e gibi Laplace dönüşümü olmayan fonksiyonlar kaynak olarak

Transkript

1 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ BÖLÜM IX LAPLACE DÖNÜŞÜMÜ Lplc kiği lir, opluprmrli dvrlrd kullıl güçlü bir liz kiğidir. Lplc döüşümü, bird fzl düğümvolj vy gözkım difriyl dklmlrii ihiyç duyulduğu dvrlri gçici cvbıı iclmid kullılbilir. Ayrıc Lplc döüşümü; igrodifriyl dklmlr kımı, zm domid frk domi cbrik dklmlr olrk gçiş imkı d ğlr. F () = Lf { ()} = f () d () Dvr uygulmlrıd Lplc, problmi zm domid frk domi şır. Lir dvrlri lizid Lplc döüşümü lıbil kyklr kullılır. vy kullılmz. gibi Lplc döüşümü olmy fokiyolr kyk olrk Eşilik () d l ıır olduğud, Lplc i gif dğrlrii ihml dr. F () il dvri dc i poziif dğrlri il dvrışı bkılır. Bu bpl burd kulldığımız Lplc k rflı (o idd) vy (uilrl) Lplc döüşümüdür. İki rflı (wo idd) vy bilrl Lplc d l ıır dır. Burd F () ddiğimizd k rflı Lplc olduğu lşılmlıdır. Orijid bir ürkizlik vr, l ıır bu durumd ( + ) vy ( ) lımlıdır. Orijid bir drb fokiyou ( d () ) yok d + y igrl ıfırdır. f () f ().., <, > Şkil: ) Orijid ürkli b) Orijid ürkiz Fokiyol döüşüm: i( w),, gibi fokiyolrı döüşümüü ifd dr.

2 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ f () İşlml döüşüm: Mmikl işlmlri döüşümüü ifd dr ( i döüşümü gibi) 9. Bmk Fokiyou f () u() =, < u() =, > Şkil: Bmk Fokiyou u (), birim bmk fokiyou (ui p rpo). Bmk cvbı = d ımlı dğildir. Eğr il + rıd bir gçiş ımlmı grkiği durum olur; bu gçiş lir kbul dilrk; u() =.5 yzrız. f () + Şkil: Bmk fokiyou lir yklşım f () f () ( > ) ( > ) u( ) =, < u( ) =, > u( ) =, > u( ) =, <

3 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ Örk: f () 3 4 () f() = [ u() u( )] + ( + 4)[ u( ) u( 3)] + (8)[ u( 3) u( 4)] f ().5.5 () f() = i( p)[ u() u( )] f () 5 () f() = 4[ u() u( 5)] 9. Drb (Dürü) Fokiyou (Impul Fucio) Bir fokiyod olu bir ürkizlik vr i; f () = d ürkizdir. f () i ürkizlik okıd (şkild = d ürvi ımlmz.) 3

4 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ Dürü fokiyou kbulü, bir ürkizlik okıd ürvi ımlmmız yrdımcı olur. Böylc, bir fokiyou ürkizlik okı ol d Lplc ı ımlbilir. H fokiyou yükk drcd ürvlri d ımlbilir. Bu bpl dürü fokiyou ( d () ) dvr lizid kullışlı bir kvrmdır. Bir ürkizlik ürvi ımlmk içi, öclikl fokiyou ürkizlik okıd lir dğişiği kbul dilir f ().5 ( ) Şkil: il rıdki lir gçişi olduğu durum Şkild durumud i ürkizliği olcğı gözlbilir. Fokiyou il rıd ürvi lıck olur; ouç ( ) dur. ıfır yklşıkç, çıkr. < içi ürv dır. > içi f ' () rıd ouz yklşır. Diğr yd, f ' () i rıd kl lı,, bi klır v bu l birim ldır, dir. Bu birim dürü vy drb fokiyou (ui impul fucio) olrk dldırılır v d () il görilir. gidrk f ' () d( ) olur. Drb cvbı Dic Dl Fucio d dir. Dğişk prmrli bir fokiyou drb ürilmi içi, prmr yklşırk şu 3 özlliği ğlmı grkir.. Glik ouz yklşck. Fokiyo rlığı (durio) yklşck. 3. Dğişk prmrli fokiyou lıd kl l prmr dğişikç bi klck. Örği; f () = d drb ürilbilir. 4

5 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ Mmikl olrk; d() d= ; f () d() d( ) f () d( ) d= f( ) dır. d () =, ¹ Burd f () d ürkli kbul dilir v bu ok drbi yridir. Drb fokiyou Lplc ı: L{()} d = d() d = d() d = L{()} d = Drb fokiyou ürvii Lplc ı: ' L{ d ( )} = ( ) { L ( )} d =. Drcd ürvi Lplc ı. No: Bmk fokiyou ürvi drb fokiyouu vrir. Birim Bmk fokiyou Lplc ı: du() d () = d Lu {()} = f() d= () d [ ( )] + = = = Lu {()} = fokiyou Lplc ı: ( + ) ( + ) { } [ ( )] L = d= d= = = L { } = + + 5

6 Siü fokiyou Lplc ı: L{i w} = (i w) d Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ = jw j jw d = ( jw) ( + jw) j d æ ö w = = j çè jw + jwø + w w L{i w} = + w Fokiyol Döüşümlr f(),( > ) Fokiyo F () d () drb (dürü) u () bmk rmp xpoiyl + i w iü w + w co w koiü + w öümlü rmp ( + ) w i w öümlü iü ( + ) + w + co w öümlü koiü ( + ) + w 6

7 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ Lirlik özlliği: Sbil Çrpım: L{ f( )} = F( ) L{ f( )} = F( ) ( bi) Toplm (Çıkrım): L{ f ( )} = F( ) L{ f ( )} = F ( ) L{ f ( )} = F ( ) 3 3 Böylc; L{ f () + f () f ()} = F() + F () F () 3 3 No: Yukrıd vril bu iki özllik lirlik ğlr. Türv: df () ü Lí ï ï ý = F() f() ïî d İp: df () df () Lï ü é ù í ï ý= d d ïî ëê d ûú u=, df () dv = ( uv vdu d yömii kullck olurk) df () Lï ü í ï ý = f() f()( ) d d ïî F( ) = f ( ) + f( ) d df () ü Lí ï ý ï = F() f() ïî d olrk ld dilir. No: Bu özllik yid zm domid ıml bir difriyl dklm, domid cbrik bir ifdy döüşmüşür. Bud biz ömli bir işlm kolylığı ğlr. 7

8 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ f () fokiyouu ikici drcd ürvi buluck olur i; Öclikl df () g () = olrk ımlır. d G () = F () f() dg() d f () dg() ü d f () ü = Lï L G() g() í ï ý= ï í ï ý= d d ïî d ïî d ï () ü ï df( ) = () () olrk ld dilir. ïî d d d f Lí F f ý Böylc bir f () fokiyou ici drcd ürvi şğıdki gibi gllşirilir. ü Lí ï ï = F f ïî d d d d d f() df( ) 3 d f( ) d f( ) ( ) ()... ý İgrl: L { f( x) dx} İp: = { } F () é ù L f( xdx ) = f( xdx ) d ê ë úû u= f( x) dx du= f( ) d = = dv d v { ( ) } L f x dx = uv vdu L { f( x) dx} = = f ( xdx ) f( d ) + = + F ( ) F () 8

9 Zm domid ölm: Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ Zm domid ölm, frk domid bir kpoiyl il çrpım dk düşr. { } L f( ) u( ) = F( ), > Örk: L{} = {( ) ( )} = L u { } L f( ) u( ) = u( ) f( ) d = x dx= d = f ( ) d = d x = dolyııyl; ( x+ ) L{ f( ) u( ) } = f( x) dx { } x = f( x) dx L f( ) u( ) = F( ) Frk domid ölm: x Frk domid ölm, zm domid bir kpoiyl il çrpımı dk düşr. { } L f() = F( + ) İp: j ( + ) f() d= f() L co w = F( j) = F( + ) = + w Örk: { } { co w} L = ( + ) + w + 9

10 Ölçkldirm (Sclig): æ ö L{ f( ) } = F ç, > çè ø İp: f ( ) x d dx = x dx = d d = = x= dolyııyl; Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ x x dx L{ f ( ) } = f ( x) = f ( x) dx æ ö = F( j) = F ç çè ø f () F () İşlml Döüşümlr f () F() f() + f() f3()... F() + F() F3()... df () F() f () d d f() df ( ) F ()f() d d d f() d F () f()... d f ( xdx ) F() F f( ) u( ), > () f () f() f() f () F ( + ) df() d d F() ( ) d Fudu ( ) f( ) d

11 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ Örk: I dc V () V () =?, ³ (Bşlgıç koşullrı lımkdır.) V () dv () + V( ) d+ C = I u( ) R L d V() V() + + CV [ ( ) V ( )] = Idc ( ) R L Idc C V() æ C ö ç + + = çèr L ø dc V() = No: () I dc + + RC LC V ifdii bulbilmk içi V () L { V ( )} = işlmii ypılmı grkir. 9.3 Tr Lplc Döüşümü Lir, opludvrlrd, zml dğişmz dvrlrd bilimy volj vy kımı domidki ifdid fokiyo hr zm i ryol fokiyoudur. N () F () = = m D ( ) b b+ b b, Î, m, Î m + m m m> düzgü ryol (propr riol) m düzgü olmy ryol (impropr riol) Sdc düzgü ryollr kımi çrplr yrılbilir. Düzgü olmylr, bölmd or düzgülşirilip od or kımı çrplr yrılırlr. ımi Çrplr Ayırm; + 6 ( + 3)( + ), Pydı 4 kökü vrdır v hr biri yrıdır º ( + 3)( + ) ( + 3) ( + ) ( + )

12 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ 6 3 L ï + ü í ï ý = ( ) u() ïî ( + 3)( + ) Burd kyııı hplmıd; i. Rl v yrı köklr (D() i) ii. omplk v yrı köklr (D() i) iii. Rl/komplk krrlı köklr (D() i) bşlıklrı lıd blirlir. i) Rl v yrı köklr (D() i) 96( + 5)( + ) 3 F () = = + + ( + 8)( + 6) Hr iki rfı d il çrprk; 96( + 5)( + ) (96)(5)() ( + 8)( + 6) (8)(6) 3 = + + = = = = = = 96( + 5)( + )( + 8) ( + 8) ( + 8) ( + 8) ( + 8)( + 6) + 8 ( + 6)( + 8) 3 = + + = 8 = 8 =8 =8 (96)(3)(4) = = =7 (8)() 96( + 5)( + )( + 6) ( + 6) ( + 6) ( + 6) ( + 8)( + 6) + 8 ( + 6) 3 = + + = 6 = 6 =6 =6 = 3 = 48 96( + 5)( + ) 48 7 = + + ( + 8)( + 6) = 5 vy = içi ouç çıkr v doğrulm ypılmış olur. ï96( + 5)( + ) ü í ï ý = ( ) ( ) ïî ( + 8)( + 6) 6 8 L u ii) omplk v Ayrı öklr (D() i): ( + 3) F () = ( 6)( 6 5) + + = + j + + j 6 5 ( 3 4)( 3 4)

13 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ ( + 3) = ( + 6)( ) j j4 ( + 3) = = =6 3 ( + 3) ( j4) = = ( + 6)( + 3+ j4) (3+ j4)( j8) = 3+ j4 ( + 3) ( j4) = = ( + 6)( + 3 j4) (3 j4)( j8) =3 j = ( 6)( 6 5) 6 3 j4 3 j4 6 j53.3 (3 j4) j53.3 (3 j4) L ï ü + í ï ( ) u( ) ý = + + ïî( + 6)( ) j53.3 (3j4) j53.3 (3+ j4) 3 j(453.3 ) j(453.3 ) + = ( ( + ) = 3 co( ) 6 3 L ï ü í ï [ co( )] u( ) ý = + ïî ( + 6)( ) iii) Rl/omplk Tkrrlı öklr (D() i): 8( + 3) 3 4 = ( + 5)( + 3) + 5 ( + 3) + 3 8( + 3) = = ( + 5)( + 3) = 8( + 3) = =5 ( + 3) =5 8( + 3) ( + 3) ( + 3) 3 = = ( + 3) =3 ( + 5) + 5 = 3 = 3 =3 = 8 4 içi hr iki rfı ( + 3) il çrp v gör hr iki rfı ürvii l. 3

14 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ é + ù é + ù é + ù ë û ë û ë û d + [ 4( + 3) ] =3 d d 8( 3) d ( 3) d ( 3) d = + + [ 3] 3 d ê = ( + 5) ú d ê ú d ê + 5 ú d = 3 = 3 =3 é ( + 5) ( + 3)(+ 5) ù 8 = ê ë ( + 5) ú û=3 4 = 5 8( + 3) = ( 5)( 3) 5 ( 3) 3 8( 3) L ï + ü í ï ( ) u( ) ý = + ïî ( + 5)( + 3) omplk köklrd d yol yıdır. 4 lı kökü drcid kiğ kdr ürv lırk köklr buluur. ( + b) ( ) ürvl blirlir. Düzgü Olmy Ryol Fokiyolr: ³ m (yi pyı drci dh büyük) F() = Burd py pydy düzgü ryol bir fokiyo ld dil kdr bölüür. F () = ( ) = = ( + 4)( + 5) F () = d d dd f u d d 4 5 ( ) = d ( 5 ) ( ) F() i uuplrı v Sıfırlrı: F() b ( + z )( + z )...( + z ) ( p )( p )...( p ) = m m 4

15 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ z, z,..., z, pyı köklr yi F() i ıfırlrı. Bu dğrlrd F ().,,...,, pydı köklri yi F() i kuuplrı. Bu dğrlrd F. () p p p m Sıfırlrı v kuuplrı düzlmid yrlşirilmi bz uygudur v olu düzlmid çlışılır. Çükü F() ouzd r ici ( r= m ) drc ıfır vy kuuplr hip olbilir. Örk: 4( 5)( ) F () = + + ( + )( + )( + 3)( + 4) Souzd ici drcd ıfırı vrdır, çükü büyük dğrlri içi fokiyo 4 y döüşür v, F= () olur. Bu bpl biz olu ıfır v kuuplrı olduğu durumd düzlmid çlışıyoruz. ( + 5)( + 3 j4)( + 3+ j4) F () = ( + )( + 6 j8)( + 6+ j8) fokiyou ıfırkuup çizimi ( pl); Im 6+ j8 3+ j4 5 R 3 j4 6 j8 İlk (iiil) v So (fil) Dğr Tormlri: İlk v o dğr ormlri biz F d () dvri f () dki ( v d) dvrışı hkkıd bilgi vrir. Yi r Lplc olmd ilk v o dğr ( f () d) F () bkbiliriz. İlk dğr ormi (iiil vlu horm); lim f ( ) = lim F( ) + So dğr ormi (fil vlu horm); lim f ( ) = lim F( ) İlk dğr ormid f () i drb (dürü) fokiyou içrmdiği kbul dilir. 5

16 Dvr Torii Dr Nou Dr. Nuri ACIR v Dr. Egi Cml MENGÜÇ So dğr ormi, F i () kuuplrıı (orijidki ici drcd kuup hriç) düzlmii ol rfıd yr ldığı durumd gçrlidir. İlk Dğr Tormii İpı: df ü df Lí ï ï ý = F() f () = d d ïî d df lim[ F( ) f ( )] = lim d d + æ df df ö lim ç d+ d + çè d d ø df, d, böylc ikici igrl ipl olur. Böylc birici igrl f( + ) f( ) olur ( d bğımız). df lim d f + ( ) f ( ) = d f ( ) d bğımız olduğud; + lim[ f( ) f( )] = lim[ F( ) f( )] lim F( ) = lim f ( ) + + f ( ) So Dğr Tormii İpı: æ df ö df F f d d çè d ø d lim[ ( ) ( )] = lim ç = df d = lim d df dy dy lim[ F( ) f ( )] = lim[ f ( )] f ( ) lim[ F( )] f ( ) = lim[ f ( )] f ( ) lim[ F( )] = lim[ f ( )] So dğr ormi f ( ) vr i gçrlidir. Bu d F () büü kuuplrı (orijidki k kuup hriç) düzlmii ol rfıd i doğrudur. yk J. W. Nilo d S. Ridl, Elcric Circui, Pro Pric Hll. 6