Hafta 5: Periyodik İşaretlerin Fourier Serisi Gösterilimi

Transkript

1 Hf 5: Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi

2 El Alınc An Konulr LI imlrin rmşı ül işrlr ynıı Sürli-zmn priyodi işrlrin Fourir rii görilimi Fourir riinin yınlığı Sürli-zmn Fourir riinin özllilri

3 LI Simlrin Krmşı Ül İşrlr Ynıı LI imlrin nlizind fydlı bir ylşım, işrlri şğıdi ii özlliği ğlyn ml işrlrin doğrul ombinyonu şlind mil mir:. ml işrlr, gniş v fydlı bir işr ümini oluşurbilmlidir.. Bir LI imin ml bir işr ynıı bi olmlıdır. Böylc, LI imin bir giriş ynıı, bi ynılrın doğrul ombinyonu olcır. Bu ii özlliği, hm ürli hm d yrı durumd rmşı ül işrlr ğlmdır. LI bir imin çıışı, girişin rmşı bir bil çrpımın şi giriş SİSEMİN ÖZFONKSİYONU, rmşı bi SİSEMİN ÖZDEĞERİ dnilir. v z rmşı yılr olm üzr, şğıd görildiği gibi ürli-zmnd, yrı-zmnd z n LI imlrin özfoniyonudur.

4 İmpul ynıı h oln bir ürli-zmn LI imin girişin uygulndığınd imin çıışı onvolüyon ingrlindn hplnbilir: Eşiliğin ğındi ingrlin yındığını vrylım. İngrlin dğri bğlıdır vrmşı biryıdır. İngrlin onucunu H il görlim: O hld, y =H çıış, girişin rmşı biryı il çrpımın şiir. Böylc, rmşı ül işrinin ürli-zmn LI imlrin özfoniyonu olduğu görilmiş olur. LI Simlrin Krmşı Ül İşrlr Ynıı d h d h d x h y d h H

5 LI Simlrin Krmşı Ül İşrlr Ynıı Bnzr işlmlr yrı-zmnd ypılbilir. İmpul ynıı h[n] oln bir yrı-zmn LI imin z n girişin oln ynıı onvolüyon oplmındn hplnır: y[ n] n z h[ ] x[ n ] h[ ] z Eşiliğin ğındi oplmnın yındığını vrylım. oplmnın dğri z y bğlıdır vrmşı biryıdır. oplmnın onucunu Hz il görlim: O hld, y[n] =Hzz n çıış, girişin rmşı biryı il çrpımın şiir. Yni, rmşı ülz n işrinin yrı-zmn LI imlrin özfoniyonu olduğunu görmiş oldu. H z h[ ] z h[ ] z n

6 LI Simlrin Krmşı Ül İşrlr Ynıı İmpul ynıı h oln bir ürli-zmn LI im üç d rmşı ül işrin oplmın şi oln bir giriş uygulylım. Özfoniyon özlliğindn, imin rmşı ülişrlr ynıı şöyldir: Sim doğrul olduğundn, rmşı üç ül işrin oplmındn oluşn giriş oln ynıı ül işrlr oln ynılrının oplmın şiir: x 3 3 H H H H H H y 3 3 3

7 LI Simlrin Krmşı Ül İşrlr Ynıı Yurıdi onucu gnllşirbiliriz. Bir ürli-zmn LI imin girişi x, rmşı ülişrlrin ğırlılı oplmı doğrul ombinyonu olun: Doğrullı v özfoniyon özllilrindn, imin çıışı şğıdi gibi olur: Bnzr şild, bir yrı-zmn LI imin girişi x[n], yrı-zmn rmşı ül işrlrin doğrul ombinyonu olun: Simin çıışı şğıdi gibi olur: x y H x [ n] z y [ n] H z z n n

8 LI Simlrin Krmşı Ül İşrlr Ynıı GÖZLEM: Bir LI imin girişi rmşı ül işrlrin doğrul ombinyonu i, çıışı d ynı ül işrlrin doğrul bir ombinyonudur. Çıış işrinin görilimindi yılr, giriş işrinin görilimindi yılr il rmşı ül işrlr rşılı gln im özdğrlrinin çrpımın şiir. x y H Bu gözlm, Fourir v ndiindn onr glnlrin hrhngi bir işrin rmşı ülişrlrin doğrul ombinyonu şlind nıl yzılbilcği hınd rşırm ypmlrın ön y olmuşur. Bu v önümüzdi hflr, oruyu ırıyl ürli v yrı-zmn priyodi işrlr için ynılyc, dh onri hfd priyodi olmyn işrlr durumunu l lcğız. v z hrhngi bir rmşı yı olbilir. Anc, Fourir nlizind v z ırıyl = v z = vryılcır. Lplc v z-dönüşümü onulrınd v z hrhngi bir rmşı yıy gnllşirilcir.

9 LI Simlrin Krmşı Ül İşrlr Ynıı ÖRNEK: Bir ürli-zmn LI imin girişi il çıışı rındi ilişi y=x-3 v im uygulnn giriş x = olun. Simin çıışı şöyldir: y 3 6 Uygulnn giriş bir özfoniyon olduğundn bu onucu lınd bliyordu. Giriş rşılı gln özdğri hplylım. Simin impul ynıının h =-3 olduğu çıır. O hld, Örnğimizd = olduğundn, giriş rşılı gln özdğr H = -6 olr ld dilir. Görüldüğügibiçıış, giriş il giriş rşılı gln ödğrin çrpımın şiir.. H h d 3 d 3

10 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi Hrmoni ilişili rmşı ül işrlrin doğrul ombinyonu şlind yzıln bir ürli-zmn işri l llım: x / Hrmoni ilişili ül işrlrin hrbirinin il priyodi olduğunu görmüşü. O hld, x d il priyodiir. = için, oplmdi ül işr biir. = için ül işrlrin ml frnı dır v bu rimlr EMEL vy BİRİNCİ HARMONİK bilşnlr dnir. = içinülişrlrin ml frnı dır v bu rimlr iinci hrmoni bilşnlr dnir. Gnl olr, = N için oplmdi rmşı ül işrlr N. HARMONİK bilşnlr dnir. Priyodi bir işrin yurıdi gibi oplm şlind ifd dilmin FOURİER SERİSİ görilimi dnir.

11 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi ÖRNEK: ml frnı oln bir ürli-zmn priyodi işrin Fourir rii görilimi şğıd vrilmişir: Kyılr oplmd yrin onulr işrin nlii ifdi ld dilbilir: Eulr ilişii ullnılr, işr rigonomri foniyonlr cinindn d yzılbilir:. 3,, 4, x x co6 3 co4 co x

12 Hrmoni bilşnlrin işri nıl oluşurduğu şğıd görilmişir.

13 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi Sürli-zmn grçl priyodi işrlr için Fourir riinin diğr bir görilimi vrdır. Grçl bir işr için x =x* olduğundn * * * x Son ifd, Fourir rii görilimi il rşılşırılır = * - vy şdğr olr * = - onucu çır. Bu onuçn yrrlnılr Fourir rii şğıdi gibi yzılbilir: x R *

14 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi Son ifdd uupl oordinlrd A şlind yzılır şğıd vriln şdğr rigonomri görilim ld dilir: rzyn oordinlrd B + C şlind yzılır şğıd vriln diğr bir rigonomri görilim ld dilir: co R A A x in co R C B C B x

15 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi Şimdi d, priyodi bir işr için Fourir rii yılrının hplnbilcğini rışcğız. nıl Fourir rii görilimind, şiliğin hr ii rfı -n il çrpıldın onr çrpımın [,]rlığınd ingrli lınır şğıdi ifd ld dilir: n x d Köşli prnz içindi ifd Eulr formülü ullnılr ynidn düznlnbilir: [ n [ n] d d] [ n] d n d co[ ] in[ n ] d

16 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi n için co[-n ] v in[-n ] işrlri / -n ml priyodu il priyodiir. İngrlın lındığı rlı uzunluğund olup ml priyodun -n ıdır. Sinü v oinü işrlrinin bir priyodund, işrlrin ıfırın üünd v lınd ln ıımlrı ynı ln hip olup bu işrlrin bir priyod v dolyııyl d bir priyodun myı ı uzunluğundi bir rlıi ingrli ıfır şiir. n için hr ii ingrl ıfır şiir. = n için, ingrl olup ingrlin onucu y şiir. Özl, [ n] d,, n n O hld, ri görilimindi yılr şöyl hplnır: n n x d

17 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi Yurıd bulunn onucun, uzunlulu hrhngi bir rlı için gçrli olduğun di diniz. uzunlulu hrhngi bir rlı boyunc ingrl noyonu il görilm üzr, ürli-zmn priyodi işrin Fourir riin çılımı v çılımdi yılrın hbı şğıdi şililrd vrilmişir: x x d x / / d İşrin ri şlind görilimin SENEZ, yılrın nıl hplncğını vrn şiliğ i ANALİZ dnlmi dnilir. yıı, işri bi vy DC bilşn olup işrin bir priyod boyunc orlm dğridir: x d

18 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi ÖRNEK: ml priyodu v ml frnı =/ oln priyodi r dlgnın Fourir rii görilimini ld diniz. ÇÖZÜM: İşrin bir priyodunun mmil ifdi şöyldir:, x, / Fourir rii yılrını bulm için uzunlulu hrhngi bir rlı çilbilir. İşr, = rfınd imri olduğundn rlı olr / / çilmi mnılıdır.

19 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi İl önc ı blirlylim. Diğr yılr, bnzr şild hplnır: yılrı bi bir v dğişi dğrlri için şğıd çizilmişir. Bu örn için yılr grçl çıığındn yılr için bir grfi gnli grfiği yrli olmuşur. Kyılrın rmşı yı olmı hlind ii grfiğin gnli v fz grli olcğın di diniz. d d d x / / d d x in in / /

20 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi

21 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi ÖRNEK: Sinüzoidl işrlr için Fourir rii doğrudn hplnbilir. Aşğıd vriln işrin Fourir rii görilimini ld dlim. Çözüm: Eulr ilişiidn işr rmşı ülişrlrin oplmı şlind yzılbilir: Ohldx nin Fourir rii yılrı ifdy bılr doğrudn yzılbilir 4 co co in x x 4 / 4 / 4 / 4 / 3., 4, 4,, 4 / 4 /

22 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi Kyılrın gnliği vfzı, y bğlı olr şğıd çizilmişir

23 Sürli-zmn Priyodi İşrlrin Fourir Srii Görilimi ÖRNEK: Örnlm bhind ullnılc priyodi impul diziinin Fourir rii yılrını bullım. x ÇÖZÜM: İşr, nliz dnlmind yrin onulr yılr hplnbilir. İşr imri olduğundn ingrl rlığı olr / / lm uygundur. / x d / x d / / rlığınd x = olduğundn, / / d No: Yurıdi onucu bulurn şu özlliği ullndı: / / f d f

24 Sürli-zmn Fourir Sriinin Yınlığı Kr dlgd ürizlilr vrdır. Hlbui ri görilimindi hrmoni ilişili rmşı ül işrlrin hpi ürlidir. Süriz bir işrin ürli işrlrl mil dilbilcğin şüphyl bılmışır. Fourir in pilri dönmin u mmiçii Lgrng rfındn vo dilmişir. H, dönmin diğr mmiçilri Lcroix, Mong v Lplc ın Fourir dği bil rşırmlrın yyınlnmı için yrli olmmışır. Fourir in rşırmlrı vfındn onr yyınlnbilmişir. Fourir riinin gçrliliğini görm için, bir ürli-zmn priyodi işrin onlu yıd hrmoni ilişili rmşı ülişrl milini l llım: N ylşılı hını görin: N N x N x x x N N N N

25 Sürli-zmn Fourir Sriinin Yınlığı Frlı ylşılılrı birbiriyl rşılşırbilm için, ylşılı hının boyuunu vrn bir ölçü ullnmmız grlidir. Ölçü olr, bir priyo boyunc hnın nriini ullncğız. Hnın nriini minimum ypn yılrın E N olduğu görilbilir ödvlrin birind bu onuç iplncır!. Yni, hyı minimum ypn yılr Fourir rii yılrın şiir. O hld, x nin Fourir rii görilimi vr, N büyüdüç h zlır v N limi durumund E N ıfır şi olur. Şimdi d priyodi bir işrin hngi oşullr lınd Fourir rii görilimin hip olcğını blirlmy çlışlım. N d x d

26 Sürli-zmn Fourir Sriinin Yınlığı İi duruml rşılşm mümündür: i yılrın hplnmın imn vrn ingrl yınmybilir bzı yılr onuz olbilir, ii yılrın hpi onlu ol bil,bu yılr nz dnlmind yrin onulduğund ld diln ri oriinl işri vrmybilir. Priyodi bir işr, bir priyod boyunc onlu nriy hip, yni x d i, Fourir rii yılrının onluolcğı görilbilir. Bu durumd, işr il Fourir rii görilimi rındi hnın nrii bir priyo boyunc ıfır olcır. x Bu onuç, Fourir rii göriliminin işr şi olduğu nlmın glmdiğini, nc iii rındi fr nri olmdığını blirmdir. Fizil imlr, işrin nriin ynı vrdiğindn, bu nlmd işr il Fourir rii görilimi şdğrdir. İlgilndiğimiz çoğu priyodi işrin nrii onluolupbuişrlr için Fourir rii görilimi mvcuur. d

27 Sürli-zmn Fourir Sriinin Yınlığı Dirichl, priyodi bir işr il Fourir rii göriliminin, işrin üriz olduğu nolr hriç şi olbilmi için oşullrı blirlmişir. Sürizli nolrınd ri, işrin ürizli noınd oldn v ğdn limilrinin orlmın şi olur. Dirichl oşullrı şğıd vrilmişir. Koşul : İşr bir priyod boyunc mul ingrllnbilir olmlıdır: x d Koşul : Bir priyo boyunc, işrin onlu yıd minimum v mimumu olmlıdır. Koşul 3: Sonlu bir rlı, işr onlu yıd ürizli olmlı v ürizli nolrınd işrin dğri d onlu olmlıdır. yrıc Dirichl oşullrını ihll dn işrlr örnlr şğıd vrilmişir.

28 Koşul i ihll dn bir işr Koşul yi ihll dn bir işr Koşul 3 ü ihll dn bir işr

29 Sürli-zmn Fourir Sriinin Yınlığı Dirichl oşullrını ğlmyn işrlrin fizil imlrd rşımız çım olılığının olduç z olduğu örnlrdn görülmdir. 898 yılınd, Amrin fiziçi Albr Michlon, onlu Fourir riini N = 8 dr hplyn bir ygı modrn dıyl hrmoni nlizör glişirmişir. Michlon, ygıını p ço priyodi işr için mişir. Michlon, r dlg için ummdığı onuçlr ld dinc glişirdiği ygıın hlı olbilcğini düşünmüş v onuyu mmil fiziçi Joih Gibb il pylşmışır. Gibb, problmi drinlmin inclmiş v düşünclrini 899 yılınd Michlon il pylşmışır. Priyodi r dlg, Dirichl oşullrını ğldığındn, onlu ridi rim yıı onuz gidrn ürizli nolrınd rinin limii ürizli dğrinin orlmın şi olmlıdır. Diğr nolrd, ri işr yınmlıdır. Çşili N dğrlri için ylşı işr v r dlg şğıd çizilmişir.

30

31 Sürli-zmn Fourir Sriinin Yınlığı Michlon un Gözlmi: Sonlu ri, ürizli nolrınd dlglnmlr vrmdir. Dlglnmlrın p gnliği N dn bğımızdır v N rıç zlmmdır. Gibb in Açılmı: İşrin üriz olmdığı bir noı ürizli noın ylşıç hnın üçü olmı için N büyü olmlıdır. Bu ndnl, N rıç dlglnmlr ürizli noı rfınd yoğunlşır nc dlglnmnın mimum gnliği bi lır. Bu gözlm GIBBS OLAYI dnir. Yni, üriz bir işrin onlu rimli Fourir rii ylşılığı yü frnlı dlglnmlr içrir v ürizli noınd işrn dh yü dğr lır. Sonlu rimli Fourir rii ullnılc, dlglnmlrdi oplm nri ihml dilbilc dr üçü olc şild yrinc büyü N dğri çilmlidir. Limi durumund, hının nrii ıfır olur v Fourir rii yınr.

32 Sürli-zmn Fourir Sriinin Özllilri ml priyodu v ml frnı ω =π/ oln priyodi bir işrin Fourir rii yılrının olduğunu blirm için noyonunu ullncğız. FS x Sürli-zmn Fourir riinin şğıd vriln özllilri rcılığıyl, Fourir rii yılrı bilinn işrlr yrdımıyl çoğu işrin Fourir rii çılımını ld m olylşmdır. Fourir dönüşümü onuund d görcğimiz gibi, çoğu özlli Fourir dönüşümünün özllilrindn ld dilbilir. Bu ndnl, dc n önmli özllilri ırlyc v yorumlycğız.

33 Sürli-zmn Fourir Sriinin Özllilri Özlli Zmnd ölm: FS x i, FS x / İp: Priyodi bir işr, zmnd ölnir priyodiliği orunur v priyodu dğişmz. Ölnmiş y =x- işrinin Fourir rii yılrı b olun: İngrld, τ = - dğişn dönüşümü yplım., uzunluğu oln bir rlı dğişiyor τ d uzunluğu oln bir rlı dğişcir. O hld, b / Yorum: olduğundn, b. b y d x x / Priyodi bir işr ölndiğind Fourir rii yılrının gnliği dğişmz! d d x d

34 Sürli-zmn Fourir Sriinin Özllilri Özlli Zmnd rin çvirm: FS i, FS x x İp: Priyodi bir işr, zmnd rin çvrilir priyodiliği orunur v priyodu dğişmz. Fourir rii çılımındn x- işri x / şlind yzılbilir. oplmd, =-m dğişn dönüşümü ypılır x m / m m Son şili, x- işrinin Fourir rii çılımı olup çılımdi yılr - dır. Yorum: Bir ürli-zmn priyodi işr zmnd rin çvrilir, rşılı gln Fourir rii yılrı d rin çvrilir. O hld, çif işrlrin x=x- Fourir rii yılrı çif = -, işrlrini i =- - olcır.

35 Sürli-zmn Fourir Sriinin Özllilri Özlli 3 Zmnd ölçlm: FS i, FS x x İp: Priyodi bir işr, ölçlndiğind priyodu dğişir. x nin ml priyodu v ml frnı ω =π/ i, xα nin ml priyodu /α v ml frnı αω dır. x nin Fourir rii çılımınd yrin α yzılır x Son şili, ml frnı αω oln işrin Fourir rii görilimi olup çılımdi yılr dır. Yorum: Bir ürli-zmn priyodi işri zmnd ölçlm Fourir rii yılrını dğişirmz.

36 Sürli-zmn Fourir Sriinin Özllilri Özlli 4 Zmnd ürv lm: FS dx FS x i, d İp: Priyodi bir işrin ürvi lınır yin priyodi olur v priyodu dğişmz. x nin Fourir rii çılımınd, şiliğin hr ii rfının y gör ürvi lınır dx d d d d d Son şili, ml frnı ω =π/ oln işrin Fourir rii görilimi olup çılımdi yılr ω =π/ olr görülmdir. Yorum: Bir ürli-zmn priyodi işrin ürvini lm, Fourir rii yılrının hm gnliğini hm d fzını dğişirmdir.

37 Sürli-zmn Fourir Sriinin Özllilri Özlli 5 Prvl ilişii: İp: İngrld, yzıp, x vx * için Fourir rii görilimlrini ullnır Köşli prnz içindi ingrli dh önc hplmışı: O hld, on şili onuz n ingrl olmın rğmn ingrllrin onucu dc l = için, diğr l dğrlrind şiir. Sonuç olr, ii oplm bir oplmy indirgnir v l = olur: d x * x x x l l l l l l d d d x x d x * * * l l l d,, d x *

38 Sürli-zmn Fourir Sriinin Özllilri Prvl İlişiinin Yorumu: Bir işri dğişi şillrd mil m lınd ilv bir bilgi vrmmdir. Bir bış çıınd gizli oln bir bilgi, diğr bir bış çıınd ory çıbilir. İşrin nrii ullnıln görilimdn bğımızdır. Diğr bir dyişl, işrin nriini zmn vy frn uzyınd hplm ynı onucu vrmlidir. Diğr Özllilr: Sürli-zmn Fourir riinin ipını vrmdiğimiz bş özllilri d vrdır. Diğr özllilrin ipı bnzr şild ypılbilir. blod lilnmişir. Özllilrin ümü şğıdi

39 Sürli-zmn Fourir Sriinin Özllilri Özlli Priyodi İşr Fourir Srii Kyılrı Doğrullı Zmnd ölm Frn ölm Eşlni lm Zmnd rin çvirm Zmnd ölçlm Priyodi onvolüyon Zmnd çrpm x / y ml frnı ml priyodu il priyodi Ax By A Bb x / M M / x x α> /α il priyodi v b M x * * x x x y d b x y l l b l

40 Özlli Priyodi İşr Fourir Srii Kyılrı Zmnd ürv lm Zmnd ingrl lm Grçl işrlr için şlni imrili Grçl v çif işrlr Grçl v işrlr Grçl işrlrin çif- yrışırmı Sürli-zmn Fourir Sriinin Özllilri dx d x d x grçl x grçl v çif x grçl v çif / x Ev{ x } [ x grçl] { } xo Od{ x } [ x grçl] m{ } Priyodi İşrlr için Prvl İlişii x d * { } { } m{ } m{ } grçl v çif f rmşı v çif

41 Sürli-zmn Fourir Sriinin Özllilri ÖRNEK: Sürli-zmn Fourir riinin özllilrindn yrrlnr şğıd vriln g işrinin = 4 il priyodi Fourir rii yılrını bullım. ÇÖZÜM: g işrini nliz dnlmind yrin oyr, Fourir rii yılrını blirlybiliriz. Anc, g işrini dh önc Fourir riini hpldığımız priyodi imri r dlg cinindn ifd dip onucu bulcğız. Kr dlg v Fourir rii yılrı, hırlm mcıyl şğıd vrilmişir: in,

42 Priyodi r dlg işrind =4v =llım. Şillrdn, g ilx rındi ilişinin g =x- / olduğu görülmdir.

43 x- işrinin Fourir rii yılrı b olun. Ölm özlliğindn, / DC rimin -/ Fourir rii yılrı c olun. DC işrin ıfırdn frlı bir Fourir rii yıı vrdır:, c /, g işrinin Fourir rii yılrı d olun. Doğrullı özlliğindn b Son ifdd yrin onulur d b c /, /, d in / /,,

44 Sürli-zmn Fourir Sriinin Özllilri ÖRNEK: Sürli-zmn Fourir riinin özllilrindn yrrlnr şğıd vriln x işrinin = 4 il priyodi Fourir rii yılrını bullım. ÇÖZÜM: Bu işrin ürvi, önci örn l lınn g işrin şiir. g v x işrlrinin Fourir rii yılrını ırıyl d v il görlim. ürv özlliğindn, d d / 4 in / / İfd, için gçrlidir. d şiliyrin onulur,, bir priyo boyunc x nin lındi ln priyod bölünr ld dilbilir: x d x d 4