eğdğ ç EKK doğrusu üzerdek etks çok geştr.bu edele şeklb dek ( x, y ) oktası kaldıraç oktası olarak adladırılır. EKK tahm edcs üzerdek bu çekm şu şeklde açıklaablr: x orjal doğruda uzaklaştığı ç orjal doğrudak r rezdüsü çok büyük br değer 5 alır. r katkısıyla çok daha büyük olur. Bu edele orjal doğru EKK yöüde seçlemez ve gerçekte şeklb doğrusu r termler azar azar artsa ble,..., r5 r geşlğ azaltarak eğdğ ç e küçük r 5 ye sahp olur. Geelde ( x k, yk ) gözlem her e zama k x öreklemdek gözlemş x yığııda uzaklaşırsa kaldıraç oktası olarak adladırılır. k k y k bu durumda hesaba alımaz. Bu edele ( x, y ) oktası muhakkak br regresyo sapaı olmak 8

19 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ Şekl.. (a) Beş oktalı orjal ver kümes ve EKK regresyo doğrusu. (b) se (a) dak ver le ayı fakat x-yöüde sapadır ( kaldıraç oktası ). zoruda değldr. ( x, y k k ) ver çoğuluğu tarafıda taımlaa regresyo doğrusua yaklaştığıda Şekl.3 te görüldüğü gb y br kaldıraç oktası olarak düşüüleblr. Bu edele ( x, y ) ı br kaldıraç oktası olduğuu söylemek k k 9

20 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ uzaktak x bleşee göre sadece güçlü br bçmde etkl ˆ ve ˆ regresyo k katsayılarıa göre gücüü söylemek demektr. Fakat bu durum ( x, y ) gerçekte ˆ ve ˆ üzerde çok geş br etkye sahp olması alamıa gelmek zoruda değldr. Çükü ( x k, yk ) dğer verlere göre eğm kümese tamame uyablr ( Böyle br durumda kaldıraç oktası bazı güve bölgeler daraltacağıda oldukça yararlı ble olablr. ) k k Şekl.3. (x k,y k ) oktası x k sapa olduğu ç br kaldıraç oktasıdır. Fakat. (x k,y k ) br regresyo sapaı değldr çükü dğer ver kümeleryle brlkte modele uyuyor. Çoklu regresyoda ( x,..., xp ) p boyutlu br uzayda uzaır. ( Baze faktör uzayı olarak adladırılır. ) O zama kaldıraç oktası br ver kümesde ( x,..., x e göre uzakta kala ( x k,..., xkp ) ç ( x k,..., xkp Öcede, böyle kaldıraç oktaları esas, k p ) y ) olarak ye taımlaır. y k değere bağlı olarak EKK regresyo katsayıları üzerde güçlü geş br etkye sahpt fakat bu durumda kaldıraç oktalarıı taımlamak daha da zordur. Çükü boyut daha büyüktür. Gerçekte 0 tae açıklayıcı değşke olduğuda böyle br oktayı bulmak çok zor olablr. Buu gözümüzde caladıramayız. 0

21 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ Bu problem bast br öreğ Şekl3.4 te verlyor. Burada x, x ye karşı belrl br ver kümese göre verlyor. Bu grafkte tae kaldıraç oktasıı kolayca görürüz. Fakat x ve x ayrı düşüüldüğüde bu oktalar görülemez. Gerçekte {, x,..., x x }tek boyutlu öreklem sapalar çermez ve { x, x,..., x }de çermez. Geel olarak her değşkee ayrı ayrı bakmak ya da bütü değşke çftlere bakmak ble yeterl değldr. Uzaktak ( x,..., xp ) y belrlemek oldukça zor br problemdr. Fakat bz çoğulukla regresyo sapalarıda bahsedeceğz. Ya ( x,..., xp, y ) eş zamalı olarak hem yaıt hem de açıklayıcı değşkeler göz öüe alarak ver çoğuluğua göre leer lşkde ayrıla durumları takp eder. Şekl.4. Regresyo ver kümes (x,x ) açıklayıcı değşkeler grafğ. İk kaldıraç oktası var(keskl yuvarlak çde). Burada koordatları ks de sapa değl. Brçok sa EKK rezdülere bakarak regresyo sapalarıı keşfedlebldğ tartışır. Maalesef sapalar kaldıraç oktaları olduğuda bu doğru olamaz. Öreğ tekrar Şekl.(b) ye dkkat edelm. Kaldıraç oktası ola durum o doğruya oldukça yakı olsu dye EKK doğrusuu eğer. Souç olarak r y rezdüsü egatf küçük br sayıdır. Dğer tarafta r ve r5 rezdüler y oktalara karşılık gelmese rağme bu rezdüler daha geş mutlak değerlere sahptr. Eğer e yˆ

22 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ geş EKK rezdülü oktaları slme gb br kurula başvurulacaksa y oktalar lk başta slmeldr. Tab k böyle tek değşkel br ver kümese bakılabldğ ç böyle değşkel br ver kümesde gerçekte tümüyle problemszdr. Fakat EKK rezdüler dkkatl aalzlere rağme ble sapaları görülemedğ brçok çok değşkel ver kümeler vardır. Souç olarak regresyo sapalar ( hem x de hem y de ) stadart EKK aalzlerde cdd br rsk oluşturur. Esas olarak bu problem çıkış yolu vardır. İlk ve muhtemele e çok ble regresyo dagostkler yapmak ç br yaklaşımdır. Dagostkler etk oktalarıı belrlemek amacıyla verde hesaplaa bell celklerdr. Bu sapalar kaldırıldıkta ya da düzeltldkte sora kala olaylara EKK aalz yapılır. Tek br sapa olduğuda bu yötemlerde bazıları bell br zama dlmde sle br oktaı etkse bakılarak oldukça y çalışır. Maalesef dagostk sapalarıda brkaç tae olduğuda sapaları teşhs etmek çok daha zor olur ve böyle çoklu sapalar ç dagostkler oldukça gerekldr ve sıklıkla geş hesaplamaları artışıı sağlar. (bütü mümkü alt kümeler sayısı oldukça büyüktür. ) Br dğer yaklaşım robust regresyoudur. Bu yaklaşım sapalar tarafıda çok güçlü br bçmde etklemeye tahm edcler tasarlamaya çalışır. Bell belrsz robustlık fkre sahp brçok statstkç robustlığı amacıı bast br bçmde sapaları hmal etmek olduğua adı fakat bu doğru değldr. Akse sapaları taımlaabldğ robust regresyouda rezdülere bakılır k burada geelde EKK rezdüler yoluyla yapılamaz. Bu edele dagostkler ve robust regresyou gerçekte de sadece şu basamaklarda ayı amaca sahptr: Dagostk araçları kullaıdığıda lk olarak sapaları slmese çalışılır ve o zama EKK le y verye uygulaır. Akse robust aalz lk olarak ver çoğuluğuu br regresyoa uydurmak ster ve o zama robust çözümüde geş rezdülere sahp oktalar olarak sapaları keşfeder. Sorak basamak ortaya çıkarıla yapı hakkıda düşümektr. Mesela orjal ver kümese ger döüleblr ve kou sebep blgs sapalar çalışması ç kullaılır ve orjler açıklaır. Ye de eğer sapmalar model başarısızlığı ç belrt olup

23 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ olmadığı araştırılması gerekr. Öreğ belrl br döüşüm yapmak ya da kc derecel ( kuadratk )br term ekleyerek tahm edleblr. Dagostkler kadar robust tahm edcler de vardır ve ks brbrde ayırt etmek amacıyla e kadar etkl olduklarıı ölçmek gerekr. İkc kısımda bazı robust metotlarıda sapaları sayısı hesaplaarak kıyaslaacaktır. Alt bölümlerde temz ver kümeler kadar bozuk ver kümeler de aalz edleceğ brçok robust yöteme başvurulacaktır. Daha robust br regresyo tahm edcse doğru lk adım 887 de Edgeworth de geld. Edgeworth (.7) de r rezdüler kares alıdığı ç sapaları EKK üzerde çok geş br etkye sahp olduğuu celed. Bu edele e küçük mutlak değerler regresyo tahm edcs ler sürdü. Bu tahm edc şu şeklde taımlaır: ˆ m r (.9) Bu tekk geelde L regresyou olarak blr, EKK se L regresyou olarak blr. Oda öce Laplace bast medyaı elde etmek ç (.9) krter kullamıştı. Medya gb L regresyo tahm edcs tamame tek değldr. (Harter 977 ve Getle 977) tek değşkel medya ı kırılma oktası % 50 kadar yüksektr. Maalesef L regresyou kırılma oktası hala % 0 da daha y değldr. Nede görmek ç Şekl.5 e bakalım: Şekl.5 L regresyou da sapaları etks şematk br özet verr. Şekl.5(a), y-yöüdek sapaları etks gösteryor. EKK ı akse L regresyo doğrusu böyle br sapaa karşı robusttır. Yaklaşık olarak L regresyou 4. gözlem hala düzgü kaldığıda ve hala kala oktalara y br bçmde uyarke ayı şeklde kalır. Bu edele L uzaktak dolayı y ye karşı bz korur ve bu hususta EKK da 3

24 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ Şekl.5. (a) L regresyouu y-yöüdek sapmaya karşı robustlığı (dayaıklılığı). (b) L regresyouu x-yöüdek sapaa karşı hassaslığı( kaldıraç oktası ). terch edleblr. So yıllarda L yaklaşımıı statstğe belrl br yer kazadırdığı görülür. (Bloomfeld ve Steger 980,983; Narula ve Wellgto 98; Devroye ve Gyorf 984 ) Fakat L regresyou uzaktak x e karşı korumaz. Bu durum şekl 5b de görüleblr. Burada kaldıraç oktasıı etks şekldek EKK doğrusu üzerdekde ble daha güçlüdür. Bu kaldıraç oktası yeterce uzağa gttğde 4

25 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ ortaya çıkar. L doğrusu ou arasıda sağa geçer. Bu edele bast hatalı br gözlem tamame L tahm edcs yere geçeblr. Bu edele solu örekl kırılma oktası hala / dr. Bu yöde sorak adım Huber (973 s.800,98) bulduğu M tahm edcler kullaımıdır. Bular r rezdüler başka br foksyouyla (.7) de k r karelemş rezdüler yer değştrmes fkre dayaıyor. m ˆ p( r ) (.0) Burada p smetrk br foksyodur [p(-t)=p(t), t ç] ve 0 da tek mmuma sahptr. ˆ regresyo katsayılarıa göre bu fade farkı ( r ) x = 0 (.) verr. Burada, p türev ve vektörüdür: x -c durumdak açıklayıcı değşke satır x ( x,..., xp ) 0 = (0,,0) (.) Bu edele (.) gerçekte p tae deklem br sstemdr. Çözümüü bulmak her zama çok kolay değldr. Pratk olarak yede ağırlakladırılmış EKK (Hollad ve Welsch 977) ya da H-algortması dye adladırıla (Huber ve Dutter 974, Maraz 980) yötemlere dayaa plalar tekrar kullaılır. (.7) ya da (.9) u akse (.) çözümü y ekse büyütülmese azara uygu br şekle döüştürülemez. Bu edele ı belrl br tahm le rezdüler stadartlaştırmak zorudayız. Ya 5

26 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ ( r / ˆ) x = 0 (.3) yazılmalıdır. Burada ˆ eş zamalı tahm edlmeldr. Mmax asmtotk varyas tartışmalarıa ede olduğu ç Huber şu foksyou kullamayı ler sürdü: ( t) m( c,max( t, c)) (.4) (.4) lü M-tahm edcler statstksel açıda L regresyouda daha etkldr. (Normal dağılımlı br modelde) Ayı zamada uzaktak y lere göre hala daha robusttır. Fakat kırılma oktaları uzaktak x etks yüzüde hala / dr. Kaldıraç oktalarıı bu yaralaablrlğ yüzüde geelleştrlmş M-tahm edcler ler sürüldü..mallows (975) suduğu bu tahm edc belrl br ağırlık foksyou aracılığıyla uzaktak x sapalarıı etks sıırladırmak esas amacıdır. Mallows (.3) yere şu eştlğ kulladı: w( x ) ( r / ˆ) x 0 (.5) Schwepp (Hll 977 e bakıız.), Mallows u akse şuu kulladı: w( x ) ( r / w( x ) ˆ) x 0 (.6) Bu tahm edcler br tek sapa gözlem etks sıırladırmak umuduyla yapıldı. Buları etks etk foksyou (Hampel 974) dye adladırıla foksyolar aracılığıyla ölçüleblr. Böyle br krtere dayaarak ve w u e y seçmler 978 de Hampel, 980 de Krasker, 98 de Krasker ve Welsch, 985 te Rochett ve Rousseeuw ve ye 985 de Samarrow, 986 da Hampel so araştırması yapıldı. Bu edele karşılık gele GM (Geelleştrlmş M) tahm edcler geel olarak şu a sıırladırılmış etk tahm edcler olarak adladırılacaktır. Burada şu souç çıkar: 6

27 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ Bütü GM tahm edcler kırılma oktası p br foksyou gb azala br değerde daha y olmayablr. Burada p ye regresyo katsayılarıı sayısıdır. Bu çok yeterl değldr. Çükü bu arta boyutla brlkte kırılma oktasıı azalması alamıa gelr. Burada sapaları meydaa gelmes ç daha fazla fırsat vardır. Ayrıca Maroa Bustos Yoha üst sıırıa ulaşıp ulaşılmadığı açık değldr. Eğer ulaşılırsa GM tahm edcs bu amacı başarmış olableceğ kousuda açık değldr. Bölüm 3 ü 6. kısmıda bast regresyo durumuda (p=) küçük br kıyaslama çalışması gösterlecektr. Bu çalışma ayı kırılma oktasıa ulaşmış bütü GM tahm edcler göstermeyecektr. Fakat elbette k esas problem daha yüksek boyutlulardadır. Çeştl başka tahm edcler öerld. Mesela Wald (940) ı metodu, Nar ve Shrvastava (94), Bartlett (949), ve Brow ve Mood (95) ı metotları; eş yölü eğmler medyaı (Thel 950, Adche 967, Se 968); dayaıklı doğru (Tukey 970/97, Vellema ve Hoogl 98, Johstoe ve Vellema 985b); R tahm edcler (Jureckova 97, Jaeckel 97); L tahm edcler (Bckel 973, Koeker ve Bassett 978; Adrews 974 ü yötem). Maalesef bast regresyoda bu oktaları hçbr %30 luk kırılma oktasıa ulaşamadı. Üstelk oları çoğu p> ç ble taımlaamadı. Bütü bular yüksek kırılma oktalı robust regresyouu tamame mümkü olup olmadığı hakkıdak soruları arttırdı. Buu doğrulayıcı cevabı Segel(98) tarafıda verld. Segel %50 kırılma oktalı tekrarlı medya tahm edcs ler sürdüler. Gerçekte %50 bekleeblecek e y kırılma oktasıdır. (Bozulmaı daha geş mktarları ç öreğ y ve kötü kısmıı ayırt etmek ç mümkü olmaz. Segel tahm edcs aşağıdak gb taımlaablr: Herhag p gözlem ç x y,..., x, y, p p olsu. Bu oktalara tam olarak uya parametre vektörü hesaplaır. Bu vektörü j-c koordatı ˆ j med (...( med ( med j(,..., )))...) p (.7) p p dır. Bu tahm edc kolayca hesaplaablr fakat p gözlem bütü altkümeler sayısı ster. Bu se çok fazla zama alır. Küçük p-l problemlere başarılı br 7

28 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ bçmde uygulaır. Fakat dğer regresyo tahm edcler akse koordat yöüdek yapısı sayesde tekrarlı medya x leer döüşümler ç eşdeğşkel (equvarat) değldr. Yüksek kırılmalı regresyo yötemler ve equvaratları düşüelm. Buları taımak ç (.7) ye döelm. EKK yötem tam sm kareler e küçük toplamıdır.fakat açık olarak brkaç kş poztf sayı le yapılacak tek makul şey oları eklemek olacakmış gb toplam kelmes slmese karşılar.belk de tarhsel sm br soucu olarak brkaç kş bu tahm edc kare ya da başka br şey yere robust yapmaya çalışıyor.medya le toplamı yer değştrerek daha robust yapablrz. Ya; m med r ˆ (.8) dır. Bua e küçük kareler medyaı (the least meda of squares) tahm edcs der. Buu Rousseeuw 984 te buldu. Bu öer aslıda Hampel ı(975,s.380) fkre dayaıyordu. Bu tahm edc x sapalarıa olduğu kadar y dek sapalara karşı da çok sağlam olduğu ortaya çıkar. LMS (.5) rezdüler kulladığı ç açıklayıcı değşkeler üzerde leer döüşümlere karşı equvarattır. Maalesef LMS asmtotk etk görüüşüdek oktada yetersz br bçmde uygulaır. Buu tekrar etmek ç Rousseeuw(983,984) e küçük budamış kareler(the least trmmed squares) yötem sudu. Bu durum; m ˆ ( r ) : (.9) eştlğyle verlr. Burada ( r ) :... ( r ) : kares alıarak sıralamış rezdülerdr. (.6) formülü EKK ya çok bezer. Tek farkı sapalarda uzakta kalması ç modele uymasıa z vermes suretyle e geş kares alımış rezdüler toplamda kullaılmamasıdır. LMS gb bu tahm edc de x leer döüşümler ç uygu döüşümlüdür ve zdüşüm takbe bağlıdır. E 8

29 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ sağlam oralar h / olduğuda başarıldı.bu ora da kırılma oktasıı %50 ye ulaşması durumudur. LMS ve LTS her ks de rezdüler saçılımıı robust ölçümüü mmze ederek taımlaır. Buu geelleştrrsek Rousseeuw ve Yoha (984) S-tahm edcs dye adladırıla m ˆ S ( ) (.0) le fade edle tahm edcy buldular. Burada S( ) fades, r ( ),..., r ( ) rezdüler ölçümüü robust M-tahm bell br çeşddr. Burada karışık sabtler uygu br seçmyle kırılma oktası %50 ye de ulaşablr. Buda başka S- tahm edcler aslıda M-tahm edcler gb ayı asmtotk performasa sahp olduğu ortaya çıkar. Şekl.6 bu ye tahm edcler y de ve x dek sapalara karşı sağlamlıklarıı gösteryor. Yüksek kırılma oktaları yüzüde bu tahm edcler ayı zamada brkaç sapala ble başa çıkablr. Bu dayaıklılık açıklayıcı değşke sayısı ola p de de bağımsızdır. Bu edele LMS ve LTS çok değşkel durumlarda regresyo sapalarıı keşfetmek ç kullaılable aaltk araçları vers güvelr olması gerekr. LMS ve LTS esas kuralı robust modelde uzaklaşa oktalar olarak sapaları belrleyebldkte ya poztf ya da egatf rezdü durumlarıı belrleyebldkte sora ver çoğuluğuu modellemesdr. Şekl.6a da 4.durum öeml br rezdüye sahptr. Hatta Şekl.6b brc durumuda daha da açık görüüyor. Fakat geelde y ve dolayısıyla rezdüler ölçümü herhag br brmde olablr. Bu edele r rezdüsüü geş olup olmadığıa karar vermek amacıyla hata ölçeğ ˆ tahm le ou kıyaslamamız gerekr. Elbette k bu ˆ ölçüm tahm ked çde sağlam olmalıdır. Bu edele sadece y br verye bağlıdır ve sapa değer(değerler) tarafıda yukarıya çıkarılmaz. LMS regresyou ç 9

30 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ Şekl.6. LMS regresyouu y-yöüde (a) da y-yöüdek sapaa ve (b) de x- yöüdek sapaa karşı dayaıklılığı. ˆ C med r (.) 0

31 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ tahm edcs kullaablrz. Burada r LMS modele göre -c durumu rezdüsüdür. C sabt sadece ormal dağılımda uyguluğa ulaşmak ç kullaıla br faktördür. Bular küçük örekler ç br düzeltme yapar. LTS ç ˆ C (.) h ( r ) : gb br kural kullaablrz. C se başka br düzeltme faktörüdür. Her durumda - c durumu acak ve acak r / ˆ geş se br sapa olarak taımlaır. (Şuu belrtelm k bu ora orjal ölçüm brme bağlı değldr.) Bu bz başka br fkre getrr. İşlememş LMS ve LTS çözümler gelştrmek amacıyla ve t değerler, güve aralıkları, vb stadart celkler hesaplamak amacıyla sapaları belrlemese dayaa ağırlıkladırılmış e küçük kareler aalze başvurablrz. Öreğ ; w, 0 r ˆ /.5 r / ˆ.5 (.3) ağırlığıı kullaablrz. Ya c durumu LMS rezdüsü orta küçüklükte se ağırlıkladırılmış EKK da tutulacaktır fakat eğer br sapasa hmal edlecektr..5 sıırı, tabî k keyf olarak,.5 ˆ de daha geş brkaç rezdüü olacağı ormal dağılım durumuda oldukça makuldur. (.0.) dek gb sapaları reddedlmes zorluğu yere drekt redde de başvurulablr. Öreğ çft bölgel z verldğ suretyle r / ˆ ı sürekl foksyou kullaılarak r / ˆ 3 l oktaları 0 le arasıda ağırlıkları verleblr. Nasıl olursa olsu aşağıdak gb taımlaa ağırlıkladırılmış e küçük karelere başvuracağız: m ˆ w r (.4)

32 . ÖNCEKİ ÇALIŞMALAR VE REGRESYON ANALİZİNDE SAPAN DEĞERLER Yekta Stara KOÇ Bu fade hızlı br bçmde hesaplaablr. Souçlamış tahm edc ormal dağılım altıda hala yüksek kırılma oktasıa sahptr fakat statstksel alamda daha etkldr ve regresyo katsayılarıı varyas-kovaryas matrs ve belrleyclk katsayısı R gb e küçük karelerle çalışıldığıda aşkar olua bütü stadart çıktıyı verr. Sorak bölüm bast regresyodak robust yötemler uygulaması şleecektr. EKK, LMS ve yede ağırlıkladırılmış EKK açıklaacaktır

33 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ 3. BASİT REGRESYON 3.. Grş Bast regresyo model y x e =,, (3.) İk boyutlu ver kümes bölüm de bazı problemlerde gördük. Bazı saçılım grafkler yardımıyla ekk üzerde x ve y yöüde sapaları etkler gösterdk. Bu bölümde bu problemlerle başa çıkableceğmz yüksek kırılmalı regresyo tekklere başvuracağız. Bast regresyo fades baze de sabt term olmada ya; y x e =,, (3.) olarak da kullaılıyor. Bu model açıklayıcı değşke sıfırke yaıt değşke sıfır olması gerektğ varsayımıı olduğu sırada uygulamalarda kullaılablr. Grafğ çzlecek olursa orjde geçe br doğrudur. Şmd sağlam regresyo tekğe ola htyacı göstermek amacıyla Tablo3. de verle Plot-Plat (Dael ve Wood 97) vers celeyelm: Burada yaıt değşke ttrasyola belrlee ast mktarı, açıklayıcı değşke se çekme ve tartma le belrlee orgak ast mktarıdır. Yale ve Farsythe (976) da bu ver kümes aalz ettler ve saçılım grafğ açıklayıcı değşke ve yaıt değşke arasıda çok güçlü br statstksel lşk olduğuu gördüler. Ver EKK le çözümüde y ˆ 0,3x 35,458 buluur. E küçük kareler meydaıda (LMS) se y ˆ 0,3x 36,59 buluur. 3

34 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ Tablo 3.. Plot-Plat Vers Gözlem Çekme Ttrasyo () ( x ) (y ) Kayak: Dael ve Wood(97). dır. Grafkte görüldüğü gb örekte sapa değer yoktur. Böyle br olayda umulacağı gb sadece EKK ve sağlam tahm edcler arasıda marjal farklar olduğudur Kabul edelm k br değer yalış grls öreğ 6. x-gözlemde 37 yere 370 alısı. Bu hata x-yöüde br sapaa ede olur. O zama modeller tekrar oluşturduğumuzda ekk model; y ˆ 0,08x 58,939 olur.e küçük kareler medyaı se; y ˆ 0,34x 36,343 bçmde elde edlr. Burada da görüldüğü gb EKK yötem tek br sapada oldukça etklerke sağlam model ola LMS, ver büyük çoğuluğua y br 4

35 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ model olarak sapada uzak durmayı başardı. Ayrıca LMS doğrusu, bozulmamış verye Şekl 3.. EKK (keskl doğru) ve LMS (düz doğru) modelyle Plot-Plat vers EKK tahm uyguladığıdak doğruya yaklaştı. Robust tekkler sapaları hmal eder deym yalış olduğuu ortaya koydu. Akse LMS böyle oktaları varlığıı ortaya çıkarır. Kesel bast regresyou LMS çözümü ; mṋ ˆ, med y ˆ x ( ˆ ) (3.3) şeklde olur. Geometrk olarak bu gözlemler yarısıı çe ala e dar şerd bulmayı fade eder. (Buradak yarısı kavramıda kasıt [/]+ tam kısmıdır. Buula beraber 5

36 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ Şekl 3.. Şekl dek le ayı ver fakat tek sapaı var. Keskl doğru EKK modele karşılık gelr. Düz çzgl doğru se oktaları yarısıı çere e dar şertle çevrlr. bu şerd kalılığı düşey yöde ölçüleblr.) LMS doğrusu bu badı tam ortasıda uzaır. Şuu fade etmelyz k bu otasyou salara alatmak EKK taımıda daha kolaydır aslıda. Bozulmuş Plot-Plat vers ç bu şert Şekl 3. de çzlmştr. Bu örektek sapa yapaydır fakat bu tür hatalarla gerçek verlerde sık sık karşılaştığımızı fark etmek öemldr. Ver oktalarıı sapması; gözlemler kaydederkek hatalar, aktarmada ya da taımlamadak hatalar ya da celee olayda harç tutula olaylar yüzüde öreklemde mevcut olablr. boyutlu durumda(yukarıdak örekte olduğu gb sadece gözlemler grafkte çzerek farklı(alışılmamış) değerler ortaya çıkarmak oldukça kolaydır. Bu görüşü zlemek daha yüksek boyutlulara geldğde artık mümkü olmaz. Bu edele pratkte sapaları etks azaltable br yöteme htyaç vardır ve dolayısıyla rezdü grafklerde sapaları ortaya çıkar. Bua ek olarak sapa meydaa gelmedğ zama alteratf yötem soucu EKK çözümüde adre farklı olur. Burada LMS regresyouu buları gerekllğ karşılayacağı ortaya çıkar. 6

37 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ Şekl 3.3. Belçka da yılları arasıdak uluslar arası telefo aramaları sayısıı EKK (keskl doğru ) ve LMS model ( düz doğru ) Şmd de sapa değer olduğu bazı gerçek ver öreklere bakalım. Ekoom Bakalığı tarafıda yayılaa Belçka statstksel celemesde uluslar arası yapıla telefo görüşmeler toplam sayısıı çere br ver kümes bulduk. Grafk yıllar arttıkça arama sayısıı arttığıı göstermektedr. Fakat bu zama serler 964 de 969 a yoğu br krleme çermektedr. Araştırma üzere 964 te 969 a kadar arama dakkalarıı toplam sayısıı vere başka br kayıt sstem kullaıldığı ortaya çıktı.(963 ve 970 yıllarıda da kısme etkleld çükü geçşler ye yılda tam olarak olmadı.bu edele bazı aylardak arama sayısı kala aylardak dakka sayısıa ekled.)bu se y- yöüde sapaları geş br kırılmasıa sebep oldu.bu ver tablo de lstelemş ve şekl 3 te gösterlmştr. Bu ver ç EKK çözümü y ˆ 0.504x 6.0 dır. Bu model grafğ se Şekl 3.3 te keskl oktalarla gösterlmştr. Bu keskl doğru yılları arasıdak y değerlerde çok fazla etklemş. Souç 7

38 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ Tablo 3.. Belçka da Yapıla Uluslararası Arama Sayısı Yıl Arama Sayısı (x ) (y ) Mlyo yere o sayısı kullaılmış. olarak EKK doğrusu geş br eğme sahptr ve y ya da kötü oktalara uymuyor. Bu se verlere cdd br şeklde bakmayarak ve rut br şeklde EKK metodua başvurarak elde edleblecek br yoldur.aslıda y gözlemler bazıları(97 gb) kötü değerler bazılarıı EKK rezdülerde daha geş olur. Şmd de LMS yötem uygulayalım:o zama model; y ˆ 0.5x 5.60 olur. (Şekl 3.3 te tam çzgyle gösterlmştr.) Görüldüğü gb sapalarda uzak durmuştur. Bastçe grafktek ver oktalarıa bakıldığıda model ortaya çıktığı görüle öreğe dek gelr. Açıkça bu doğru ver çoğuluğua uyar.(bu br leer 8

39 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ model ster stemez e y model olacağıı ma etmez. Çükü daha fazla ver toplamak lşk daha karmaşık türüü ortaya çıkarablr.) Tablo 3.3. CYG OB Yıldız Kümes Hertzprug Russell Dyagramıı Verler Yıldız logt e log L / L0 Yıldız logt e log L / L0 İdeks (x ) (y ) İdeks (x ) (y ) ,38 5, ,4 4, ,9 4, ,39 4, , 4, ,48 6, ,38 4, ,56 5, ,45 5, ,49 6, ,3 4, ,6 5, ,53 5, ,45 5, ,53 5, ,43 5, ,38 4, ,45 5, ,50 5, ,45 5, ,55 5, ,45 4, ,4 4, Dğer br örek astroomde. CYG OB yıldız sııfıı Hertzsprug-Russell dyagramıdak ver Tablo 3.3 te verlyor. Bu yıldız sııfı Cygus yöüde 47 yıldız çeryor. Burada x yıldız yüzeydek sıcaklık etks (T ) logartması, y se e yıldızı ışık şddet( L / Lo )logartmasıdır. Bu sayılar bze Humphreys(978)de 9

40 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ ham ver alaı ve Vasa ve De Greve(98) ye göre şleye. C.Doom(kşsel kouşmayla) tarafıda verld. Hertzsprug-Russell dyagramı Şekl 3.4 te gösterlmştr. Sağda sola doğru grafklemş x logartma sıcaklık değer olduğu bu oktaları dağılımıdır.grafkte oktaları k grubu görülüyor.ver çoğuluğu ş aşağı br yokuş oluşturarak kümelemş,4 yıldız se yukarda sağ köşede kalmış.dyagramı bu kısımları astroomde y blr: 43 yıldız esas sırada uzadığı söyler buu akse kala 4 yıldız se devler olarak adladırılır.(devler,0,30 ve 34 deksl oktalardır.) Şekl 3.4. CYG OB yıldız kümes Hertsprug-Russell dyagramıı EKK (keskl doğru) ve LMS (düz doğru) model. Bu ver kümesyle LMS tahm edcse başvurmak esas dzye y br bçmde uya y ˆ 3.898x.989 model verr(düz çzgyle gösterlmştr.)dğer tarafta EKK çözümü y ˆ 0.409x

41 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ olur. Bu da 4 dev yıldızla çekle(bu 4 yıldız modele y uymaz) şekl4 tek keskl çzgyle gösterle doğruya tekabül eder. Bu sapalar kaldıraç oktasıdır ama olar hata değldr. Daha özel br fadeyle açıklarsak eğer verler k farklı popülasyoda gelyor. Bu k grup LMS rezdüler temelde kolayca ayrılablr.(geş rezdüler dev yıldızlara tekabül eder.)akse EKK rezdüler oldukça homoje ve devler aa dzde ayırmamız ç bze z vermyor. 3.. E Küçük Medya Kareler Doğrusuu Hesaplaması Blgsayar desteğ olmaksızı yüksek kırılmalı regresyo tahmler hesaplamak asla mümkü olmaz. Gerçekte LMS, EKK de kullaıldığı gb açık br formüle sahp değl. Yüksek kırılmalı regresyou ede ucuz br bçmde hesaplaamadığıı der sebepler görülür. Yukarıdak örekte, ver boyutluydu bu edele grafkledrlebld. Saçılım grafğdek br okta br rakamla gösterlr. Bu rakam, yaklaşık olarak ayı koordatlara sahp oktaları sayısıa dek gelr. 9 da fazla rakam çakıştığıda, ( * ) şaret yazar. Bast regresyoda, EKK tahm edcler üzerde oldukça güçlü br etkye sahp olable oktalar böyle br grafkte heme ortaya çıkar. O zama her j-c değşke m medyaı hesaplaır. Yukarıdak Plot-Plat çıktısıda gösterldğ gb medya extracto değer 07 ve medya ttrasyo değer 69 a eşttr. Dğer / sorak doğruda her değşke stadart sapmasıı br robust versyou gb düşüüleble s değer verr. Stadartlaştırılmış gözlemler br lstes alalım. Ya her x j le x j s j m j (3.4) yerler değştlerecek (yaıt değşke ayı yötemle stadartlaştırılacak.) Souç tablosuu sütularıı her br varyasıa ve 0 medyaıa sahptr. Bu, herhag tek br değşkede sapaları ortaya çıkarmamızı mümkü kılar. Gerçekte, stadartlaştırılmış gözlem mutlak değer geşse (ya.5 da fazla se) o zama bu değşke ç br sapadır. Plot-Plat çıktısıda bz bu şeklde olay 6 ı geş 3

42 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ exracto ölçümüe sahp olduğuu keşfettk (satadartlaştırılmış değer 3,73 tü. Bu da sırada br durum değl. Baze stadartlaştırılmış değerler, br sütudak dağılımı çarpıklığıı söyleyeblr Şmd, parametrk olmaya (o parametrk) sperma korelasyo katsayıları gb değşkeler arasıdak Pearso (product momet) korelasyo katsayılarıı verd. Robust tahmler vermede öce EKK souçlarıyla başlayalım. Stadart hataları yer aldığı tahm edlmş katsayılarla br tablo yazılsı. J-c EKK regresyo katsayısıı stadart hatası ( X ) X le bulua EKK regresyo katsayılarıı varyas kovaryas matrs j-c dagoal elemet kareköküdür. Burada X matrs X= x... x... x x... x.... x p p p X -c satırı, -c gözlemdek p tae açıklayıcı değşkede oluşa x vektörüe eşttr. Blmeye, S r p (3.5) le tahm edlr. Burada r -c rezdüdür. Tahm edlmş S ( X ) X varyaskovaryas matrs de hesaplaablr. Bast regresyo ç kese term olmadığıda p=,dğer durumlarda p= dr. Ölçek tahmyle gösterle mktar ortalamalı S S dr. j parametreler ç güve aralıkları oluşturmak ç hata termler 0 varyaslı bağımsız ormal dağılıma sahp olduğu varsayılmalıdır. Bu koşullar altıda -p serbestlk derecel Studet dağılımıa sahp 3

43 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ ˆ j S (( X X ) ) j JJ j=,,p (3.6) elde edlr.mktarları her br y blr. t p, / le bu dağılımı - / mktarıı fade edelm. O zama j gb herhag br regresyo katsayısıı öemllk test ç de kullaılablr. ˆ j t p s x x ˆ (( ) ) jj, j t p s (( x x), /, / ) jj (3.7) Ayı souç, test ç de kullaılablr. ˆ j gb herhag br regresyo katsayısıı öemllk ( sgfcece) H 0 ( sıfır hpotez ) : 0 j H 0 ( alteratf hpotez ) (3.8) : j Böyle br test j c değşke modelde slp slemeyeceğ açıklamaya yardımcı olablr. Eğer ı belrl br değer ç (3.5) tek sıfır hpotez kabul edleblre bu durum j c yaıt değşke açıklayıcı değşkee çok katkısı olmadığıı gösterr. Bu hpotez ç test statstğ ˆ s (( x x) ) j jj, j =,,p (3.9) dır. Bu ora çıktıda t değere karşılık gelr. Sıfır hpotez t mutlak değer t de büyük olduğuda sevyesde reddedlr. Bu durumda j-c p, / regresyo katsayısıı öeml br bçmde 0 da farklı olduğu söyler. Şmdk örekte =0 ve p= dr. = %5 olduğu ç -p=8 serbestlk derecel studet dağılımıı %97,5,0 e eşttr. Bu yüzde EKK eğm ortak t değer.79 olduğu ç öeml br farkı olmadığı soucu çıkarılablr. Dğer tarafta kese t değer 8,9 olup oldukça öemldr. p değer gerçekte elde edle t 33

44 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ değerde daha büyük ola -p serbestlk derecel studet dağılımlı rastgele değşke olasılığıdır. p değer 0,05 te küçük olduğuda karşılık gele regresyo katsayısı %5 alamlılık sevyesde öemldr. Yukarıdak çıktıda EKK eğm p değer 0,074 e eşttr. Bu edele öeml değldr. Buu akse EKK kese % 0, alamlılık sevyesde ble 0,000 olup model çok alamlı yapar. Yazılmış p değerler hpotez testler yapmak çok kolaydır. Çükü olasılık tabloları artık gerekl değldr. Buula brlkte (3.6) tamame robust olmadığı ç dkkatl bçmde kullaılmalıdır. Bu statstğ dağılım teorem geelde sadece hataları takp edldğ ve pratkte adre karşılaşıla ormal dağılımda koruur. Bu edele sapaları varlığıı mümkü olduğuu farkıda olduğumuz ç robust modelde lk bakışta görülür. Ver kümes etkl oktaları çerdğ görüldüğüde aşağıda verlecek ola RLS çözümüü t değere gdlmes gerekr. Yaıt değşke le açıklayıcı değşke(ler) arasıdak leer lşk dayaıklılığıyla lgl br fkr elde etmek ç belrleyclk katsayısı (R ) çıktıda görülür. R regresyo tarafıda açıklaa toplam çeştllğ oraıı ölçer. Tam br formül ç sabt terml regresyo le sabt termsz regresyou ayırmamız gerek EKK regresyou ç R aşağıdak gb hesaplaır: R SSE SST, sabt termsz modelde R SSE SST m, sabt terml modelde Burada; SSE=Rezdü hatalarıı kareler toplamı = ( y yˆ ) 34

45 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ SST=Bütü kareler toplamı ve = y SST m Ortalamaya göre bütü düzeltlmş kareler toplamı = ( y y) Burada y y dr. Sabt terml bast regresyo durumuda belrleyclk katsayı ve y arasıdak Pearso korelasyo katsayısıı karese eşttr. Plot-plat vers ç EKK ya karşılık gele R y açıklaya x R değer 0,4 e eşttr. Buu alamı bast regresyo modelde y sadece %4, açıkladı. Burada sıfıra eşt olması hpotez test etmek de düşüüleblr. Formüle edersek; R H : 0 (sıfır hpotez) 0 R H : 0 (alteratf hpotez) (3.0) R olur. Bu hpotezler sabt term olmadığı model harç bütü regresyo katsayılarıı vektörüü sıfıra eşt olup olmadığı teste dektr. Ya (3.0) aşağıdake dektr: H 0 Bütü kesesz j ler heps sıfırdır. H H 0 doğru değldr. (3.) 35

46 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ Burada katsayılar brlkte düşüüldüğüde tek br regresyo katsayısı üzerde yukarıdak t testde oldukça farklıdır. Eğer zama aşağıdak statstkler F dağılımıa sahptr: e ormal dağılımlı se o ( R /( p ) ( SSTm SSE) /( p ) ~ F p, p, sabt terml regresyo R ) /( p) SSE /( p) ç ( R / p R ) /( p) ( SST SSE) / p SSE /( p) ~ F p, p, dğer durumlarda Eğer uygu statstğ hesaplamış değer ortak F değer (- )-ıcı sıklık derecesde daha az se o zama H 0 kabul edleblr. Eğer değlse H 0 reddedleblr. p değer F değer aşmış uygu serbestlk derecel br F dağılımıda rasgele değşm olasılığıdır. Bozulmuş Plot-Plat vers ç ve 8 serbestlk derecel F değer,955 elde ettk. Uygu p değer 0,03 dür ve bu edele %5 sevyesde alamlı değldr. Souç olarak H 0 reddedlemedğ ç alamlılık yöüde açıklayıcı değşke yaıt değşke gerçekte açıklamadığı EKK tahm edclerde görüldüğü söyleleblr. t-test, R ve F-test yorumu bölüm4 te görülecek ola çok boyutlu ver kümeler ç hala doğru olacaktır. Şekl 3. celedğde durum 6 EKK doğrusuu güçlü br bçmde çektğ ve s y de yukarı çektğ ç stadartlaştırılmış rezdüsü sadece -.6 dr. Bu değer heyeca verc br yöde olmadığı heme heme açıktır. LMS regresyouu souçları aşağıdak gbdr: İlk başta regresyo parametreler tahmler ve buula brlkte karşılık gele ölçüm tahm verlr. Bu ölçüm tahm de robust şeklde taımlaır. Bu amaçla lk ölçüm tahm s 0 hesaplaır. s 0, ve p ye bağlı br düzeltme çarpaıı solu br öreklemle çarpılmasıda oluşa objektf foksyouu br değere dayaır. 36

47 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ s med 0 5,486 r p Bu ölçek tahmyle stadartlaştırılmış 0 r / s rezdüler hesaplaır ve aşağıdak gb -c gözlem w ağırlığıı taımlamada kullaılır. w 0, r / s, d. h 0,5 (3.) LMS regresyou ç ölçek tahm o zama şu şeklde verlr: * w w r p (3.3) * ı %50lk kırılma oktasıa sahp olduğua dkkat edelm.ya krleme %50 de azı ç * * veya 0 olmaz.şmdk örekte başlagıçta hesaplaa EKK ölçümü ola s=5,6 da daha küçüktür. * =.33 dr. Bu değer LMS ayı zamada y dek gözlemş değşm uygu model asıl y açıkladığıı taımlamak ç br ölçüdür. Klask yöteme bezer şeklde R belrleyclk katsayısıa dyeceğz. Sabt terml regresyo durumuda; med r R (3.4) mad( y ) sabt (kese) term olmadığıda se; med r R (3.5) med y dr. Burada mad=medyaı mutlak sapması (meda absolute devato) ı kısaltmasıdır ve 37

48 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ mad ( y ) y med y dr. Plot-Plat çıktısıda robust belrleyclk katsayısı 0,996 dır.ya ver büyük çoğuluğua oldukça y br model olmuştur. LMS ç de gözlemş y,tahm edlmş ŷ,r rezdüsü ve * r / stadartlaştırılmış rezdülü br tablo verlr.bu da açıkça gösteryor k * r 6 / değer -78,50 gb çok büyük br değere eşt olduğu ç durum6 br sapadır. Bu çıktıı e so kısmı yede ağırlıkladırılmış e küçük kareler regresyou(rls) le lgldr. Rezdüler kareleryle toplamıı mmum yapmaya dektr. w ağırlığıı çarpımlarıı m w r (3.6) ˆ w ağırlıkları s 0 yere * so ölçüm tahmyle brlkte (3.6) dak LMS çözümüde taımlaır. Sadece 0 ve değerler alable bu ağırlıkları etks w sıfıra eşt olduğu durumlardak slmeye bezerdr. (3.6) le lgl ölçek tahm s w w r p (3.7) dr. (Bütü durumlar ç w = yazıldığıda sırada EKK ç ölçek tahm tekrar buluur.) Bu edele RLS sadece sıfırda farklı br değer ala öyle gözlemlerde oluşa azaltılmış ver kümel klask EKK gb görüleblr. Bu azaltılmış ver kümes artık regresyo sapalarıı çermedğ ç statstkler ve souçlar bütü ver kümesdek EKK lı brleşmlerde daha güvelrdr. Ağırlıklar karmaşık br bçmde verye bağlı olduğu ç vurgulaa dağılım teors tamame gerekl 38

49 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ değldr. Fakat bu dağılım hala e y br yaklaşım gb e de bazı Mote-Carlo deemeleryle doğrulamış gb kullaışlı değldr. Şmdk örekte durum6 harç bütü w ler e eşttr. Burada durum6 gerçekte br sapadır. RLS le elde edle regresyo katsayıları LMS lk basamağıda taımlaalarla güçlü br bezerlk gösterr. Dkkat edelm k sapalar olmada eğm tahm sıfırda öeml derecede farklıdır. RLS ç belrleyclk katsayısı EKK e bezer br bçmde taımlaır. Fakat bütü termler w ağırlıklarıyla çarpılır. Bu örek ç bu durum so derece öemldr. Çükü F değer çok büyüktür ve bu edele karşılık gele p değer sıfıra yakıdır. EKK ve RLS souçları gerçekte tamame farklı olduğuda sapaları taımlamak (RLS aracılığıyla) ve bular üzerde çalışmak doğru olacaktır. Bazı salar buu yere EKK ve RLS arasıda seçm yapmak düşücese yatkılar ve geelde daha alamlı t değerler ve F değerler tahmler terch edecekler ve geelde yüksek ola R y e y regresyo varsayıyorlardı. Bu artık yapılmıyor. Çükü EKK souçları sapalara karşı çok hassastır. Burada R k şeklde etkleeblr. Gerçekte de herhag br ver EKK ya at R s br ya da daha fazla kaldıraç oktasıyla e yaklaşablr. Geelde RLS çoğuluğu R s tamame çok yüksek olmadığı soucua uygu bçmde ve yüksek R de sorumlu sapaları gösterr. (ya da bazı ler sıfırda alamlı br şeklde farklı buluablr Örekler Burada gerçek ver örekleryle sağlaa souçları daha fazla açıklayacağız. Örek 3.3. : İlk kelme-gesell adaptasyo skor vers 39

50 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ Tablo 3.4. İlk Kelme-Gesell Adaptasyo Skor Vers Çocuk Ayca Yaşı Gesell Skor () (x ) (y ) Kayak : Mckey (967) Şekl 3.5. İlk kelmedek yaşıa göre Gesell adaptasyo skoruu saçılım grafğ Bu k boyutlu ver kümes Mkey de gelr ve geş br bçmde gösterlr. Açıklayıcı değşke br çocuğu lk kelmes söyledğdek yaşı ve yaıt değşke 40

51 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ se buu Gesell adaptasyo değerdr. Bu ver çocuk ç Tablo 3.4 görülüyor ve şekl5 te grafklemştr. Mckey 9 gözlem br sapa olduğua basamak regresyouda sapaları arama yaklaşımı le karar verd.bu örekte 9. deks durumu sıfır ağırlığıı aldı.gerçekte de bu durum LMS modelde geş rezdülere sahp olduğu ç sapa olarak taımlaıyor.ekk ve RLS deklemler bu ver kümes ç çok farklı değldr. ve 8 okta çft EKK yı y br yöde çekyor.bu oktalar y kaldıraç oktalarıdır ve küçük EKK rezdüler gb küçük LMS rezdülere sahptrler (Bu oktaları herhag br ya da her ks slmes güve aralıklarıı geşlğde öeml br etkye sahptr.)bu ver kümes ve 8 oktalarıı slmes x ve y arasıdak leer lşky çok fazla bırakmayacağı ç bu ver kümes leer regresyouu y br öreğ olmadığı söyleeblr. Örek 3.3.: Yılları Arasıdak Yagı Sayısı Tablo 3.5 te verle bu ver kümes Belçkalı yagı sgorta şrketlere bldrle yagı hbarlarıı 980e kadar gdşatıı göstermektedr.(belçkalı sgorta şrket yıllık raporuda alımıştır. Bu örekte çok az okta vardır) Tablo arasıda Belçka da yagı hbarlarıı sayısı YIL ( x ) YANGIN SAYISI 76 6,694 77,7 78, , ,874 Şekl 3.6 da saçılım grafğe bakıldığıda yıllar üzerde haff yukarı doğru br eğlm olduğu dkkat çekyor. Buula brlkte 976 dak sayı oldukça yüksektr. Buu sebeb o yıl yaz döem oldukça sıcak ve kuruydu. ( Belçka stadartlarıyla kıyaslaırsa ) Bu durum doğada kayaklı olarak ağaçları ve çalıları yamasıa sebep oldu. Bu durumda 4

52 3. BASİT REGRESYON Yekta Stara KOÇ Şekl yıllarıda Belçka dak yagı hbarıı sayısı EKK ç, y ˆ 387,5x 4480,8 (keskl çzg) LMS ç, y ˆ 534,3x 883,3 (düz çzg) buluur. Tahmler çok farklı olduğu göze çarpıyor. EKK verye azala eğmle uyarke akse LMS doğrusu artarak uyum sağlıyor. Sapa değer x mezl dışıda uzaır ve kötü br bçmde yaramaya EKK e sebep olur. Hatta bu sapa e geş EKK rezdüsüe sahp olmaz. Bu örek tekrar gösteryor k EKK rezdüler celemes sapa(lar)ı ortaya çıkarmak ç yeterl değdr. Elbette k, böyle küçük br ver kümesde herhag br güçlü statstksel souçlar çzemeyz fakat EKK ve LMS esase e zama farklı souçlar vereceğ ver kümes hakkıda dkkatl düşüülmes gerektğ gösterr. Örek 3.3.3: Ç de Fyatları Artmasıı Yıllık Oraı 4