Orkun COŞKUNTUNCEL a Mersin Üniversitesi

Transkript

1 Kuram ve Uygulamada Eğtm Blmler Educatoal Sceces: Theory & Practce - 3(4) Eğtm Daışmalığı ve Araştırmaları İletşm Hzmetler Tc. Ltd. Şt. DOI: 0.738/estp Sosyal Blmlerde Alteratf Regresyo Yötem Kullaımı ve E Küçük Kareler le M Tahm Yötemler Belrleyclk Katsayısı Açısıda Karşılaştırılması Orku COŞKUNTUNCEL a Mers Üverstes Öz Bu çalışmaı amacı, sosyal blmler alaıda yaygı olarak kullaıla regresyo aalzde ayrık değer/değerler (outler) e küçük kareler tahmler üzerdek etkler görmek ve e küçük kareler klask yötem le alteratf robust M tahm yötem belrleyclk katsayısı (R ) yardımıyla karşılaştırmaktır. Bu amaçla br hpotetk ks gerçek üç ver set üzerde aalzler yapılmıştır. Hpotetk ver rastgele seçle 5 öğrec geel matematk ve leer cebr ders otlarıda oluşmaktadır. Gerçek verlerde lk ver toplama aracı olarak Saldırgalık Ölçeğ, Akademk Yetklk Beklets Ölçeğ, Akra Baskısı Ölçeğ ve Sürekl Kaygı Evater kullaıla 3 brmlk saldırgalık düzey versdr. İkcs, ver toplama aracı olarak Maslach Tükemşlk Evater öğrec formu, Stresle başa çıkma tarzı ölçeğ, Sıav kaygısı evater, Ergelerde yetklk beklets ölçeğ, Aa Baba tutumları evater kullaıla 385 brmlk tükemşlk versdr. Küçük, orta ve büyük brm sayısıa sahp ver setleryle yapıla karşılaştırmalar soucuda özellkle ayrık değer/değerlere sahp verler ç M tahm yötem e küçük kareler yöteme göre daha yüksek R değerlere sahp tahmler üreterek y br alteratf olduğu görülmüştür. Elde edle bulgular lteratür ışığıda tartışılarak öerler suulmuştur. Aahtar Kelmeler Ayrık Değer, Belrleyclk Katsayısı, E Küçük Kareler, M Tahm Edc, Regresyo Aalz, Robust İstatstk. Blmsel araştırmalarda k ya da daha çok değşke arasıda br lşk olup olmadığıı bulmak ve bu lşk br matematksel deklemle asıl fade edlebleceğ göstererek geleceğe döük tahmler yapmak öeml br boyuttur. Öreğ br ekoomst aleler gelr düzey le harcamaları arasıdak, br eğtmc öğrecler devamsızlık durumları le başarı düzeyler arasıdak lşky göstermek steyeblr. Matematksel olarak modellee bu lşk, k ya da daha çok değşke arasıdak foksyoel lşky göstermekle kalmaz, değşkelerde br öcede saptaa br değer ç dğer tahm edlmes de sağlar. Değşkeler arasıdak lşk br eştlk le modellemes ve açıklamasıı sağlaya tekk, regresyo aalzdr ve heme her alada uygulamaları buluur (Arıcı, 99). Regresyo aalz blmsel çalışmalarda çok öeml br yere sahp olmasıı ede, blm temel görevlerde br ola geleceğe yöelk tahm etme şlev yere getrmesdr. Regresyo aalzde k veya daha çok değşke lşks celemek mümküdür. İlglele değşke sayısı k se bua bast regresyo aalz; değşke sayısıı kde çok olması durumua se çoklu regresyo aalz der (Arıcı, 99; Büyüköztürk, 005). a Dr. Orku COŞKUNTUNCEL Matematk Eğtm alaıda yardımcı doçettr. Çalışma alaları arasıda matematk eğtm ve robust statstksel yötemler yer almaktadır. İletşm: Mers Üverstes, Eğtm Fakültes, İlköğretm Bölümü, 330 Yeşehr, Mers. Elektrok posta: orkuct@gmal.com Tel.: /733.

2 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ Regresyo aalzde ayrıca değşkeler arasıdak lşk bçm de çok öemldr. Eğer değşkeler arasıdak lşk doğrusal se probleme doğrusal veya leer regresyo aalz, aks takdrde doğrusal olmaya veya eğrsel (curvlear) regresyo aalz der. Uygulamada sıklıkla doğrusal regresyo aalz problemleryle karşılaşılmaktadır (Büyüköztürk, Çokluk ve Köklü, 0). Regresyo aalz değşkeler bağımlı ve bağımsız değşkeler olarak ayrımı le başlar. Bağımlı değşke geellkle y ve bağımsız (açıklayıcı) değşke se x le gösterlr. Geel olarak y değşke, x değşke br foksyoudur ve y değşke üzerdek değşm, araştırmacıı kotrolüde hmal edleblr hata le ölçüle, x değşke değere bağlıdır. Bu durum matematksel olarak Y = f(x) bçmde br eştlkle yazılır (Arıcı, 99). Bast doğrusal regresyo model geel olarak, y = β 0 + β x + ε () veya (y, x ),, (y, x ) şeklde brmlk ver çfte sahp olduğumuzu varsayarsak y = β 0 + β x + ε, =,, () şeklde yazılablr. Burada β 0 kesm oktasıı göstere sabt değer, β regresyo doğrusuu eğm ve ε rastgele hata bleşedr. ları sıfır ortalamalı, blmeye σ varyaslı ve lşksz olduğu varsayılır. Ya -c hata mktarı gerye kala başka br hata değere bağlı değldr. Tahm edlmes gereke β 0 ve β katsayılarıa regresyo katsayıları der. β eğm, x dek br brm değşm, y de meyda getrdğ ortalama değşm mktarıı gösterr (Büyüköztürk, 005). Bezer şeklde çoklu doğrusal regresyo model geel olarak, y bağımlı değşke, k tae bağımsız değşke le lşkl olmak üzere, y = β 0 + β x + β x + + β k x k + ε (3) şekldedr. Bu model x j bağımsız değşkeler oluşturduğu k boyutlu uzaydak alt düzlem gösterr. Tahm edlecek β j blmeye regresyo katsayısı, x j bağımlı değşke dışıdak tüm bağımlı değşkeler sabt tutulmak kaydıyla, x j dek br brm değşme y de yol açması beklee değşm gösterr. Buda dolayı β j ye kısm regresyo katsayısı da der (Draper ve Smth, 998). Geel olarak regresyo aalzde modeller matrs formuda göstermek model, ver ve souçlar açısıda daha etkl ve pratktr (Motgomery, Peck ve Vg, 00). Bu gösterm gerek e küçük kareler gerekse M-tahm edcler le yapılacak tahmler teork olarak daha alaşılablr olmasıı sağlamaktadır. (3) te verle çoklu doğrusal regresyo model matrs gösterm le (4) olmak üzere y = Xβ + ε (5) olarak yazılablr. Burada y, x tpde gözlemler vektörü, X matrs, x p tpde bağımsız değşke matrs, β, p x tpde tahm edlecek regresyo katsayılarıı vektörü ve ε, x tpde rastgele hataları vektörüdür. Burada k bağımsız değşke sayısı olmak üzere p = k + dr ve ler sabt term çdr. Ayrıca k = alıırsa bast doğrusal regresyo model elde edlr. Regresyo aalz aşağıda verle öeml varsayımlar/ sayıltılar altıda gerçekleşr: ) y bağımlı değşke le bağımsız değşke/değşkeler arasıdak lşk leer ya da yaklaşık leerdr. ) ε hataları sıfır ortalamalıdır. ) ε hataları σ sabt varyaslıdır. v) lar lşkszdr. v) lar ormal dağılıma sahptr. Normallk varsayımı hpotez testler ve aralık tahmler ç gerekldr. So k varsayımı br arada düşüülmes hataları bağımsız rastgele değşkeler olmaları alamıa gelr (Draper ve Smth, 998; Motgomery ve ark., 00). Regresyo aalzde blmeye regresyo katsayılarıı tahm etmek ç e sık kullaıla yötem e küçük kareler yötemdr. (5) le verle matrs formudak doğrusal regresyo modelde hareketle e küçük kareler tahm edcler ε = y Xβ olmak üzere ε hata kareler toplamıı mmze eder. Böylece b ı e küçük kareler tahm, = (X, X) - X, y (6) şeklde elde edlr. Böylece tahm edlmş regresyo model = X = 0 + x + x + + k x k (7) şeklde formüle edleblr. E küçük kareler ç stadartlaştırılmış rezdüler e = y olmak üzere, e r = (8) ˆσ le verlr. Burada, ˆσ = e p (9) = dr ve hatalar bağımsız, sıfır ortalamalı, σ stadart sapmalı, özdeş dağılıma sahp olduğuda 40

3 COŞKUNTUNCEL / Sosyal Blmlerde Alteratf Regresyo Yötem Kullaımı ve E Küçük Kareler le M Tahm Yötemler... σ, σ yasız tahm edcsdr (Brkes ve Dodge, 993; Chatterjee, Had ve Prce, 000; Draper ve Smth, 998; Motgomery ve ark., 00). E küçük kareler yötem klaskleşmş olmasıı temel ede hesaplamasıı kolaylığıdır. Tahm verler yardımıyla herhag br teratf yöteme htyaç olmaksızı drek ve kolaylıkla hesaplamaktadır. Ayrıca dğer tüm yasız tahm edcler çde e y leer yasız tahm edcdr ve eğer hatalar ormal dağılıyorsa, Maksmum Lkelhood tahm edcse bezedğ gb bu durumda dğer yasız tahm edclere göre mmum varyaslı tahm verr (Arsla, 99; Arsla ve Bllor, 996; Coşkutucel, 005; Motgomery ve ark., 00). E küçük kareler yötem, verler ormal dağılıma sahpke çoğu zama uygu yötemdr ve y statstksel özellklere sahp tahmler verr. Acak ormallkte sapmalar olduğu durumlarda uygu yötem olmakta çok uzaktadır. Bu tp durumlarda alteratf tahm edc olarak robust tahm edcler düşüüleblr (Arsla ve Bllor, 000). İstatstksel yötemler sağlamlık teors ola robust statstk, verler ormalde sapmalarıı klask yötemlere etkler celer ve gerekyorsa daha uygu br yötem gelştrr. İstatstksel çalışmalarda, regresyo tahm edcs ç başlagıçta kabul edle varsayımlar doğru olmazsa ble y souçlar vereble yötemler elde edeblme uğrua öeml çabalar sarf edlmştr. E küçük kareler ormallk varsayımı altıda ble e uygu tahm edc olduğu düşüces Tukey (960) A survey of samplg from cotamated dstrbutos adlı çalışması le so bulmuştur. Daha sora bu çalışmada esleerek brbre paralel dört öeml robust teor, Huber (964; 965), Hample (968), Rousseuw (984) tarafıda ortaya atılmıştır. Yukarıda fade edldğ gb, regresyo aalzde karşılaşıla e büyük problem verdek br veya daha fazla gözlem dğer gözlemlerde farklı olması, ya ayrık değer problemdr. Robust statstksel yötemler esas hedef bu tp ayrık değer çere verlerde ble tutarlı souçlar vere yötemler gelştrmektr. Robust regresyo tahm yötemler, geellkle e küçük kareler yötemde daha y statstksel souçlar üretmelere rağme, lteratür celedğde, statstksel aalzlere gereksm duya ve statstksel yötemler kullaa blm dallarıda sosyal blmlerde, bağımlı değşke e y yordaya bağımsız değşke/değşkeler belrlemek ç e küçük kareler klask yötem terch edlmektedr (Aktaş, 005; Aluçdb ve Ekc, 0; Güdüz ve Çelkkalel, 009; Güeş ve Tulçal, 00; İadı, 009; Rahma ve Amr, 0; Şah ve Aıl, 0). Brçok robust tahm yötem olmasıa karşı, bular arasıda e çok kullaılalar klask robust tahm yötem olarak da ble M-tahm edcs (maksmum lkelhood tp tahm edc), L-tahm edcs (sıra statstkler leer kombasyoları), R-tahm edcs (raka dayalı veya rak döüşümüe dayalı tahm edc), RM-tahm edcs (repeated meda-tekrarlı medya tahm edcler), LMS-tahm edcs (medya kareler e küçüğüü kullaa tahm edc) dr (Arsla, 99, 004a, 004b; Arsla, Edlud ve Ekblom, 00; Belsley, Kuh ve Welsch, 980; Hample, Rochett, Rousseeuw ve Stahel, 986; Huber, 98; Rousseeuw, 984; Rousseeuw ve Leroy, 987; Rousseeuw ve Yoha, 984; Rousseeuw ve Zomere, 990). (5) te verle model ç e küçük kareler tahm (6) da verlmşt. E geel halde (5) dek b katsayısı ç M tahm edcs, r(e), ) ρ(e) 0 ) ρ(0) = 0 ) ρ(e) = ρ(-e) v) e > e j, j ke ρ(e ) ρ(e ), e = y xʹ β koşullarıı sağlaya ble br foksyo olmak üzere = = ρ (e ) = ρ(y x β) (0) foksyouu mmum yapar. E çok kullaıla k ρ foksyou, Huber ve Tukey ρ foksyolarıdır. Huber ρ foksyou k =,345 olmak üzere e /, k e k ρ(e) = k e (k / ), d.y. şekldedr. Tukey ρ foksyou c = 5 veya 6 olmak üzere ρ(e) = şekldedr (Huber, 98). Her k foksyoda brbrlere yakı tahmler üretmese rağme Huber r foksyouu br sakıcası baze ayrık değerler ç küçük ama sıfıra uzak ağırlıklar üreteblecek olmasıdır. Tukey ρ foksyou matematksel özellklerde dolayı bu sakıcaları ortada kaldırmaktadır (Hample ve ark., 986; Maroa, Mart ve Yoha, 006; Rousseeuw ve Leroy, 987). Bu çalışmada Tukey ρ foksyou kullaılacaktır. Foksyou mmum yapacak β değer elde etmek ç (0) dak foksyou β ye göre türev sıfıra eştlerse, ρ (y x β )x = 0 () = elde edlr. (3) tek foksyou 4

4 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ ρ, e 0 () = (e ).e x = 0 e olarak yazablrz. (4) tek foksyoda w = ρʹ(e )/ e dersek foksyo, wxe = wx(y x β ) = 0 (3) = = şeklde yazılır ve burada = = wxy = wxx β (4) ormal deklemler elde edlr. Bua göre b ç M tahm edcs, = M wxx wxy = = (5) dr. Matrs formuda, (5) dek ormal deklemler, W matrs köşegede w ağırlıkları bulua köşege br matrs olmak üzere, XʹWXβ = XʹWy (6) ve M tahm = M (XʹWX)- XʹWy (7) olarak elde edlr. Buradak w ağırlıkları her br gözlem ç ele edlecek ve eğer gözlem veya gözlemler br gurubu gerye kalalarda farklı ola, ayrık değerlerse, sıfıra yakı ağırlıklara sahp olacaktır. Bua karşılık kala gözlemler bre yakı ağırlıklara sahp olacaktır. Böylece ayrık değerler modele yaptıkları olumsuz katkı mmuma drlmş olacaktır (Coşkutucel, 009). Yötem () de verle mmzasyo problem ç br algortmaya gerek vardır. Algortmaya başlamak ç geellkle e küçük kareler tahm başlagıç değer olarak alıarak terasyolar yaptırılır ve ayrık değerlere karşı e uygu w ağırlıkları elde edlr (Brkes ve Dodge, 993). Gerek bağımlı, gerekse bağımsız değşkeler ayrık değerlere sahp olablrler. Bu çalışmada sadece bağımlı değşkeler ayrık değer veya değerlere sahp olması durumu ele alıacaktır. Regresyo aalz kullaıla br araştırmada tahm edle model kaltes değerledrmek gerekr. Başka br fadeyle, uydurulmuş model y dek değşmler e kadar açıklayabldğ blmeldr. Buu ç e yaygı kullaıla yötem R belrleyclk (determasyo) katsayısıa bakmaktır. Belrleyclk katsayısı x bağımlı değşke/değşkeler le y de açıklaable değşm oraıdır. E küçük kareler ç R değer Tablo de verle regresyou alamlılığı ç varyas aalz (ANOVA) tablosuda hesaplaablr. ANOVA yı oluşturmak ç y hata kareler toplamıda model varyasıı tahm edlmes le başlaya br sürec yürütmek gerekr (Motgomery ve ark., 00). Bua göre, e küçük kareler ç R belrleyclk katsayısı (klask belrleyclk katsayısı) KT R R KTH = = (8) KTT KTT le hesaplaır. KT T, x bağımsız değşkeler etkler göz öüe alımada y dek değşeblrlğ ölçüsü ve KT H se x bağımsız değşkeler kabul edldkte sora y dek değşeblrlğ ölçüsü olduğuda R ye x le açıklaable değşm oraı da der. KT H, sıfır ve KT T değerlere eşt ya da aralarıda br değer olması edeyle 0 R dr. R e yakı değerler regresyo model y dek değşeblrlğ büyük orada açıklayabldğ alamıa gelr. E küçük kareler ç verle R klask belrleyclk katsayısı, çok dkkatle kullaılması gereke br statstktr. Çükü verye ye gözlemler eklemes ve modeldek bağımsız değşke sayısıı arttırılması belrleyclk katsayısıı yükseltr. Acak bu artış ye model daha y olduğu alamıa gelmemektedr. Ayrıca bağımsız değşke değşm geşlğ çok küçük olması durumuda küçük br belrleyclk katsayısı elde edleblr. Bezer şeklde geşlk büyük se büyük br belrleyclk katsayısı elde edleblr. Ek olarak başlagıç varsayımlarıı yalışlığı ve özellkle ayrık değerlere karşı çok hassas ola belrleyclk katsayısı değşkeler arasıdak leer lşk zayıf olması durumuda da büyük elde edleblr (Motgomery ve ark., 00). Klask yaklaşımdak bu soruu gdermek ç Reaud ve Feser (00), y bağımlı veya amaç değşke le ou robust tahm arasıdak korelasyoa dayalı robust belrleyclk katsayısı R w y öermşlerdr. R w y, y w = (/Σw )Σw y, = (/Σw )Σw ve w le robust M tahm le elde edle ağırlıklar ve uydurulmuş değerler olmak üzere (9) şeklde verlmştr. Ayı ağırlık ve uydurula değerler ç R w toplam kareler toplamı (KT T ) formuu w (y y ˆ ) R = w = (0) w (y y ) = w 4

5 COŞKUNTUNCEL / Sosyal Blmlerde Alteratf Regresyo Yötem Kullaımı ve E Küçük Kareler le M Tahm Yötemler... Tablo. Regresyou Alamlılığı İç Varyas Aalz Tablosu Değşm Kayağı Kareler Toplamı (KT) Serbestlk Dereces Kareler Ortalaması (KO) F Regresyo KT R = (yˆ y) k KO R = KT R / k KO R / KO H = KT H = (y y ˆ ) k KO H = KT H / ( k ) = Toplam KT T = (y y) = şeklde vermşler ve bu k belrleyclk katsayısıı eşt olduğuu göstermşlerdr. Dğer yada, robust belrleyclk katsayısı verdek ayrık değerlerde daha az etkler ve hataları ormal dağılması durumuda daha vermldr. Ayrıca açıklayıcı değşkeler dağılımları üzerde herhag br varsayım yapmaz ve dolayısıyla amaç değşke koşulsuz dağılımı çde varsayıma htyaç duymaz (Reaud ve Feser, 00). Başta sosyal blmler olmak üzere brçok alada yukarıda ayrık değerlerle lgl söz edle bu dezavataja rağme regresyo aalzde e küçük kareler yötem kullaılmaya devam edlmektedr. Ülkemz açısıda buu e öeml ede, robust yötemler e küçük kareler akse teratf yötemlere htyaç duymalarıda dolayı hesaplamasıı zor olmasıı yaıda (Rousseeuw ve Leroy, 987), regresyo aalzde e küçük kareler yötem dışıda başka yötemler yeterce ele alımamış olmasıdır. Bu çalışmada hpotetk ve gerçek verler çerçevesde e küçük kareler ve M tahm karşılaştırılarak söz kousu değer sapmalarıı etks mmuma drecek e uygu yötem belrlemeye çalışılmıştır. Coşkutucel (009) e küçük kareler tahm ayrık değerlere karşı çok hassas olduğuu M tahm se bu ayrık değerlere karşı daha dreçl olduğuu göstermştr. Bu çalışmada hem gerçek hem de hpotetk verler üzerde ayrık değerler belrlemş ve R belrleyclk katsayısıı robust formu yardımıyla tahmler karşılaştırılmıştır. Bu çalışma le blmsel araştırmalarda sıklıkla kullaıla tahm yötemlerde e uygu souçları vereblecek alteratf tahm yötem ortaya koymak ve taıtmak amaçlamaktadır. Yötem Bu çalışmada bast ve çoklu leer regresyo yötemler uygulaa verler ç klask ve robust M regresyo aalz yötemler karşılaştırılmıştır. Ayrık değerler e küçük kareler klask yötem üzerdek etkler ve robust M yötem bu ayrık değerlere karşı gösterdğ dreç, belrleyclk katsayısıı klask ve robust formu yardımıyla gösterlmştr. Araştırma Verler Bu çalışmada hpotetk ve gerçek olmak üzere toplam 3 ver set üzerde çalışılmıştır. Hpotetk verde rastgele seçle 5 öğrec Geel Matematk başarısıı Leer Cebr ders başarısı üzerdek yordayıcı etkse bakılmıştır. Bast Leer regresyo model kullaıldığı bu ver set 0-0 eğtm öğretm döemde Mers Üverstes Eğtm Fakültes İlköğretm Matematk Öğretmelğ Bölümüdek rastgele seçle 5 öğrec derslere lşk başarı otlarıda elde edlmştr. Çoklu regresyo model kullaıldığı gerçek verler daha öce e küçük kareler yötem le aalz yapılmış ve yayılamış çalışmalarda elde edlmştr. Bularda lk Güdüz ve Çelkkalel (009) akademk yetklk acı, akra baskısı ve kaygı değşkeler kız ve erkek ergeler saldırgalık düzeyler yordamadak katkılarıı celedğ saldırgalık düzey versdr. Ver, öğretm yılı bahar yarıyılıda, Mers l merkezde bulua geel, Aadolu ve meslek lselerde okumakta ola ve rastgele örekleme yötemyle ulaşıla 9 kız, 0 erkek toplam 3 lse öğrecs ergede oluşmaktadır. Ver toplama aracı olarak; Saldırgalık Ölçeğ, Akademk Yetklk Beklets Ölçeğ, Akra Baskısı Ölçeğ ve Sürekl Kaygı Evater kullaıla araştırmada Akademk Yetklk İacı (AYİ), Akra Baskısı (AB) ve Sürekl Kaygı (SK) değşkeler kız ve erkek ergeler saldırgalık düzeyler yordamadak katkıları celemştr. İkc ver set öğrec tükemşlğ yordamada stresle başa çıkma, sıav kaygısı, akademk yetklk ve ae-baba tutumları değşkeler celedğ Çapulcuoğlu (0) tarafıda Mers merkez lçeler- 43

6 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ de bulua lse kurumlarıda küme örekleme yötem kullaılarak belrlee 385 öğrec le yapıla yüksek lsas tezde elde edlmştr. Araştırmada, bağımlı değşke ola öğrec tükemşlğ değerledrmek üzere br (Maslach Tükemşlk Evater-Öğrec Formu-MTE-ÖF), bağımsız değşkeler (stresle başa çıkma, sıav kaygısı, akademk yetklk ve aa-baba tutumları) durumuu belrlemek amacıyla beş farklı ölçme aracı kullaılmıştır. Buu yaıda, Araştırmaı bağımsız değşkeler ola csyet, sııf düzey, okul türü ve algılaa başarı düzey durumlarıı belrlemes amacıyla araştırmacı tarafıda kşsel blg formu oluşturulmuştur. Ölçme araçları, Kşsel Blg Formu, Maslach Tükemşlk Evater-Öğrec Formu, Stresle Başa Çıkma Tarzları Ölçeğ, Sıav Kaygısı Evater, Ergelerde Yetklk Beklets Ölçeğ, Aa-Baba Tutum Ölçeğdr. Verler Aalz ve İşlem Yolu Verler aalz R v.5. paket programı kullaılarak yapılmıştır. R statstk paket programıı MASS paket rlm foksyou le M tahm elde edlmştr (Chambers, Eddy, Hardle, Sheather ve Terey, 00; Delgaard, 008; R Core Team, 03; Wlcox, 005). R belrleyclk katsayısıı robust şekl ç gerekl R kodları, x ve y, (4) te verle matrsler olmak üzere aşağıdak gbdr. ekk<-lsft(x,y,tercept=t) M_tah<-rreg(x, y, t=t, ter=00) #X matrs -ler sütuuu çeryorsa t=f olmalı.# w<-m_tah$w ysapka<-m_tah$ftted.values ywczg<-(/sum(w))*sum(w*y) ywsapkaczg<-(/sum(w))*sum(w*ysapka) RKAREw<-((sum(w*(y-ywczg)*(ysapkaywsapkaczg)))/(sqrt(sum(w*(yywczg)^)*sum(w*(ysapkaywsapkaczg)^))))^ RKAREwtlda<--(sum(w*(y-ysapka)^)/ sum(w*(y-ywczg)^)) Burada ekk (6) le verle e küçük kareler tahmdr. M_tah (7) le verle M tahmdr. w, M tahm kulladığı ağırlıklardır. rreg komutudak ter=00 parametres terasyo sayısıı göstermektedr. Doğal olarak w so terasyola elde edle ağırlıklardır. RKAREw le RKA- REwtlda sırasıyla (9) ve (0) de verle robust R lerdr ve bu k değer brbre eşttr. Bulgular İlk olarak söz edle her k yötem avataj ve dezavatajlarıı daha rahat göreblmek ç lköğretm matematk bölümüde rastgele seçle 5 öğrec geel matematk ders başarı otlarıı (x), leer cebr ders başarı otlarıı (y) yordayıp yordamadığı bast leer regresyo yötem le celemş daha sora verlere lşk karşılaştırmalı souçlar verlmştr. Hpotetk Ver Souçları Bast leer regresyoda özellkle küçük öreklem grupları ç ayrık değerler tahmler üzerdek olumsuz etkler daha açık br şeklde görüleblr. Bu bağlamda 5 öğrecde elde edle geel matematk ve leer cebr sıav souçlarıa lşk e küçük kareler ve M tahm souçları gözlem bazıda daha alaşılır br bçmde karşılaştırılablmes ç ver le beraber Tablo de verlmştr. Tablo de görüldüğü gb. sıradak öğrecye at otlar arasıdak dramatk fark dğerler akse heme göze batmaktadır. Bu gözlem e küçük kareler tahm üzerde meydaa getrdğ hasar ve robust M tahm bu gözleme karşı mücadeles ağırlıkları celemes le görüleblr.. gözlem ağırlığı sıfır, dğerler se bekledğ gb veya e yakı oldukları görülmektedr. Başka br fadeyle,. gözlem br ayrık değer olduğu alaşılmaktadır. E küçük kareler le tahm edle model EKK = 3, ,35x olarak elde edlmştr. Bu eştlğe göre geel matematk başarı otudak br pualık artış leer cebr başarı puaıda 0,35 pualık artış yaratacaktır. Bu model ç belrleyclk katsayısı R = 0,044 olarak elde edlmştr. Buu alamı geel matematk otları le leer cebr otlarıa lşk toplam varyası yaklaşık %4 üü açıklaabldğdr. Robust M tahm edcs kullaarak elde edle model se =,4 + 0,57x tr. Robust belrleyclk M katsayısı R = 0,466 olarak elde edlmştr. Bu model W le geel matematk otudak pualık artış leer cebr başarı puaıda 0,573 pualık artış yaratmış ve toplam varyası yaklaşık %47 s açıklaablmştr. Dğer br deyşle. gözlemde kayaklaa sapmaı yarattığı hasar edeyle e küçük kareler katsayı tahmler ve R değer etklemştr. Oysa M tahm yötem le yapıla aalz souçlarıa göre,. gözlem ver set üzerdek hasarı, karşılık gele ağırlık dğerlerde düşük alıarak, mmuma drlmştr. Bezer şeklde katsayıları stadart hatalarıdak azalma dkkat çekcdr. Stadart hatalar öreklemde örekleme test statstkler değşmler ölçüsü olup küçük olmaları terch edlr. 44

7 COŞKUNTUNCEL / Sosyal Blmlerde Alteratf Regresyo Yötem Kullaımı ve E Küçük Kareler le M Tahm Yötemler... Tablo. Bast Leer Regresyo Model İç E Küçük Kareler ve M Tahm Karşılaştırması # GMat. (x) LCeb. (y) M-tahm le elde edle ağırlıklar (w) ,59 58,04 0, ,54 50,59, ,9 44,87 0, ,0 3,7 0, ,59 58,04, ,89 46,58 0, ,59 58,04 0, ,06 59,8 0, ,4 5,3, ,7 53,46, ,94 63,76 0, ,76 60,90 0, ,89 46,58 0, ,53 60,33 0, ,47 5,88,00 Ayrık değer/değerler e küçük kareler tahm üzerdek olumsuz etkler ve M tahm ayrık değere/değerlere karşı drec göreblme e uygu yolu ayrık değer/değerler ver setde çıkararak tekrar e küçük kareler tahm celemektr. Bu bağlamda lk olarak bast leer regresyo model kullaarak celemes yapıla 5 gözlemlk hpotetk verde ayrık değerek olarak belrlee. gözlem verde çıkarılması le elde edle souçlar Tablo 3 te verlmştr. Daha öce de belrtldğ gb 5 gözlem ç elde edle e küçük kareler ve M tahmler arasıda öeml farklılıklar görülmüştür. Bu farkı kayağı. gözlem ayrık değer olmasıdır. Çükü Tablo 3 ü sağ tarafıda verle bu gözlem çıkartarak elde edle e küçük kareler soucu büyük farklar çermektedr. Burada öeml ola ham ver ç M tahm ayrık değer atıldıkta sora elde edle e küçük kareler tahme yakı olması ve R değerler yaklaşık brbre eşt olmasıdır. Tablo 3 te verle souçlardak br dğer öeml durumda. gözlem çıkarıldıkta sora elde edle e küçük kareler ve M tahm souçlarıı ye brbrlere yakı olmasıdır. Çükü 4 gözlem söz kousu olduğuda ormallk varsayımı bozulmamaktadır ve daha öcede bahsedldğ gb k yötemde brbre yakı tahmler üretmştr. Ayrıca M tahm ürettğ ağırlıkları tümüü e yakı olduğu görülmüştür (Ağırlıklar, 0,96 0,9 0,84 0,9 0,96 0,9 0,95 0,96 olarak elde edlmştr.). Ya 4 gözlem çde ayrık değer bulumamaktadır. Şekl de e küçük kareler, M tahm ve 4 gözlem ç e küçük kareler le elde edle uydurulmuş modellere at grafkler serplme dyagramı üzerde gösterlmştr. Sağ alt köşede bulua. gözlem e küçük kareler doğrusuu kede doğru çektğ bua karşılık M tahm bu gözleme karşı dreçl olduğu görülmektedr.. gözlem çıkarıldıkta sora uydurula e küçük kareler doğrusuu M tahme yakı olması buu kaıtıdır. O halde bu ver grubu ç e küçük kareler yere M tahm kullaılmasıyla orjal verye herhag br müdahalede bulumada daha sağlıklı br model kurularak daha gerçekç yorumlar yapılablmes sağlamıştır. Saldırgalık Düzey Vers Bağımlı Değşke saldırgalık ölçeğ (SÖ) olmak üzere 0 erkek öğrecye lşk e küçük kareler ve M tahm karşılaştırma souçları Tablo 4 te verlmştr. Tablo 3. Ham Ver Set le. Gözlem Çıkarıldıkta Sora Elde Edle E Küçük Kareler ve M Tahm Souçları Term 5 Gözlem ç e küçük kareler 5 Gözlem ç M tahm. Gözlem çıkarıldıkta sora e küçük kareler. Gözlem çıkarıldıkta sora M tahm Tahm St.Ht. Tahm St.Ht. Tahm St.Ht. Tahm St.Ht. Sabt 3,807,0,4 4,05,57 3,03,984 3,65 GMat 0,35 0,30 0,57 0,9 0,586 0,8 0,576 0,9 R 0,044 0,466 0,46 0,468 45

8 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ tahmler ve stadart hatalar açısıda gerek belrleyclk katsayısı R açısıda, ayrık değerler tahmler üzerdek olumsuz etkler e aza drerek, e küçük karelerde daha y souçlar vermştr. Şekl. Uydurulmuş Modellere At Doğru Grafkler Tablo 4. Erkek Öğrecler İç E Küçük Kareler ve M Tahm İle Elde Edle Souçları Karşılaştırılması Bağımsız Değşkeler EKK Tahm Stadart M Tahm * Stadart SABİT 5,5,53 3,3,85 SK 0,084 0,3 0,65 0, AB 0,43 0,07 0,55 0,06 AYİ -0,667 0,6-0,49 0,4 R 0,35 0,80 M tahm le elde edle ağırlıklar celedğde 5, 65 ve 0. sıradak breylere karşılık gele ağırlıkları sırasıyla 0,47; 0,0 ve 0,34 olduğu ve gerye kalaları bekledğ gb e yakı olduğu görülmektedr. Ya bu 3 gözlem ayrık değerdr. Normal Q-Q grafkler ver ormal olup olmadığı hakkıda karar vermemze yardımcı olur. Ayrıca verdek ayrık değerler belrlemek ç kullaılablecek br grafksel yötemdr. Eğer tüm gözlemler br doğru etrafıda se ormallk varsayımı sağlaır. Acak br doğru etrafıda olma özel br değerledrme olableceğde ek statstksel testlerle desteklemeldr (Tku ve Akkaya, 004). Bu bağlamda Şekl de verle ormal Q-Q grafğde 3 ayrık değer doğruda uzaklaşarak ormallk varsayımıı asıl etkledğ görülmektedr. Tablo 4 tek souçlarda dkkat edlmes gereke lk durum ayrık değerler etksyle oluşa M tahm le e küçük kareler katsayı tahmler arasıdak farktır. Ayrıca R değerlere bakılırsa e küçük kareler le elde edle model toplam varyası yaklaşık %4 üü açıklarke M tahm %8 açıklamaktadır. Sadece üç ayrık değer açıklaablr varyasta %4 lük br stemeye azalmaya sebep olmuştur ve M tahm le bu stemeye durum mmum sevyeye çeklmştr. Stadart hatalara lşk souçlar celedğde M tahm e küçük karelerde daha küçük değerler verdğ görülmüştür. Ya M tahm, gerek katsayı Şekl. Erkek Öğreclere At Normal Q-Q Grafğ Bağımlı değşke saldırgalık ölçeğ (SÖ) olmak üzere 9 kız öğrecye lşk e küçük kareler ve M tahm karşılaştırma souçları Tablo 5 te verlmştr. Tablo 5. Kız Öğrecler İç E Küçük Kareler ve M Tahm le Elde Edle Souçları Karşılaştırılması Bağımsız Değşkeler EKK Tahm Stadart M Tahm Stadart SABİT 99,058 3,6 03,88,34 SK 0,80 0, 0,756 0,0 AB 0,34 0,07 0,74 0,06 AYİ -0,960 0,3-0,948 0,0 R 0,97 0,363 M tahm le elde edle ağırlıklar celedğde 9, 0, 69, 78, 79, 9, 95, 8. gözlemlere karşılık gele ağırlıklar sırasıyla 0,49; 0,9; 0,4; 0,0; 0,0; 0,35; 0,48 olduğu ve gerye kalaları e yakı olduğu görülmüştür. Gerçektede Şekl de verle Q-Q grafğde de düşük ağırlıklara sahp gözlemler ormallk varsayımıı bozduğu ve ayrık değerler oldukları görülmektedr. Erkekler ç elde edle souçlarda olduğu gb R değer M tahm le yaklaşık %7 oraıda yleştrlmştr. Şekl 3. Kız Öğreclere At Normal Q-Q Grafğ 46

9 COŞKUNTUNCEL / Sosyal Blmlerde Alteratf Regresyo Yötem Kullaımı ve E Küçük Kareler le M Tahm Yötemler... Saldırgalık düzey versde kız ve erkek öğrecler ç tespt edle ayrık değerler çıkarılarak kız ve 99 erkek öğrec ç yede e küçük kareler ve M tahm yötem uygulamasıyla elde edle souçlar Tablo 6 da verlmştr. 0 Erkek öğrecye lşk Tablo 3 te verle souçlara göre M tahm yardımıyla sadece 3 tae ayrık değer tespt edlmş ve belrleyclk katsayısı R bu 3 sapa değerde kayaklaa yaklaşık %4 lük br azalma yaşamıştır. Bu gözlemler çıkararak e küçük kareler uyguladığıda se e küçük kareler ç R %30 a yükseldğ görülmüştür. Ayrıca 99 erkek öğrec ç M tahm le e küçük kareler tahm brbre yaklaşmıştır. Bezer durumlar kız öğreclere lşk souçlar çde geçerldr. Souç olarak, bu ver grubuda az sayıdak ayrık değer e küçük kareler tahm üzerde olumsuz yöde etkl olurke M tahm Şekl ve Şekl dek ormal Q-Q grafklerde de açıkça görüldüğü gb hag gözlemler ayrık değer olduğuu belrlemekle kalmamış bulara karşı daha dreçl tahmler üreteblmştr. Böylece araştırmacı çoğu zama çok büyük güçlüklerle derledğ ver orjallğ bozmada daha sağlıklı souçlara ulaşablecektr. Tükemşlk Vers Bu ver grubu Çapulcuoğlu u (0) öğrec tükemşlğ yordamada stresle başa çıkma, sıav kaygısı, akademk yetklk ve ae-baba tutumları değşkeler celedğ 385 öğrec le yapıla yüksek lsas tezde elde edlmştr. Bu çalışmada yukarıda sayıla bağımsız değşkeler MTE-ÖF alt boyutları ola tükeme, duyarsızlaşma ve yetklk alt ölçekler ayrı ayrı yordamadak katkıları celemştr. Tükeme alt boyutua lşk e küçük kareler ve M tahm karşılaştırma souçları Tablo 7 de verlmştr. M tahm le elde edle ağırlıklar celedğde 85 gözleme at ağırlığı 0 a yakı gerye kala 300 gözleme at ağırlığı se e yakı olduğu görülmüştür. Katsayı tahmlere dkkat edlrse yordayıcı değşkeler e küçük kareler ve M tahm le tükeme alt ölçeğ puaları üzerdek etkler farklılık göstermektedr. Özellkle demokratk tutum değşke şaret eksde artıya değşmş olması öem arz etmektedr. Çükü ayrık değerler öeml br olumsuzluğu da e küçük kareler le yapıla tahmlerde katsayıları şaretler değşmese ede olmalarıdır. Bezer şeklde M tahme at R değerler de bekledğ gb e küçük karelerkde daha büyük elde edlmştr. M tahm le elde edle model toplam varyası %3 s açıklayablmştr. Ya e küçük kareler yöteme göre yaklaşık %9 oraıda farklılaşma görülmüştür. Tablo 7. Tükeme alt boyutua lşk e küçük kareler ve M tahm le elde edle souçları karşılaştırılması. Bağımsız Değşkeler EKK Tahm Stadart M Tahm Stadart SABİT 4,930, 4,375,8 KENDİNE GÜVENLİ 0,008 0,03 0,08 0,03 ÇARESİZ 0,063 0,03 0,050 0,03 BOYUN EĞİCİ 0,37 0,04 0,44 0,03 İYİMSER -0,77 0,04-0,79 0,04 SOSYAL DESTEK -0,08 0,04-0,066 0,04 ARAMA AKADEMİK YETKİNLİK -0,3 0,0-0,38 0,0 SOSYAL YETKİNLİK 0,047 0,0 0,039 0,0 DUYGUSAL YETKİNLİK 0,063 0,0 0,046 0,0 SINAV KAYGISI 0,043 0,0 0,039 0,0 DEMOKRATİK TUTUM -0,00 0,0 0,007 0,0 KORUYUCU İSTEKÇİ 0,09 0,0 0,033 0,0 TUTUM OTORİTER TUTUM -0,07 0,0-0,05 0,0 R 0,39 0,34 Duyarsızlaşma alt boyutua lşk e küçük kareler ve M tahm karşılaştırma souçları Tablo 8 de verlmştr. Tablo 6. Ayrık Değerler Çıkarıldıkta Sora Kız ve 99 Erkek Öğrec İç Elde Edle Souçlar 99 Erkek öğrec ç souçlar kız öğrec ç souçlar Bağımsız Değşkeler EKK Tahm Stadart M Tahm Stadart EKK Tahm Stadart M Tahm SABİT 4,50,4 5,305,84 0,743 0,74 0,6,45 SK 0,4 0,0 0,54 0, 0,60 0,7 0,63 0,9 AB 0,69 0,06 0,55 0,06 0,56 0,05 0,58 0,06 AYİ -0,48 0,4-0,50 0,5-0,953 0,8-0,97 0,9 R 0,30 0,36 0,34 0,37 Stadart 47

10 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ M tahm le elde edle ağırlıklar celedğde 7 gözleme at ağırlığı 0 a yakı gerye kala 33 gözleme at ağırlığı se e yakı olduğu görülmüştür, Katsayı tahmlere dkkat edlrse yordayıcı değşkeler e küçük kareler ve M tahm le duyarsızlaşma alt ölçeğ puaları üzerdek etkler farklılık göstermektedr. Burada M tahm le açıklaable varyas oraı %0 oraıda farklılaşmıştır. Tablo 8. Duyarsızlaşma Alt Boyutua İlşk E Küçük Kareler ve M Tahm le Elde Edle Souçları Karşılaştırılması Bağımsız Değşkeler EKK Tahm Stadart M Tahm Stadart SABİT 9,437,0 9,990 0,95 KENDİNE GÜVENLİ 0,00 0,03 0,04 0,03 ÇARESİZ 0,08 0,03 0,05 0,0 BOYUN EĞİCİ 0,84 0,03 0,63 0,03 İYİMSER -0,7 0,03-0,38 0,03 SOSYAL DESTEK -0,080 0,04-0,06 0,03 ARAMA AKADEMİK YETKİNLİK -0,35 0,0-0,49 0,0 SOSYAL YETKİNLİK 0,08 0,0-0,004 0,0 DUYGUSAL YETKİNLİK 0,046 0,0 0,030 0,0 SINAV KAYGISI 0,039 0,0 0,039 0,0 DEMOKRATİK TUTUM -0,06 0,0-0,009 0,0 KORUYUCU İSTEKÇİ -0,008 0,0-0,00 0,0 TUTUM OTORİTER TUTUM 0,08 0,0 0,034 0,0 R 0,03 0,30 Tablo 9. Yetklk Alt Boyutua İlşk E Küçük Kareler ve M Tahm le Elde Edle Souçları Karşılaştırılması Bağımsız Değşkeler EKK Tahm Stadart M Tahm Stadart SABİT 4,39 0,89 3,743 0,9 KENDİNE GÜVENLİ 0,080 0,0 0,083 0,03 ÇARESİZ -0,04 0,0-0,047 0,0 BOYUN EĞİCİ 0,055 0,03 0,067 0,03 İYİMSER 0, 0,03 0,5 0,03 SOSYAL DESTEK -0,05 0,03-0,3 0,03 ARAMA AKADEMİK YETKİNLİK 0,7 0,0 0,78 0,0 SOSYAL YETKİNLİK 0,096 0,0 0, 0,0 DUYGUSAL YETKİNLİK 0,003 0,0-0,00 0,0 SINAV KAYGISI -0,04 0,0-0,04 0,0 DEMOKRATİK TUTUM 0,04 0,0 0,03 0,0 KORUYUCU İSTEKÇİ -0,005 0,0-0,007 0,0 TUTUM OTORİTER TUTUM 0,0 0,0 0,0 0,0 R 0,88 0, gözlemlk büyük öreklem olarak değerledrleblecek tükemşlk vers bulguları celedğde tükeme alt boyutua lşk 85, duyarsızlaşma alt boyutua lşk 7 ve Yetklk alt boyutua lşk 8 ayrık değer olduğu tespt edlmştr. Bu ayrık değerler çıkarılarak, e küçük kareler le tüm gözlemler ç M tahm souçlarıa yakı souçlar elde etme beklets altıda, elde edle souçlar Tablo 0 da verlmştr. Yetklk alt boyutua lşk e küçük kareler ve M tahm karşılaştırma souçları Tablo 9 da verlmştr. M tahm le elde edle ağırlıklar celedğde sadece 306, 43, 95, 0, 66, 8, 83 ve 35. gözlemlere at ağırlıkları 0 a yakı gerye kala 377 gözleme at ağırlıkları se e yakı olduğu görülmüştür. 385 gözlem çde sayısı çok az ola bu 8 gözlem katsayı tahmler üzerde etkl olmuş ve R değer e küçük kareler ç yaklaşık %6 gb öeml br orada düşürmüştür. Şekl 3 te verle Q-Q grafğ celedğde sol alt köşedek gözlem le sağ üst köşedek 6 gözlem dğerlerde farklı davradıkları görülmektedr. Souç olarak, başta da değldğ gb R değer gerçekte de büyük öreklemlerde ble ayrık değerlere karşı çok hassas olduğu ve dkkatl kullaılması gerektğ bu gerçek ver le kaıtlamıştır. Şekl 4. Yetklk Alt Boyutua İlşk Normal Q-Q Grafğ 48

11 COŞKUNTUNCEL / Sosyal Blmlerde Alteratf Regresyo Yötem Kullaımı ve E Küçük Kareler le M Tahm Yötemler... Tablo 0 dak souçlar celedğde bekledğ gb Tablo 7, Tablo 8 ve Tablo 9 da verle tükeme, duyarsızlaşma ve yetklk alt boyutlarıa lşk M tahmler le brbre yakı R ve katsayı tahmler elde edlmştr. M tahm ayrık değerler olumsuz etks mmum sevyeye drgemştr. Öreğ Tükeme alt boyutua lşk demokratk tutum değşke e küçük kareler katsayısı -0,0 ve M tahm katsayısı 0,007 elde edlmştr. Mutlak değerce çok küçük ola bu fark şaret değşklğ olması edeyle öemldr ve ayrık değerler atıldıkta sora e küçük kareler le bu katsayı 0,05 elde edlmştr. Tablo 0. Ayrık Değerler Çıkarıldıkta Sora Tükeme, Duyarsızlaşma ve Yetklk Alt Boyutlarıa İlşk E Küçük Kareler Souçları Bağımsız Tükeme Duyarsızlaşma Yetklk Değşkeler SABİT 4,557 0,098 3,483 KENDİNE GÜVENLİ 0,04 0,04 0,086 ÇARESİZ 0,043 0,09-0,048 BOYUN EĞİCİ 0,36 0,45 0,078 İYİMSER -0,83-0,7 0, SOSYAL DESTEK ARAMA -0,043-0,056-0,07 AKADEMİK YETKİNLİK -0,3-0,58 0,79 SOSYAL YETKİNLİK 0,00-0,009 0, DUYGUSAL YETKİNLİK 0,030 0,04 0,0003 SINAV KAYGISI 0,036 0,037-0,04 DEMOKRATİK TUTUM 0,05-0,003 0,0 KORUYUCU İSTEKÇİ TUTUM 0,03-0,006-0,006 OTORİTER TUTUM -0,0 0,030 0,098 R 0,33 0,90 0,3 Tartışma Bu çalışmada, regresyo aalz le açıklaması kararı verle verlerde ayrık değer/değerler buluması durumuda araştırmacıları hareket alaıı geşlete alteratf yötemlerde br ola M tahm edcs klask yöteme göre etklğ ve avatajları celemştr. Bu amaçla br hpotetk ks gerçek olmak üzere 3 ver set üzerde bast ve çoklu leer regresyo modellerde e küçük kareler klask yötem le robust M tahm edcs, R belrleyclk katsayısıı klask ve robust formu yardımıyla karşılaştırılmıştır. Elde edle bulgular ışığıda ayrık değerlere sahp ver setlerde M tahm edcs le elde edle tahmler değşeblrlğ açıklama oralarıı daha yüksek olduğu görülmüştür. Ayrıca robust M tahm yardımıyla ayrık değerler katsayı tahmler üzerde etkler azaltılarak hag gözlemler ayrık değerler olduğu/olableceğ belrleerek bu gözlemler gerek katsayı tahmler gerekse R belrleyclk katsayısı üzerde yarattıkları olumsuzluklar zleeblmştr. M tahm yötem br öeml katkısı da ham ver bozulmada kullaılmasıa olaak taımasıdır. Ya ayrık değerler belrlemeyle kalmayıp etkler mmuma drdğde ver kaybı oluşmasıı veya öreklem daraltılmasıı (gözlemler atılmasıı) egellemştr. Bu bağlamda araştırmacılar robust M tahm hem br aalz yötem hem de br sağlama yötem olarak da kullaılablr. Özellkle verde ayrık değer(ler) veya gruplaşma gb olumsuzlukları olmadığı, ormallk varsayımıı sağladığı durumlarda e küçük kareler le çok yakı tahmler üretmes elde edle souçları br ev sağlaması olarak araştırmacıya büyük katkı sağlayacaktır. 5 gözlemlk hpotetk ver ve saldırgalık düzey vers ç elde edle souçlar M tahm küçük ve orta büyüklükte öreklemler üzerdek performasıı celemek adıa öemldr ve e küçük kareler yöteme göre daha etkl br yötem olduğuu kaıtlamaktadır. 385 gözlemlk öğrec tükemşlğ vers de büyük öreklem performası açısıda öem arz etmektedr ve R değerler %0 a yakı oralarda yleştrlmştr. Reaud ve Feser (00), R belrleyclk katsayısıı tek br ayrık değerde ble çok etkleeble hassas br ölçü olduğuu ve bu hassasyetde dolayı da model fal seçmde öerlmemese rağme, bağımsız değşkeler bağımlı değşke açıklayablme oraıı göstermesde dolayı araştırmacılar ç öeml br statstk olduğuu fakat bu durumu yaıltıcı olabldğ belrtmşlerdr. Bu durumda, robust yaklaşımı, leer regresyoda tahm ve souç çıkarmada y br alteratf sağladığıı vurgulamışlardır. Öreğ, bu çalışmadak 5 gözleml verde geel matematk otları le leer cebr otları arasıdak Pearso korelasyo katsayısı 0, dr. Ya çok güçlü olmasa da doğrusal lşkde söz edleblr. Bldğ gb buu kares R belrleyclk katsayısıı vermektedr. Tek aykırı değer olarak belrlee. gözlem çıkarıldıkta sora Pearso korelasyo katsayısı 0,679 değere yükselmştr. Ya daha güçlü doğrusal lşk söz kousudur. Görüldüğü gb, tek br ayrık değer R 49

12 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ değer büyük orada etklemektedr. Acak M tahm ürettğ ağırlıklara dayalı robust belrleyclk katsayısı R doğal yapısıda dolayı ayrık değerlerde mmum düzeyde etkledğ ç w klask R ye göre dayaaklı br ölçü olduğu çeştl ver setler sayesde kaıtlamıştır. Maroa ve arkadaşları (006), çok geş br uygulama alaıda elde edle verler sıklıkla br veya daha fazlasıı ver çoğuluğuda ayrılableceğ ve bu gözlemlerde dolayı öreklem ortalaması, öreklem varyası, öreklem kovaryas ve korelasyou veya e küçük kareler regresyo model olumsuz etkleeceğ belrtmşlerdr. Ayrıca ayrık değerlere rağme ver çoğuluğuu açıklayable, daha y parametre tahmler vereble robust tahmler var olduğuu söylemşlerdr. Ayrıca her zama uç değerler kötü ver olarak düşüme çok yaıltıcı olableceğ belrtmşlerdr. Rousseeuw ve Leroy (987), regresyo aalz her blm dalıda sıklıkla kullaıla öeml br statstksel tekk olduğuu belrterek brçok olası regresyo tekğde e küçük kareler yötem hesaplamasıı kolaylığıda dolayı daha çok kabul gördüğüü vurgulamışlardır. Ayrıca gerçek verlerde yüksek olasılıkla ayrık değerler buluduğuu ve bu ayrık değerler tahmler üzerde çok cdd etkler olduğuu, robust regresyo yötemler sapa değerler saptamak ç so derece kullaışlı br araç olduğuu belrtmşlerdr. Huber (98) se, statstksel çıkarımları kısme gözlemlere dayadığıı eşt derecede öeml ola şey kullaılacak tekğ temel varsayımları olduğuu belrtmş, robustluğu veya sağlamlığı bu varsayımlarda küçük sapmalara duyarlılık alamıa geldğ vurgulamıştır. Sosyal blmler e öeml hammaddes sadır ve ver toplama araçlarıı deekler tarafıda doğru ve objektf olarak değerledrldğe lşk varsayım her çalışma ç geçerldr. İsa davraışıı karmaşık olduğu ve breyler arasıda öeml farklılıkları her zama olableceğ düşüüldüğüde, brçok bakımda bezer özellkler ola breyler de zama zama çok farklı tepkler vermes mümküdür. Ver setde br grupta elde edle verler bazılarıı ayrık değer olmasıda dolayı aalzde çıkarılması, verler gerçeğ yasıtma oraıı düşürecektr. Ayrıca bu durum, yukarıda fade edldğ gb uygulama yapıla deekler ölçme araçlarıı doğru ve objektf yaıtladığı varsayımıı çürütecek ve etk br probleme de yol açacaktır. Kısaca, her deekte elde edle blg çok öemldr ve bu deeklere at blgler verde çıkarılması araştırmada elde edlecek souçları ve yorumları gerçekç olmakta uzaklaştıracaktır. Bu çalışma le kullaılması öerle alteratf yötem bu olumsuz duruma karşı da çok öeml br katkısı olacağı düşüülmektedr. Şüphesz sosyal blmler alaıda yapıla araştırmaları daha çok sayısallaştırılması ve karmaşık statstksel tekklerle uğraşması bekleemez ve bu durum sosyal blm araştırmalarıı temel amacı değldr. Daha öce çok daha fazla tekk blg, doaım ve yazılım kullamayı gerektre yötemler gelşe tekoloj ve letşm ağları le beraber kısa sürelerde uygulaablr hale gelmştr. R gb akademk yöü çok kuvvetl yazılımlara araştırmacılar ücretsz olarak ulaşablmektedr. Her e kadar br sosyal blm araştırmasıdak amaç karmaşık statstk yötemler asıl uyguladığıı göstermek olmasa da, doğru aalzler yaparak daha doğru souçlara ulaşmak öemldr. Souç olarak, bu ver grubuda az sayıdak ayrık değer e küçük kareler tahm üzerde olumsuz yöde etkl olurke M tahm Şekl ve Şekl 3 tek ormal Q-Q grafklerde de açıkça görüldüğü gb hag gözlemler ayrık değer olduğuu belrlemekle kalmamış bulara karşı daha dreçl tahmler üreteblmştr. Bua bağlı olarak, belrleyclk katsayısı hssedlr orada büyümüştür. Dğer yada, ayrık veya uç değerlerle sadece bağımlı değşkede karşılaşılmamaktadır. Bağımsız değşkeler de uç veya ayrık gözlemlere sahp olablrler. Baze br araştırmaı her k değşkede de ayrık değer buluablr. Bu edele, ayı ada her k duruma karşı etkl ola Geelleştrlmş M tahm gb robust tekkler doğru souçlara ulaşmak açısıda çok faydalı olablrler (Coşkutucel, 00). Arsla ve Bllor (996; 000) tarafıda verle Rdge regresyo tahm edcs gb yalı tahm edcler robust formları hem ayrık değerlere hem de kötü koşulluluk probleme karşı etkl souçlar vereblr. Sosyal blmler alaıda derlee verler hayatı çde verlerdr ve hayat öem taşırlar. Dolayısıyla ttzlkle aalz yapılması ve çok dkkatle yorumlaması gerekr. Bu açıda robust statstksel yaklaşımlar sosyal blmlerde çalışa araştırmacılara çok öeml katkılar sağlayablecektr. 50

13 Educatoal Sceces: Theory & Practce - 3(4) Educatoal Cosultacy ad Research Ceter DOI: 0.738/estp The Use of Alteratve Regresso Methods Socal Sceces ad the Comparso of Least Squares ad M Estmato Methods Terms of the Determato of Coeffcet Orku COŞKUNTUNCEL a Mers Uversty Abstract The purpose of ths study s two-fold; the frst am beg to show the effect of outlers o the wdely used least squares regresso estmator socal sceces. The secod am s to compare the classcal method of least squares wth the robust M-estmator usg the determato of coeffcet (R ). For ths purpose, aalyzes were performed o three data sets. The frst set of data s hypothetcal, cosstg of 5 studets geeral mathematc ad lear algebra fal scores. The secod set of data was collected from 3 adolescets attedg dfferet hgh schools Turkey. The data were collected usg the Scale of Aggressveess, Academc Self-effcacy Scale, Scale of Peer Pressure, ad Trat Axety Ivetory. The thrd set of data was collected from,385 hgh school studets. Ths data were collected usg the Maslach Burout Ivetory-Studets Survey, Copg Styles of Stress Scale, Test Axety Ivetory, Adolescece Self-Effcacy Scale, ad Paretal Atttude Scale. It was see that, comparsos wth small, medum ad large volume samples, especally for the data sets cludg outler/outlers, R M estmate s better alteratves tha those havg least squares. The fdgs are dscussed lght of the recommedatos preseted the lterature. Key Words Coeffcet of Determato, Least Squares, M-Estmator, Outler, Regresso Aalyss, Robust Statstcs. I scetfc research projects, fdg a relatoshp betwee two or more varables ad the expressg t a mathematcal equato s a mportat dmeso eeded order to make future predctos. Ths mathematcal relatoshp does ot oly refer to fuctoal relatoshp, but also shows that oe of the varables of a predetermed value provdes estmato of the other. The method that permts oe to depct the relatoshp betwee varables a equato s called regresso aalyss, a method whch has applcatos almost every feld (Arıcı, 99). Regresso aalyss has a mportat role scetfc research projects because t allows a researcher to predct the future, whch s oe of the most mportat mssos of scece. I fact, regresso aalyss may be the most wdely used statstcal techque (Büyüköztürk, 005; Büyüköztürk, Çokluk, & Köklü, 0). I geeral, the smple lear regresso model s: y = β 0 + β x + ε () where the tercept β 0 ad the slope β are ukow costats ad where e s a radom error compoet. a Orku COŞKUNTUNCEL, Ph.D., s a assstat professor of Mathematcs Educato. Hs research terests clude mathematcs educato ad robust statstcal methods. Correspodece: Mers Uversty, Faculty of Educato, Departmet of Elemetary Educato, 330 Yeşehr, Mers, Turkey. Emal: orkuct@gmal.com Phoe: /733.

14 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE The errors are assumed to have a mea of 0 ad a varace of σ. Addtoally, t s usually assumed that the errors are ucorrelated. Customarly, x s called the depedet varable, ad y s called the depedet varable. The depedet varable, y, s a fucto of the depedet varable, x (Büyüköztürk, 005). A regresso model that volves more tha oe regressor varable s called a multple regresso model. The model: y = β 0 + β x + β x + + β k x k + ε () s called a multple lear regresso model wth k regressor. The parameters β j, j =,..., ad k are called regresso coeffcets (Draper & Smth, 998; Motgomery, Peck, & Vg, 00). It s more coveet to deal wth multple regresso models f they are expressed matrx otato. Ths allows for a very compact dsplay of the model, data, ad results. I matrx otato, the model gve by Eq. () s: y = Xb + ε (3) where (4) I geeral, y s a x vector of the observatos, X s a x p matrx of the levels of the regressor varables, b s a p x vector of the regresso coeffcets, ad ε s a x vector of radom errors (Motgomery et al., 00). The major assumptos made thus far the preset study of regresso aalyss are as follows: ) The relatoshp betwee the respose y ad the regressors s lear, at least approxmately. ) The errors term ε has a zero mea. ) The errors term ε has a costat varace σ. v) The errors are ucorrelated. v) The errors are ormally dstrbuted. Assumpto (v) s requred to test a hypothess ad to estmate tervals. Assumptos (v) ad (v) mply that the errors are depedet radom varables (Draper & Smth, 998; Motgomery et al., 00). Least squares estmato s wdely used to estmate ukow parameters regresso aalyss. The least squares fucto s: m ε where e = y Xβ. Ths fucto must be mmzed wth respect to β. Thus, the least squares estmator of β s: = (X, X) - X, y (5) ad the ftted regresso model s: = X = 0 + x + x + + k x k (6) Stadardzed resduals for least squares: e r = (7) ˆσ where e = y ad: ˆσ = e p (8) = Errors have a zero mea, a stadard error of s, ad are detcally dstrbuted. Therefore, ˆσ s a ubased estmator for σ (Brkes & Dodge, 993; Chatterjee, Had, & Prce, 000; Draper & Smth, 998; Motgomery et al., 00). It s ofte assumed the socal sceces that data coform to a ormal dstrbuto. The least squares method s a sutable method ad has good statstcal propertes whe the data are ormally dstrbuted. However, the case of devatos from ormalty, the least squares method s ot a effectve estmator. I ths stuato, robust estmators ca be a sutable alteratve method (Arsla & Bllor, 000). Robust statstcs refers to the stablty theory of statstcal procedures. It systematcally vestgates the effects of devatos from modelg assumptos o kow procedures ad, f ecessary, develops ew, better procedures. Commo modelg assumptos are those of ormalty ad of depedece of radom errors. The mplct or explct hope that uder approxmate (stead of exact) ormalty the least squares method would stll be approxmately optmal was thwarted by Tukey (960). Soo after Tukey s (960) sprg paper, the foudatos for four closely related robustess theores were lad by Huber (964; 965), Hample (968), ad Rousseeuw (984). As has bee metoed above, oe of the ma problems of regresso aalyss s outlers; that s, observatos far from the bulk of the data. The ma target of robust statstcal methods s to develop a method that wll combat outlers. For ths, the socal sceces, the least squares method s preferred to robust methods because of easy computato (Aktaş, 005; Aluçdb & Ekc, 0; Coşkutucel, 005; Güdüz & Çelkkalel, 009; Güeş & Tulçal, 00; İadı, 009; Rahma & Amr, 0; Şah & Aıl, 0). There are may procedures for robust regresso estmato proposed the lterature. Amog the most 5

15 COŞKUNTUNCEL / The Use of Alteratve Regresso Methods Socal Sceces ad the Comparso of Least Squares ad... commoly used method s the robust M-estmator. M-estmato s kow as the classcal robust regresso estmator (Arsla, 99, 004a, 004b; Arsla & Bllor, 996; Arsla, Edlud, & Ekblom, 00; Belsley, Kuh, & Welsch, 980; Hample, Rochett, Rousseeuw, & Stahel, 986; Huber, 98; Rousseeuw, 984; Rousseeuw & Leroy, 987; Rousseeuw & Yoha, 984; Rousseeuw & Zomere, 990). The M-estmator for the ukow coeffcet β gve Eq. (3) s: m ρ (e ) = m ρ(y x β) = = (9) where ρ(e) s a fucto that satsfes the followg codtos: ) ρ(e) 0 ) ρ(0) = 0 ) ρ(e) = ρ(-e) v) e > e j, j whle r(e ) ρ(e j ), e = y x b The two most wdely used ρ fuctos are the Huber ad Tukey r fuctos. The Huber ρ fucto s: e /, k e k ρ (e) = k e (k / ), d.y. where k =,345, ad the Tukey ρ fucto s: ρ (e) = where c = 5 or 6 (Hample et al., 986; Huber, 98; Maroa, Mart, & Yoha, 006; Rousseeuw & Leroy, 987). I ths study, the Tukey ρ fucto has bee used. Sce the Tukey ρ fucto s a dfferetable fucto, the researcher has obtaed the followg estmatg equato after settg the dervatve of Eq. (9) wth respect to β to 0: ρ (e ).e x = 0, (0) = e where e 0. Further, f w = ρ, (e )/e the the followg weghted form of the estmator for β s obtaed: = M wxx wxy = = = (X, WX) - X, Wy () where W = dag(w,..., w ) s a dagoal matrx. Here, the weght fucto s a bouded fucto of the resduals so that the observatos wth large resduals wll receve smaller weghts ad wll hece exert less of a effect o the estmator (Brkes & Dodge, 993; Coşkutucel, 009). I order to assess the qualty of the ft multple lear regresso, the coeffcet of determato, or R, s a very smple tool, yet the most used by practtoers. Ideed, t s reported most statstcal aalyzes, ad although t s ot recommeded as a fal model selecto tool, t does provde a dcato of the sutablty of the chose explaatory varables predctg the respose. R s ofte uderstood to be the proporto of varato explaed by the regressor, x. For the least squares coeffcet of determato may be computed by the ANOVA table gve Table (Motgomery et al., 00). The quatty for the coeffcet of determato s: KT R R KTH = = () KTT KTT Sce 0 KT H KT T, t follows that 0 R. The values of R that are close to mply that most of the varablty y s explaed by the regresso model. I the classcal settg, t s well kow that the least-squares ft ad the coeffcet of determato may be arbtrary ad/or msleadg the presece of a sgle outler. I may appled settgs, both the assumpto of ormalty of the errors ad the absece of outlers are dffcult to establsh. I these cases, Reaud ad Feser (00) have suggested that robust coeffcet of determato (R ). w R s: w Table. Aalyss of Varace (ANOVA) Table Source of Varato Sum of Squares (KT) Degrees of Freedom Mea Square (KO) F Regresso Error (yˆ y) K KO R = KT R / k KO R / KO H = (y y ˆ ) k KO H = KT H / ( k ) = Total (y y) = 53

16 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE w w = w w (y y ˆ ˆ w) w (y y w) = = R w (y y )(yˆ y ˆ ) = (3) where = (/Σw )Σw y, = (/Σw )Σw, w ad are weghts ad the ftted value of the robust M-estmator. The total sum of squares form of (R ) s: w w (y y ˆ ) R = w = (4) w (y y ) = w ad (R ) = (Reaud & Feser, 00). w Method I ths study, both smple ad multple lear regresso methods were performed o varous data sets. The classcal method of least squares ad the Robust M-regresso estmator are compared wth respect to the coeffcet of determato. The Research Data I ths study, three sets of data have bee studed. The frst set of data s hypothetcal ad cotas 5 radomly selected studet fal grades Lear algebra ad Geeral Mathematcs from Mers Uversty s Educato Faculty. For the data collecto smple lear regresso was used. Whether the success of geeral mathematcs predcted the success of lear algebra was vestgated. The secod ad thrd sets of data cosst of real data. These data were aalyzed usg the least squares method ad publshed as two papers before ths study. The frst of them has bee carred out by Güdüz ad Çelkkalel (009). Ths study amed to aalyze the predcto of male ad female studets levels of aggressveess terms of the followg varables: belef of academc effcacy, peer pressure, ad axety. The research group cossted of 3 hgh school studets (9 females; 0 males) aged betwee 4 ad 9. I the research project, the Aggressveess Scale, Academc Self-Effcacy Scale, Peer Pressure Scale, ad Axety Ivetory were used as measuremet devces. The secod set of data was derved from Çapulcuoğlu (0). Ths study s a descrptve study amg to exame the burout level of studets accordg to geder, grade level, school type, ad perceved level of academc achevemet; as well as to vestgate the relatoshp betwee studet burout wth factors such as copg wth stress, test axety, academc self-effcacy, ad paretal atttudes. The study group cossted of,385 hgh school studets varous dstcs of the cty of Mers Turkey durg the 00-0 academc year. The Maslach Burout Ivetory- Studet Survey (MBI-SS) was used to measure studets burout levels; the Copg wth Stress Styles Scale was used to measure the styles of used to cope wth stress; the Test Axety Ivetory was admstered to gauge test axety level; the Adolescece Self-Effcacy Scale was appled to evaluate self-effcacy; the Paretal Atttude Scale was used to measure paretal atttudes; ad the Persoal Iformato Sheet was used to gather demographc data the study. Data Aalyss The data were aalyzed usg the R v.5. program (Chambers, Eddy, Hardle, Sheather, & Terey, 00; Delgaard, 008; R Core Team, 03; Wlcox, 005). The codes eeded for (R ) are gve below: w ekk<-lsft(x,y,tercept=t)#least squares estmato M_tah<-rreg(x, y, t=t, ter=00)#robust M estmator w<-m_tah$w ysapka<-m_tah$ftted.values ywczg<-(/sum(w))*sum(w*y) ywsapkaczg<-(/sum(w))*sum(w*ysapka) RKAREw<-((sum(w*(y-ywczg)*(ysapkaywsapkaczg)))/(sqrt(sum(w*(yywczg)^)*sum(w*(ysapkaywsapkaczg)^))))^ RKAREwtlda<--(sum(w*(y-ysapka)^)/ sum(w*(y-ywczg)^)) Results The Results of Hypothetcal Data Table shows the smple lear regresso results for least squares ad the M-estmator of both. As show Table, observato holds zero weght referece to the M-estmator ad the least squares estmator s more dfferet tha the 54

17 COŞKUNTUNCEL / The Use of Alteratve Regresso Methods Socal Sceces ad the Comparso of Least Squares ad... Table. Least Squares ad M-Estmator for Smple Lear Regresso # GMat. (x) LCeb. (y) Weghts obtaed by M-estmator (w) ,59 58,04 0, ,54 50,59, ,9 44,87 0, ,0 3,7 0, ,59 58,04, ,89 46,58 0, ,59 58,04 0, ,06 59,8 0, ,4 5,3, ,7 53,46, ,94 63,76 0, ,76 60,90 0, ,89 46,58 0, ,53 60,33 0, ,47 5,88,00 M-estmator. Ths meas that there s a coflct betwee the M-estmator ad ths sgle outler. Because the classcal R has a value of 0,044, whereas (R ) equals 0,466, t s observed that the w effect of the outler/outlers ad the resstace of the M- estmate ca be easly see by excludg outler/outlers from data. Table 3 shows the results of estmates wth ad wthout observato whle also depctg the effects of sgle outlers Aggressveess Level Data For ths data (Güdüz & Çelkkalel, 009), regresso aalyss was coducted separately for 0 male ad 9 female studets. The results are show Table 4 for the 0 male studets. If the weghts obtaed by the M-estmators are aalyzed, the observatos 5, 65, ad 0 each hold ear zero weght, whereas the others hold a approxmate weght of. Ths meas that these 3 observatos are outlers. The robust coeffcet of determato s hgher tha the classcal oe, as expected. The same aalyss performed o the male studets was also performed o the 9 female studets, the results of whch are show Table 5. Here, observatos 9, 0, 69, 78, 79, 9, 95, ad 8 hold weghts ear zero ad the others of about. Aga, the robust coeffcet of determato s hgher tha the classcal oe, as s to be expected. Table 4. Comparso of Estmators for 0 Male Studets Idepedet varables LS Estmato Std. Err. M-estmato Std. Err. SABİT 5,5,53 3,3,85 SK 0,084 0,3 0,65 0, AB 0,43 0,07 0,55 0,06 AYİ -0,667 0,6-0,49 0,4 R 0,35 0,80 Table 5. Comparso of Estmators for9 Female Studets Idepedet varables LS Estmato Std. Err. M estmato Std. Err. SABİT 99,058 3,6 03,88,34 SK 0,80 0, 0,756 0,0 AB 0,34 0,07 0,74 0,06 AYİ -0,960 0,3-0,948 0,0 R 0,97 0,363 Table 6 shows the results of estmates wth ad wthout observatos for both male ad female studets. It should be oted that the least squares Table 3. Least Squares ad M-estmate results wth ad wthout observato. Term Least Squares for 5 observato M estmator for 5 observato Least Squares wthout observato M-estmator wthout observato Estmate Std.Er. Estmate Std.Er. Estmate Std.Er. Estmate Std.Er. Costat 3,807,0,4 4,05,57 3,03,984 3,65 GMat 0,35 0,30 0,57 0,9 0,586 0,8 0,576 0,9 R 0,044 0,466 0,46 0,468 55

18 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE method wthout outlers fts approxmately the same as M-estmates method based o full data. Normal Q-Q plots may provde a sutable approach for a researcher to detect outlers ad to gauge goodess of ft. Realzg that Q-Q plots ad other graphcal techques are hghly subjectve, more formal tests were requred order to detty a plausble dstrbuto for the data as well as to detfy outlers, lers, ad other data aomales (Tku & Akkaya, 004). For the sub-dmeso of exhausto, of the 385, 85 weghts are close to zero, ad the rest 300 observatos are close to. The M-estmate provdes a better coeffcet of determato value tha the least squares method, despte outlers. Table 8 shows the results for the sub-dmeso of desestzato. Table 6. Least Squares ad M-Estmate Results wthout Outlers Results for 99 male studets Results for female studets Idepedet varables LS Estmate Std. Err. M Estmate Std. Err. LS Estmate Std. Err. M Estmate Std. Err. CONSTANT 4,50,4 5,305,84 0,743 0,74 0,6,45 SK 0,4 0,0 0,54 0, 0,60 0,7 0,63 0,9 AB 0,69 0,06 0,55 0,06 0,56 0,05 0,58 0,06 AYI -0,48 0,4-0,50 0,5-0,953 0,8-0,97 0,9 R 0,30 0,36 0,34 0,37 Burout Level Data For ths data, regresso aalyss was coducted separately for MBI-SS sub-dmesos of exhausto, desestzato, ad self-effcacy. The results are show Table 7 for the sub-dmeso of exhausto. Table 7. Comparso of Estmators for the sub-dmeso of Exhausto Idepedet Varables LS Estmate Std. Err. M-Estmate Std. Err. CONSTANT 4,930, 4,375,8 SELF-CONFIDENT 0,008 0,03 0,08 0,03 HELPLESS 0,063 0,03 0,050 0,03 SUBMISSIVE 0,37 0,04 0,44 0,03 OPTIMISTIC -0,77 0,04-0,79 0,04 SEEKING OF SOCIAL SUPPORT -0,08 0,04-0,066 0,04 ACADEMIC COMPETENCY -0,3 0,0-0,38 0,0 SOCIAL COMPETENCY 0,047 0,0 0,039 0,0 EMOTIONAL COMPETENCY 0,063 0,0 0,046 0,0 TEST ANXIETY 0,043 0,0 0,039 0,0 DEMOCRATIC ATTITUDE -0,00 0,0 0,007 0,0 PROTECTIVE HEADREQUESTOR 0,09 0,0 0,033 0,0 ATTITUDE AUTHORITARIAN ATTITUDE -0,07 0,0-0,05 0,0 R 0,39 0,34 Table 8. Comparso of Estmators for the sub-dmeso of Desestzato Idepedet Varables LS Estmate Std. Err. M-Estmate Std. Err. CONSTANT 9,437,0 9,990 0,95 SELF-CONFIDENT 0,00 0,03 0,04 0,03 HELPLESS 0,08 0,03 0,05 0,0 SUBMISSIVE 0,84 0,03 0,63 0,03 OPTIMISTIC -0,7 0,03-0,38 0,03 SEEKING OF SOCIAL SUPPORT -0,080 0,04-0,06 0,03 ACADEMIC COMPETENCY -0,35 0,0-0,49 0,0 SOCIAL COMPETENCY 0,08 0,0-0,004 0,0 EMOTIONAL COMPETENCY 0,046 0,0 0,030 0,0 TEST ANXIETY 0,039 0,0 0,039 0,0 DEMOCRATIC ATTITUDE -0,06 0,0-0,009 0,0 PROTECTIVE HEADREQUESTOR -0,008 0,0-0,00 0,0 ATTITUDE AUTHORITARIAN ATTITUDE 0,08 0,0 0,034 0,0 R 0,03 0,30 Here, 7 of the observatos hold weghts of ear zero, ad aga, the robust coeffcet of determato s better tha the classcal oe. Table 9 shows the results for the sub-dmeso of selfeffcacy. 56

19 COŞKUNTUNCEL / The Use of Alteratve Regresso Methods Socal Sceces ad the Comparso of Least Squares ad... Table 9. Comparso of Estmators for the sub-dmeso of Selfeffcacy Idepedet Varables LS Estmate Std. Err. M-Estmate Std. Err. CONSTANT 4,39 0,89 3,743 0,9 SELF-CONFIDENT 0,080 0,0 0,083 0,03 HELPLESS -0,04 0,0-0,047 0,0 SUBMISSIVE 0,055 0,03 0,067 0,03 OPTIMISTIC 0, 0,03 0,5 0,03 SEEKING OF SOCIAL SUPPORT -0,05 0,03-0,3 0,03 ACADEMIC COMPETENCY 0,7 0,0 0,78 0,0 SOCIAL COMPETENCY 0,096 0,0 0, 0,0 EMOTIONAL COMPETENCY 0,003 0,0-0,00 0,0 TEST ANXIETY -0,04 0,0-0,04 0,0 DEMOCRATIC ATTITUDE 0,04 0,0 0,03 0,0 PROTECTIVE HEADREQUESTOR -0,005 0,0-0,007 0,0 ATTITUDE AUTHORITARIAN ATTITUDE 0,0 0,0 0,0 0,0 R 0,88 0,344 I cotrast to the prevous sub-dmesos, here, oly eght observatos have very low weght. The coeffcet of determato for the least square method was affected too much by theese outlers. settgs, both the assumpto of ormalty of the errors ad the absece of outlers are dffcult to establsh. I these cases, robust procedures for estmato ad ferece lear regresso are avalable thereby provdg a sutable alteratve (Reaud & Feser, 00). I ths paper, t two mportat pots have bee llustrated by meas of both hypothetcal ad real data. These pots are the robust coeffcet of determato ad detfyg outlers. The robust coeffcet of determato has show that outlers uduly affect the least squares estmator ad that the M-estmator may be a sutable alteratve to the least squares method whe data cota a outler or outlers. Because, as show the data aalyss metoed, the effects of outlers mmzed wth the M-estmate ad ftted model has a larger R value. Ths meas that the proporto of varato explaed by the depedet varables s better wth ftted model by M-estmator. Moreover, wth the M-estmator, t was show that the M-weghts provdes researchers to detfy outlers ad to be able make data aalyses wthout eedg to remove the outlers from data sets. O the other had, data may cota outlers x ad/or y drectos whch the M-estmator may ot be robust regards to outlers x drecto. I such a stuato, GM-estmatos, whch are robust to the outlers both x ad y drectos, may be the more approprate estmator for ths kd of data (Arsla & Bllor, 996; Coşkutucel, 00). Dscusso Regresso aalyss s a mportat statstcal tool routely appled scece. Out of the may possble regresso techques, the least squares method has bee geerally adopted due to tradto ad the ease of computato t provdes (Maroa et al., 006; Rousseeuw & Leroy, 987). However, the techques used ad assumptos are of equal mportace (Huber, 98). To assess the qualty of the ft a multple lear regresso, the coeffcet of determato, or R, despte beg a smple tool, s the most used by practtoers. Ideed, t s reported most statstcal aalyzes, ad although t s ot recommeded as a fal model selecto tool, t does provde a dcato of the sutablty of the chose explaatory varables predctg the respose. I the classcal settg, t s well kow that the least-squares ft ad coeffcet of determato ca be arbtrary ad/or msleadg the presece of a sgle outler. I may appled 57

20 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE Refereces/Kayakça Aktaş, C. (005). Türkye turzm gelrler etkleye değşkeler ç e uygu regresyo deklem belrlemes. Doğuş Üverstes Dergs, 6(), Aluçdb, F. ve Ekc, G. (0). Ortaöğretm öğrecler byoloj ders motvasyo düzeylere byoloj öğretmeler sııf yöetm profller etks. Hacettepe Üverstes Eğtm Fakültes dergs, 43, Arıcı, H. (99). İstatstk: Yötem ve uygulamalar. Akara: Meteksa. Arsla, O. (99). Multvarate robust aalyss based o the t-dstrbuto ad the EM algorthm (Doctoral thess, Uversty of Leeds, Departmet of Statstcs, Leeds, U.K.). Arsla, O. (004a). Covergece behavor of a teratve reweghtg algorthm to compute multvarate M-estmates for locato ad scatter. Joural of Statstcal Plag ad Iferece, 8, 5-8. Arsla, O. (004b). Famly of multvarate geeralzed t dstrbuto. Joural of Multvarate Aalyss, 89, Arsla, O., & Bllor, N. (996). Robust rdge regresso estmato based o the GM-estmators. Joural of Mathematcs & Computer Sceces (Math. Ser.), 9(), -9. Arsla, O., & Bllor, N. (000). Robust lu estmator for regresso based o a M-estmators. Joural of Appled Statstcs, 7(), Arsla, O., Edlud, H., & Ekblom, H. (00). Algorthms to compute CM- ad S-estmates for regresso. Metrka, 55, Belsley, D. A., Kuh, E., & Welsch, R. E. (980). Regresso dagostcs: Idetfyg fluetal data ad sources of collearty. New York: Wley. Brkes, D., & Dodge, Y. (993). Alteratve methods of regresso. New York: Joh Wley & Sos. Büyüköztürk, Ş. (005). Sosyal blmler ç ver aalz el ktabı. Akara: Pegem A. Büyüköztürk, Ş., Çokluk, Ö. ve Köklü, N. (0). Sosyal blmler ç statstk. Akara: Pegem A. Chambers, J., Eddy, W., Hardle, W., Sheather, S., & Terey, L. (00). Bascs of S-plus. New York: Sprger-Verlag. Chatterjee, S., Had, A. S., & Prce, B. (000). Regresso aalyss by example. New York: Joh Wley & Sos. Coşkutucel, O. (005). Karma deemelerde ve modellerde robust statstksel aalzler (Doktora tez, Çukurova Üverstes, Fe Blmler Esttüsü, Matematk Aablm Dalı, Adaa). adresde edlmştr. Coşkutucel, O. (009). Eğtmle lgl sapa değer çere ver kümelerde e küçük kareler ve robust-m tahm edcler karşılaştırılması. Mers Ü. Eğtm Fakültes Dergs, 5(), 5-6. Coşkutucel, O. (00). Sosyal blmlerde yalı regresyo tahm edcler kullaılması. Eğtm ve Pskolojde Ölçme ve Değerledrme Dergs, (), Çapulcuoğlu, U. (0). Öğrec tükemşlğ yordamada stresle başaçıkma, sıav kaygısı, akademk yetklk ve ae-baba tutumları değşkeler celemes, (Yüksek lsas tez, Mers Üverstes, Eğtm Blmler Esttüsü, Mers). adresde edlmştr. Delgaard, P. (008). Itroductory statstcs wth R. New York: Sprger. Draper, N. R., & Smth, H. (998). Appled regresso aalyss (3th ed.). New York: Joh Wley ad Sos. Güdüz, B. ve Çelkkalel, Ö. (009). Erge saldırgalığıda akademk yetklk acı, akra baskısı ve sürekl kaygıı rolü. İöü Üverstes Eğtm Fakültes Dergs, 0(), Güeş, M. ve Tulçal, R. (00). Faz oralarıı etkleye faktörler regresyo aalz le tespt üzere br uygulama. Trakya Üverstes Blmsel Araştırmalar Dergs, (), Hample, F. R. (968). Cotrbutos to the theory of robust estmato. (Doctoral Thess, Departmet of Statstcs, Uversty of Calfora, Berkeley). Hample, F. R., Rochett, E. M., Rousseeuw, P. J., & Stahel, W. A. (986). Robust statstcs: The approach based o fluetal fuctos. New York: Wley. Huber, P. J. (964). Robust estmato of locato parameters. The Aals of Mathematcal Statstcs, 35, Huber, P. J. (965). A robust verso of the probablty rato test. The Aals of Mathematcal Statstcs, 36, Huber, P. J. (98). Robust statstcs. New York: Joh Wley & Sos. İadı, Y. (009). The barrers to career advacemet of female teachers Turkey ad ther levels of burout. Socal Behavor Ad Persoalty, 37(8), Maroa, R. A., Mart, R. D., & Yoha, V. J. (006). Robust statstcs. New York: Joh Wley & Sos. Motgomery, D. C., Peck, E. A., & Vg, G. G. (00). Itroducto to lear regresso aalyss (3th ed.). New York: Joh Wley ad Sos. R Core Team. (03). R: A laguage ad evromet for statstcal computg. R Foudato for Statstcal Computg, Vea, Austra. URL org/. Rahma M. S., & Amr, A. A. (0). Effect of outler o coeffcet of determato. Iteratoal Joural of Educato Research, 6(), 9-0. Reaud, O., & Feser, M. P. V. (00). A robust coeffcet of determato for regresso. Joural of Statstcal Plag ad Iferece, 40, Rousseeuw, P. J. (984). Least meda of squares regresso. Joural of the Amerca Statstcal Assocato, 79, Rousseeuw, P. J., & Leroy, A. M. (987). Robust regresso ad outler detecto. New York: Wley. Rousseeuw, P. J., & Yoha, V. J. (984). Robust regresso by meas of S-estmators. Robust ad Nolear Tme seres, J. Frake, W. Hardle & R. D. Mart (Eds.), Lectures otes statstcs (v. 6, pp. 56-7). New York: Sprger. Rousseeuw, P. J., & Zomere, B. C. (990). Umaskg multvarate outlers ad leverage pots. Joural of Amerca Statstcal Assocato, 85(4), Şah, M. D. ve Aıl, D. (0). 7. sııf öğrecler SBS 00 fe ve tekoloj test başarılarıı etkleye bazı faktörler [Özel Sayı]. Hacettepe Üverstes Eğtm Fakültes Dergs,, Tku, M. L., & Akkaya, A. D. (004). Robust estmato ad hypothess testg. New Delh: New Age Iteratoal. Tukey, J. (960). A Survey of samplg from cotamated dstrbutos. I. Olk (Ed.), Cotrbutos to Probablty ad Statstcs (pp ). Stadford, CA: Staford Uversty Press. Wlcox, R. R. (005). Itroducto to Robust estmato ad hypothess testg. U.K.: Elsever Academc Press. 58