DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ Cilt: 5 Sayı: 3 sh Ekim 2003

Transkript

1 DEÜ MÜENDİSİ FAÜESİ FEN ve MÜENDİSİ DEGİSİ l: 5 Sayı: sh. 698 Em ENSÖİYE DEĞİŞENE UANAA AGANGE, AMİON FOMAİZMEİNİN EEİ DEVEEİNE UYGUANMASI VE FAI DİFEANSİYE DENEM SİSEMEİNİN EDE EDİMESİ: OODİNA SİSEMEİNDEN BAĞIMSIZ YAAŞIM (APPIAION OF AGANGE, AMION FOMAISMS O AN EEIA IUI USING ENSOIA VAIABES AND OBAINING DIFFEEN FOMS OF SYSEM OF DIFFEENIA EQUAIONS: OODINAE FEE APPOA) em vele ÖZE/ABSA Bu çalışmada, enşlelmş Eulerarane dferansyel denlem ullanara elde edlen arane fonsyonu ve hız oranılı (ayleh) ayı fonsyonu D den oluşan modeln, başa br deyşle {,D}modeln, bas ve saf elersel br düzene örneğ üzerne uyulanması ncelenmee ve baz veörler de dahl olma üzere farlı arane ve amlon fonsyonları ve sonuç olara da farlı uzaylarda ayrı haree denlem ssemler elde edlmeedr. he sudy ncludes a research on alcably of he model, conssn of aranan and velocy rooronal (ayleh) dssaon funcon D or shorly {,D}model boh obaned usn exanded Eulerarane dfferenal euaon, on a rval and ure elecrcal crcu examle and as a resul dfferen sysems of dfferenal euaon ncludn base vecors n dfferen saces are obaned usn dfferen forms of aranan and amlonan. ANAA EİMEE/EY WODS ensöryel yalaşım ve araneamlon formalzmler, Devre Analz ensoral aroch, araneamlon formalsms, rcu analyss Douz Eylül Ünverses, Eler ve Eleron Müh. Böl., aynalar Yer., Buca, İZMİ

2 Sayfa No: 7. İVEE. GİİŞ Ana onunun maema uramsal şel Arnol d un abında anlaılmışır (Arnol d, 989). (Masser vd. ve Masser vd. aynalarında arane ve amlon uramlarının elersel ssemlere uyarlanması le ll deaylı çalışma yaılmışır (Masser vd., 974; Masser, 976). Goldsen, arane ve amlon formalzmlernn y br şelde ele alındığı br aynaır (Goldsen, 98). ron, aynağında se, onusunda llerden brs olara devreler uramında ensörler ve dferansyel eomer yalaşım ullanılır (ron, 965). Süße vd. ve Süße, fazla ayrınılı olmamala beraber varyasyon hesabını ensörler le brlde eler mühendslğ çersnde ele alır (Süsse vd., 996; Süsse, 998). wany vd. ve Szaows yayınlarında se bahs eçen formalzmler doğrusal olmayan devrelere uyulanır (wany vd., 98; Szaows, 979). Süsse ve vele, arane ve amlon formalzmlern ensör anal yalaşımla ve baz veörlern de asayara en enel şelyle amamlar (Süsse ve vele, ). Bu çalışmada se, emel avramlar ısa şelde açılanara söz onusu uramın saf elersel düzenelere amamen uyulanablrlğ, ısaca farlı br uzayda çözümü bas br örne üzernde açılanmışır. Yan devreler uramı yalaşımının, oordna seçmnden amamen bağımsız değşenler ullanara nasıl yaılableceğn öserr!. SİSEM ANIMAI ullandığımız büyülülermz enel anlamda ve ısaca şöyle anımlıyablrz: : arane fonsyonu; D: hız oranılı (ayleh) ayı fonsyonu; : amlon fonsyonu; : nnc enelleşrlmş oordna (üs nds ensöryel onravaran form anlamında); : nnc enelleşrlmş hız (üs nds ensöryel onravaran form anlamında); F : nnc enelleşrlmş dış uvve, F onravaran şelde de yazılablr; : nnc enelleşrlmş momenum (al nds ensöryel ovaran form anlamında); [ ] : mer ensör, mars şelnde; : oranı değşmez Yalaşımımızın ana çıış denlem, aşağıda enşlelmş Eulerarane dferansyel denlem olu hız oranılı ayı fonsyonu ve dış uvveler de çermeedr. d D d D F veya, f () d d İnc formül, dış uvveler de hız oranılı (ayleh) ayı fonsyonu D çnde neaf ayı olara çerr. Mer ensörün elemanları se () denlem aracılığıyla elde edlr. Genelleşrlmş oordna ve momenumların farlı şellere dönüsürülmes δ δ ; δ δ δ δ ; δ δ () denlemler yardımıyla yaılablr. δ br ovaran, br onravaran bleşenlerden oluşan nc dereceden br arışı ensördür.

3 Fen ve Mühendsl Ders l : 5 Sayı : Sayfa No: 7 Bzm örneğmzde öncelle, enelleşrlmş oordnaları (değşenler) bzm durumumuz çn (elersel büyülüler olara) aşağıda şelde anımlıyoruz. enelleşrlmş oordna yü enelleşrlmş hız aım enelleşrlmş momenum manye aı Ψ enelleşrlmş (dış) uvve F erlm (aynağı) u ( ) rchoff un aım yasasından dolayı, söz onusu durum çn serbesl dereces f, yan (4) Burada bağ oşulu holonomdr, çünü veya d d d (5) ve de ayrıca nere edleblr. cons. (6). AGANGE FONSİYONU VE IZ OANII (AYEIG) AYIP FONSİYONU: {,D}MODEİ Devremzde her elemanımız çn arane ve hızla oranılı (ayleh) ayı fonsyonu blndğnden, araneayı fonsyonu veya ısaca {,D} modelmz şu şeldedr. ( ) ( ) {,D} (7) D ( ) ( ) u() Genelleşrlmş dış uvveler neaf ayı olara düşünüleblndğnden, hızla oranılı (ayleh) ayı fonsyonu D dış uvveler de asamaadır! Poensyal fonsyonu olara düşünülmes durumunda se arane fonsyonu çnde öserleblrler. arane fonsyonu, aşağıda örülebleceğ üzere uadra form şelndedr. ( ) ( ) ( ),,, (, ) V(, ) ( ) (, ) ( ) V(, ) başa br deyşle uadra formun farıdır. (8)

4 Sayfa No: 7. İVEE. GENEEŞİİMİŞ MOMENUMAIN VE MEİ ENSÖÜN EDE EDİMESİ Örneğmz çn enelleşrlmş momenumlar se ( ) (9) şelnde olu brmler de Vs dr. Durumumuz çn mer ensörümüz aşağıda b elde edlr [ ] () Bu durum çn normlaşırma sabnn brm [] enry olmaadır. Mer ensörümüzün ers se şöyledr. () Deermnanın değer ;, veya, veya, () şelndedr.. BAZ VEÖEİNİN BUUNMASI Mer ensörümüzün ovaran baz (emel) veörler aşağıda emel bağını üzernden hesalanır..,,,f () (veya mer ensör nn elemanları veörler hesalanablr). Sağlanması ereen oşular se ( ) x y x x y y ( ) x y blnyorsa, bağınısı ullanılara da baz (4) Mer ensörümüzün elemanlarını ullanara ( x ) ( y ) x x y y ( x ) ( y ) (5)

5 Fen ve Mühendsl Ders l : 5 Sayı : Sayfa No: 7 4 değşen elde ederz. boyulu uzayda üç oşulun sağlanması erer, bu da aramerelerden br anesn serbes olara seçebleceğmz anlamına elr. Bz de seçmmz, örne olara, y alara yaar ve y x x ; (6) elde ederz. Bu da demer baz veörlermz ; (7) Aşağıda bağınıyı ullanara,f,, (8) onravaran baz veörlern aşağıda yaıldığı üzere bulablrz (veya ıı yuarıda yaığımız b, bağınısı üzernden de onravaran baz veörler hesalanablr). (9) Sonuçların ayrıca şu şelde sağlaması yaılablr ( veörün devrğ olma üzere) () Bu şelde ensör Analz yasaları le örneğmzn sonuçlarının uyuşuğunu saarız. esalanan mer asayılar nc dereceden br mer ensörün oordnaları (elemanları)dır. Çzele ovaran ve onravaran büyülülern nasıl brbrne dönüşürüleceğn ösermeedr.

6 Sayfa No: 74. İVEE 4. AMİON FONSİYONUNUN EDE EDİMESİ eendredönüşümü oşulu de de () bu durum çn sağlanmış olu aşağıda şeldedr., veya veya,, ; () amlon fonsyonunu eendredönüşümü ullanara şu şelde elde ederz. () () , V,, V,, () Bu fade de uadra şelde olu arane fonsyonu b enelleşrlmş hız ve onumun fonsyonudur. Çzele y ullanara amlon fonsyonunun enelleşrlmş momenum ve hıza bağımlı şeln aşağıda şelde elde ederz.

7 Fen ve Mühendsl Ders l : 5 Sayı : Sayfa No: 75, (4) Bu fade de, örüldüğü b uadra şeldedr. 5. AEE DENEMEİNİN EDE EDİMESİ aree denlemlernn br şel şu şeldedr. () D u D (5) Yuarıda denlem ssem aım ve erlmler fade eğnden devre anal yalaşımla bulunablece olan şel le brebr aynıdır! arane ve amlon fonsyonlarının dğer şeller se aşağıda bdr.

8 Sayfa No: 76. İVEE,,,,,, (6) ız oranılı (ayleh) ayı fonsyonu D nn dğer şel se

9 Fen ve Mühendsl Ders l : 5 Sayı : Sayfa No: 77 () u, D (7) Büün bu fadelerden sonra arı haree denlemlernn dğer şeln se şu şelde vereblrz. () () Δ u D Δ u D (8) Yuarıda, nc denlem ssem amlon fonsyonunun şel ullanılara elde edlmşr. Eşl 5 mer ensörü ullanara da Eşl 8 e dönüşürme olanalıdır. Eşl 8 farlı br uzayda çözüm olu ölçüleblen sonuçlarla örüşmez! 6. SONUÇA Bu araşırmanın neden söz onusu uramın elersel ssemlere amamen uyulanablrlğnn öserlmesdr. Anca han ür ssem çn han denlem ssemnn daha y olableceğ henüz blnmemeedr. Ayrıca, özel bazı durumlarda doğrusal olmamanın doğrusallığa dönüşü dönüşemeyeceğ de açı ve ne değldr. Bu nedenle de onu üzerne daha fazla araşırma yaılması eremeedr. EŞEÜ Brle çalışma fırsaını bulduğum Prv.Doz.Dr.In. oland Süsse ye (Ilmenau en Ünverses, Eleroen Faüleseor Eleroen ABD, Ilmenau/Almanya) ço eşeür ederm. Ayrıca Prof.Dr.Doğan Demrhan a ( Ee Ünverses, Fen FaülesFz Bölümü eor ve Maemasel Fz ABD) bu çalışmayı ouması ve önerler çn eşeürü br borç blrm.

10 Sayfa No: 78. İVEE AYNAA Arnol d V.I. (989): Mahemacal Mehods of lasscal Mechancs, nd Ed. orr. rd, Prnn, SrnerVerla, Berln edelber New Yor. Masser P., Seenberer J. (974): Zuan Zur heore Eleromechanscher Syseme Mels lassscher Mechan, Wss. Zeschrf der echnschen ochschule Ilmenau, el, 6. Masser P., Seenberer J. (976): Zuan Zur heore Eleromechanscher Syseme Mels lassscher Mechan, Wss. Zeschrf der echnschen ochschule Ilmenau, el,, Goldsen. (98): lasscal Mechancs, AddsonWesley Pub. om. eadn, Massachuses. ron G. (965): ensor Analyss of Newors, Macdonald, ondon. Süsse., Sröhla. (996): alculaon of near Elecrcal Newors wh Merc oeffcens and ovaran Imulses, Journal of Elecrcal Enneern, vol. 47, No. 5, VEDA, Braslava. Süsse. (998): Some Asecs on he heory of he Elecrcal Enneern on he Bass of he Varaonal and ensoralculus. 4, Inernaonal wssenschaflches olloum der echnschen Unversä Ilmenau, Band, Ilmenau, s wany.g., Massmo F.M., Bahar.Y. (98): he Generalzed arane Formulaon for Nonlnear Newors, IEEE AS9,. Szaows A. (979): emar on Exlc oolocal Formulaon of aranan and amlonan Euaons for Nonlnear Newors, IEEE AS6, 586. Suesse., vele. (): Analyss of Enneern Sysems by Means of arane and amlon Formalsms Deendn on onravaran, ovaran ensoral Varables, Forschun m IneneurwesenEnneern esearch 67.

11 Fen ve Mühendsl Ders l : 5 Sayı : Sayfa No: 79 Çzele. Genelleşrlmş ovaran, onravaran momenum ve oordnaların dönüşümler Şel. Doğrusal mer ensörü olan br devre ve onun çzes