%ki Boyutlu Giyotinsiz Kesme Problemlerinin Benzetilmi, Tavlama Algoritmas ile Çözümlerinin %ncelenmesi

Transkript

1 Politeknik Dergisi Journal of Polytechnic Cilt: 8 Say: s , 25 Vol: 8 No: pp , 25 %ki Boyutlu Giyotinsiz Kesme Problemlerinin Benzetilmi, Tavlama Algoritmas ile Çözümlerinin %ncelenmesi Alev SÖKE*, Zafer B%NGÜL** *Kocaeli Üniversitesi, Teknik E9itim Fakültesi, Elektronik-Bilgisayar E9itimi Bölümü, Umuttepe Kampüsü, 438 %zmit KOCAEL% **Kocaeli Üniversitesi, Mühendislik Fakültesi, Mekatronik Mühendisli9i Veziro9lu Kampusü, 43 %zmit KOCAEL% ÖZET Bu çal,mada, benzetilmi, tavlama (BT) algoritmas ve geli,tirilmi, a,a9 sol (AS) algoritmasnn ortak kullanmyla iki boyutlu giyotinsiz kesme problemlerinin çözümü için melez bir yakla,m geli,tirilmi,tir. 7 adet birbirinden farkl dikdörtgen parçadan olu,an be, ayr test problemi ve 29 adet birbirinden farkl dikdörtgen parçadan olu,an bir test problemi üzerinde çal,lm,tr. Bu test problemlerinde, 2x2 birimlik alan ile snrlandrlm, bir büyük parça üzerinde sfr fire de9erini verecek,ekilde parçalarn yerle,tirilmesi istenmektedir. Bu çal,mada BT algoritmasnda kullanlan farkl parametrelerin, kesme problemlerinin çözümleri üzerindeki etkileri incelenmi,tir. Elde edilen en iyi sonuca ait parametre grubu: Lundy ve Mees so9utma çizelgesi, yer de9i,tirme kom,uluk hareketi ve iç döngü says:3 olarak bulunmu,tur. Ayrca 7 ve 29 parçal test problemleri için elde edilen çözümlerin fire de9erlerinin srasyla %4 - %2 ve % - %7 arasnda de9i,ti9i görülmü,tür. Anahtar kelimeler: Benzetilmi, tavlama algoritmas, Geli,tirilmi, a,a9 sol algoritmas, Kesme problemleri. A Study of Simulated Annealing Algorithm for Solutions of Two Dimensional Non-Guillotine Cutting Problems ABSTRACT In this study, a hybrid approach using both simulated annealing (SA) algorithm and improved bottom left (BL) algorithm for solution of the two dimensional non-guillotine cutting problems were developed. Five different test problems consisting of 7 individual rectangular pieces and a test problem consisting of 29 individual rectangular pieces were studied. In test problems, it is desired to place the pieces on a main piece limited with 2x2 unit field which has zero trim loss value. In this work, the influences of different parameters using in SA algorithm on solutions of cutting problems were investigated. Parameter group obtained from best result (Lundy and Mees cooling schedule, swap neighborhood move and number of inner loop:3) was found. Also trim loss values obtained from results of 7 and 29 pieces test problems were seen to change between 4% - 2% and % - 7% respectively. Keywords: Simulated annealing algorithm, Improved bottom left algorithm, Cutting problems.. GR Pek çok de9i,ik endüstride farkl ko,ullar ve amaçlarla kar,mza çkan kesme problemlerinin her biri birer eniyileme problemidir. Bu problemlerin çözümü için belirli bir matematiksel model gösterilemedi9inden, çözümü bulmak için çok boyutlu uzayda kombinasyonel eniyileme yaplr. Kesme problemlerinin zorlu9u, büyük parça üzerine yerle,tirilecek parçalarn geometrisine ve problemin do9asndan gelen kstlamalarna (çok farkl çözümlerin varl9na) ba9ldr. Problemlerin çözüm yakla,mlar çe,itli saydaki bu kstlamalara ba9l olarak geli,tirilir (). Kesme problemlerinin çözümü, büyük parça üzerinde düzgün biçimli veya düzgün biçimli olmayan çok sayda küçük parçann en elveri,li yerle,im plannn bulunmasn gerektirir. A9aç, cam, ka9t ve metal endüstrilerinde düzgün biçimli parçalarn kesilmesiyle ilgilenilirken, gemi, tekstil, deri ve metal endüstrilerinde düzgün biçimli olmayan ba,ka bir deyi,le bilinen geometrik,ekiller içermeyen parçalarn kesilmesi veya paketlenmesiyle ilgilenilir. Kesme problemlerinde eniyilemenin amac, yerle,tirmenin yaplaca9 büyük parçann kullanlabilirli9ini arttrmak ve böylelikle kullanlmayan alan ba,ka bir deyi,le fire miktar en az olan yerle,im plann bulmaktr (2). Yerleim plan, küçük parçalarn büyük parça içindeki yerle,imini gösterir ve küçük parçalarn yerle,im srasn temsil eden permütasyonlar ile temsil edilir. Yerle,im plannda kullanlmayan alan veya yerle,im srasnda olup da yerle- 25

2 Alev SÖKE, Zafer B%NGÜL / POL%TEKN%K DERG%S%, C%LT 8, SAYI, 25,im plan içinde yer alamayan parçalar fire olarak isimlendirilir. Büyük parçann alan, yerle,tirilecek parçalarn toplam alanna e,it olabilece9i gibi snrsz da kabul edilebilir. Kesme problemlerinde kesme i,lemi büyük parça üzerinde bir uçtan di9er uca kadar yaplamad- 9nda giyotinsiz kesme adn alr (3). Giyotinsiz kesme problemleri, parçalarn yerle,imi için bir takm kstlamalarla snrlandrlmazlar. Herhangi bir parça, yerle,im plannda çak,maya imkan vermeyen, mümkün olan her konuma yerle,tirilebilir. Kesme problemleri, -küçük bir çal,ma uzay içinde olmas durumu hariç- bu problemlere en iyi çözümün üretilmesinin imkansz oldu9u NP-tam problemler olarak bilinir. Arama uzaynn büyüklü9ü nedeniyle kesme problemlerinin çözümü için yönlendirilmemi, bir arama yapmak oldukça verimsiz oldu9undan, probleme ait en iyi çözümün bulunabilmesi için büyük arama uzay içinde düzenli bir arama yaplmas gerekir (4). Bu sebeple ara,trmalar, en iyi çözüme yakn iyi çözümleri verimli bir,ekilde bulan olaslksal yakla,m teknikleri üzerinde yo9unla,maktadr. Kesme problemleri için uygulanabilir bu tekniklerden bazlar benzetilmi, tavlama (BT) algoritmas, genetik algoritmalar (GA), saf evrim (SE), tabu arama (TA) ve karnca algoritmalardr (KA). Bu çal,mada ele alnan kesme problemlerinin çözümü için BT algoritmas kullanlm,tr. BT algoritmas, fiziksel tavlama kavramnn ilk olarak kombinasyonel eniyileme problemlerinde kullanld9 98 li yllarda, bir eniyileme arac olarak sunulmu,tur. Pek çok yerel en küçük de9ere sahip do9rusal olmayan fonksiyonlarn en iyi de9erlerinin bulunmas için tasarlanm,tr. Bu algoritma, elektronik devre tasarm, görüntü i,leme, yol bulma problemleri, seyahat problemleri, kesme ve paketleme problemleri, ak, ve i, çizelgeleme problemleri için ba,arl sonuçlar vermi,tir (5, 6, 7). BT algoritmas, dikdörtgen parçalar içeren iki boyutlu kesme ve paketleme problemlerinin çözümü için çok az sayda ara,trmac tarafndan kullanlm,tr. Kämpke, BT algoritmasn kullanarak paketleme problemleri üzerine çal,an ilk ara,trmaclardan biridir (8). BT algoritmasn farkl so9utma çizelgelerinin kullanmyla bir boyutlu kutu paketleme problemlerine uygulam,tr. Dowsland, BT algoritmasn kullanarak e, ve e, olmayan kutular içeren yükleme problemleri üzerinde çal,m,tr (9). Dowsland çal,masnda herhangi bir yerle,tirme algoritmas kullanmam,tr. Faina, giyotinli ve giyotinsiz kesme problemleri için iki ayr yerle,tirme algoritmas kullanarak melez bir BT algoritmas geli,- tirmi,tir (). Giyotinsiz kesme problemleri için kulland9 yerle,tirme algoritmas, giyotinli kesme problemleri için kulland9 algoritmadan daha iyi sonuçlar vermi,tir. Leung permütasyona dayal bir BT algoritmasyla iki boyutlu dikdörtgen biçimindeki parçalarn giyotinsiz kesim gerektiren yerle,imleri üzerine çal,m,tr (3). Çal,masnda kendisinin geli,tirdi9i fark yöntemi (FY) algoritmasyla birlikte geli,tirilmi, a,a9 sol (AS) algoritmasn da kullanm,tr. FY algoritmas, her parçann yerle,tirilmesinden önce büyük parça üzerindeki bo, alanlar saptayan ve yerle,tirme yaparken öncelikle bu alanlar kullanan bir a,a9 sol algoritmasdr. FY algoritmas di9er yerle,tirme algoritmalarna göre daha yo- 9un yerle,im planlar üretmektedir. Ancak büyük parça üzerindeki bo, alanlarn hesaplanmas, güncellenmesi ve kontrolü di9erlerine göre daha fazla zaman gerektirmektedir. Leung çal,masnda sekiz farkl test problemi kullanm,tr. Parça saylar ile 3 arasnda de9i,en bu test problemleri birbirleriyle e, ve e, olmayan parçalar içermektedir. Bu test problemlerinin en iyi çözümü sfr fire de9eri vermektedir. Leung, benzer ikinci bir çal,- masnda da iki boyutlu kesme problemlerinin çözümü üzerinde GA ve BT algoritmas yakla,mlarn kar,la,- trm,tr (). Yerle,tirme algoritmas olarak FY algoritmasn kullanm,tr. Bu çal,mada BT algoritmas yeni nesil için GA i,lemcileri tarafndan üretilen çocuklarn m yoksa ailelerinin mi seçilece9ine karar vermektedir. Bu çal,mada, Bölüm 2 de BT algoritmas ve parametrelerinden, Bölüm 3 te yerle,im planlarnn olu,turulmas için kullanlan geli,tirilmi, AS algoritmasndan söz edilmektedir. Bölüm 4 te bu çal,madaki kesme problemlerinin çözümü için nasl bir çözüm yakla,m uyguland9 anlatlmaktadr. Çal,mada kullanlan 7 ve 29 parçal test problemlerinin BT algoritmasnn farkl parametreleri için elde edilen sonuçlar ve yaplan de- 9erlendirmeler Bölüm 5 te verilmi,tir. Son olarak Bölüm 6 da da çal,maya dair sonuçlar tart,lm,tr. 2. BENZETLM TAVLAMA ALGORTMASI BT algoritmas, Kirkpatrick tarafndan eniyileme problemlerinin çözümü için geli,tirilmi, bir yerel arama algoritmasdr. Kat bir maddenin enerji durumunu en aza indiren fiziksel sistemlerdeki tavlama süreci ile kombinasyonel eniyileme problemlerindeki çözüm süreci arasndaki benzerlik üzerine kurulmu,tur (6). 2.. Metallerde Tavlama Tavlama terimi, bir metalin belirli bir süre için scakl9nn arttrlp, kristalle,inceye kadar yava, yava, so9utuldu9u sl bir i,lemi anlatr. Tavlama sonucunda meydana gelen kristalle,me, metalin mekanik özelliklerini iyile,tiren moleküler yap de9i,iklikleriyle meydana gelir. Bu de9i,iklikler metale ait metal parçacklarnn azalan yeni enerji durumuna göre kendilerini yeniden düzenlemeleridir. Metallerde tavlamann amac; stresi azaltmak, yumu,akl9, dayankll9 ve esnekli9i arttrmak ve belirli bir mikro yapy olu,turmaktr. Tavlama i,lemi iki a,amada gerçekle,mektedir; birinci a,ama istenen scakl9a kadar stma, ikinci a,ama belirli bir scaklkta tutma ve so9utmadr (2). Tavlama i,leminin ilk a,amas olan stma i,leminde metal istenen scakl9a kadar stlr. Metal parçacklar yüksek scaklklarda oldukça yüksek enerjiye ve serbestli9e sahiptir. Scakl9n yava, yava, dü,ürülmesiyle gerçekle,tirilen so9utma i,lemi srasnda parçacklarn 26

3 %K% BOYUTLU G%YOT%NS%Z KESME PROBLEMLER%N%N BENZET%LM%R TAVLAMA / POL%TEKN%K DERG%S%, C%LT 8, SAYI, 25 enerjileri azalr. Her yeni enerji duruma uygun olarak yeni bir dengeye girmek üzere kendilerini tekrar düzenlerler. So9utma i,lemi genellikle oda scakl9na kadar olur. Bu i,lemlerde zaman önemli bir parametredir. So- 9utma çok hzl olursa kristal yap içerisinde düzensizlikler ve bozulmalar görülür. Metal parçacklar, enerjinin en dü,ük oldu9u duruma ula,amaz ve enerjinin en yüksek oldu9u kristalimsi durumda so9utma i,lemi sona erer (6). Bu da metalde,ekil bozuklu9una hatta çatlamalara neden olur. Gerçek tavlama süresi, gerekli de9i-,im hareketleri için yeteri derecede uzun olmaldr. Mükemmel bir kristal yapnn elde edilmesi ancak bu süre içinde metalin yava, so9utulmas ile gerçekle,tirilir. Ayrca tavlama scakl9 da bu süreçte önemli bir konudur. Scaklk arttrlarak tavlama i,lemi hzlandrlabilir Benzetilmi* Tavlama Algoritmas, BT algoritmas eniyileme problemlerinin çözümü için son zamanlarda oldukça sk ba,vurulan bir yerel arama algoritmasdr. Fiziksel sistemlerde gerçekle,tirilen tavlama i,leminin, kombinasyonel eniyileme problemleri için model olarak kullanlmasyla ortaya çkm,- tr. BT algoritmas, pek çok de9i,kene sahip fonksiyonlarn en büyük veya en küçük de9erlerinin bulunmas ve özellikle pek çok yerel en küçük de9ere sahip do9rusal olmayan fonksiyonlarn en küçük de9erlerinin bulunmas için tasarlanm,tr (5). BT algoritmas ile bir eniyileme probleminin çözümünü gösteren ak, diyagram (3) Rekil de verilmi,tir. Rekil. BT algoritmasnn ak, diyagram. Arama süreci ilk olarak, fiziksel sistemlerde herhangi bir duruma kar,lk gelen, rasgele seçilmi, bir ba,langç çözümüyle ba,lar. Daha sonra, önceden belirlenmi, bir kom,uluk hareketi kullanlarak varolan çözüme yakn olas yeni bir çözüm üretilir. %ki çözümün maliyetleri arasndaki de9i,im miktar (C) Denklem de ifade edilen e,itlik yardmyla hesaplanr. E,itlikteki C i i.ötelemedeki çözümü (yeni elde edilen çözümü), C i- i-. ötelemedeki çözümü (varolan çözümü) temsil etmektedir. C = C i C i () Genel bir yerel arama süreci için maliyette bir azalma gerçekle,mi,se, yani hesaplanan C de9eri sfrdan küçükse yeni çözüm varolan çözümle de9i,tirilir. Aksi durumda, yeni çözüm Denklem 2 de ifade edilen e,itsizli9e göre belirli bir olaslkla kabul edilir. Denklem 2 de ifade edilen e,itsizli9in sa9lanmad9 durumda yeni bir çözüm üretmek üzere ikinci adma dönülür. ( C / T) R exp > (2) Denklem 2 de gösterilen R (,) arasnda üretilmi, düzgün da9lml rasgele bir say ve T scaklk olarak bilinen kontrol parametresidir. Yeni çözümün varolan çözüm olarak kabul edildi9i bu admdan sonra algoritmann iç döngü ko,ulu için verilen sayya ula,lp ula,lmad9 kontrol edilir. %ç döngü ko,ulu her scaklkta kaç kez olas yeni çözüm üretilece9ine karar verir. E9er iç döngü ko,ulu sa9lanyorsa, scaklk önceden belirlenmi, so9utma çizelgesine göre belirli bir güncelleme kural ile güncellenerek azaltlr. Aksi halde ikinci adma gidilerek yeni bir çözüm üretilir ve bu adma kadar olan i,lemler tekrarlanr. Bu admdan sonra d, döngü ko,ulunun sa9lanp sa9lanmad9 kontrol edilir. D, döngü ko,ulu, algoritmann sonlandrma kriteridir. E9er d, döngü ko,ulu sa9lanyorsa, en iyi çözüm yerel en küçük maliyet miktarna sahip varolan çözümdür ve algoritma bu çözümle sonlandrlr. Aksi halde, algoritma ikinci adma dönerek bu adma kadar olan i,lemleri tekrarlar. Ba,langçta T yüksek bir scaklktr. Scakl9n yüksek olmasndan dolay yeni çözümlerin kabul edilme olasl9 oldukça yüksektir. Ayrca ba,langçta scakl9n yüksek olmas arama uzaynda büyük admlar atlmasna ve arama uzaynn ke,fedilmesine imkan verir (4). C de9erinin artan de9erleri de arama uzaynda farkl bölgelerde arama yapld9n göstermektedir. T ve C azalmaya ba,ladkça yeni çözümlerin kabul edilme olasl9 azalmakta ve böylece sistem daha kararl hale gelmektedir Benzetilmi* Tavlama Algoritmas, Parametreleri BT algoritmas bir probleme uygulanmadan önce a,a9da sralanan parametrelerden hangilerinin kullanlaca9nn belirlenmesi gerekmektedir (5, 6): 27

4 Alev SÖKE, Zafer B%NGÜL / POL%TEKN%K DERG%S%, C%LT 8, SAYI, 25 Çözüm gösterimi, Maliyet fonksiyonunun belirlenmesi, Yakn çözümleri üreten mekanizmann tanmlanmas (kom,uluk hareketi), So9utma çizelgesinin seçimi, D, döngü ve iç döngü ko,ulunun belirlenmesi. Çözüm gösterimi, problemden probleme de9i,iklik göstermektedir. Gösterim yöntemi BT algoritmasnn performansn etkileyen önemli etkenlerden biridir. Çözümlerin gösterimine ait iki genel gösterim,ekli vardr (5). Birincisi ikili saylarn kullanld9 ikili dizilerden olu,an gösterimdir. %kinci gösterim,ekli ise tamsay veya gerçel saylarn olu,turdu9u dizilerdir. Maliyet fonksiyonu, BT algoritmas ve çözümü aranan eniyileme problemi arasndaki tek ba9dr ve bir ara yüz gibi i,lem yapar (5). Olas çözümü bir giri, olarak alr ve çözüme ne kadar uygun oldu9unun ölçüsünü gösteren bir say üretir. Uygunlu9u gösteren bu saynn aral9 problemden probleme de9i,mektedir. Bu çal,- mada kullanlan maliyet fonksiyonu Denklem 3 de ifade edildi9i gibidir. Fire = (Büyük parçann alan - Kullanlan alan) / Büyük parçann alan (3) Büyük parçann alan toplam alandr. Kullanlan alan ise büyük parça üzerinde yerle,tirilen küçük parçalarn alanlarnn toplamdr. Elde edilen fire de9eri büyük parçann kaçta kaçnn kullanld9n göstermektedir. Komuluk hareketi, BT algoritmas içinde kullanlan önemli bir parametredir ve o anki çözüme en yakn olas yeni çözümün üretilmesi için kullanlr. Önceden kararla,trlm, iç döngü ko,ulu sa9lanncaya kadar kom,uluk hareketi yaplr ve yeni çözümler üretilir. Yaplan her kom,uluk hareketi sonunda arama uzaynda olas yeni bir çözüm elde edilir. Bu çal,mada iki farkl kom,uluk hareketi üzerinde durulmu,tur (3): Yer de9i,tirme kom,uluk hareketi; dizide yer de- 9i,tirmesi istenen rasgele iki elemann seçilip bunlarn yer de9i,tirmeleriyle yaplr. Böylece yeni dizi elde edilmi, olur. Örne9in, (, 2, 3, 4) elemanlarna sahip dizide rasgele olarak seçilmi,. ve 4. elemann yer de9i,- tirmesi yapld9nda (4, 2, 3, ) elemanlarna sahip yeni bir dizi elde edilir. Kaydrma kom,uluk hareketi; diziden rasgele bir elemann seçilip bu elemann yine rasgele seçilmi, bir elemann önüne koyulmasyla yaplr. Böylelikle yeni dizi elde edilir. Örne9in, (, 2, 3, 4) elemanlarna sahip dizide rasgele seçilmi, 4. eleman rasgele seçilmi, 2.elemann önüne koyularak (, 4, 2, 3) elemanlarna sahip yeni dizi elde edilir. So#utma çizelgesi, BT algoritmasnn performansn önemli derecede etkileyen parametrelerden biridir. Bu parametre algoritmann her iterasyonunda scaklk de9erini günceller. So9utma i,leminde kullanlan ba,- langç scakl9, son scaklk ve iterasyon saysnn do9ru seçimi çözüme yaknsama açsndan büyük bir önem ta-,maktadr. Bu çal,mada, iki farkl so9utma çizelgesi üzerinde durulmu,tur (3, 7): Orantsal azalml so9utma çizelgesinde, k. ve k+. iterasyonlardaki T k ve T k+ scaklklar, aralarnda belirli bir ' katsaysyla ili,kilendirilmi,tir. Her bir k iterasyonunda T k+ scakl9, Denklem 4 de ifade edilen e,itlikle yeniden hesaplanarak güncellenmektedir. T =. T k+ k (4) ' katsays, iterasyon says ile ba,langç scakl9 ve son scakl9a ba9l olarak Denklem 5 te ifade edilen e,itlikte hesaplanan de9erlerle her admda azaltlmaktadr. T = M s (5) Tb Denklem 5 de T s son scakl9, T b ba,langç scakl9n ve M iterasyon saysn göstermektedir. ' katsays (, ) arasnda de9i,mektedir. Lundy ve Mees so9utma çizelgesinde; k. ve k+. iterasyonlarda T k ve T k+ scaklklar bir ) katsaysyla ili,kilendirilmi,tir. Her iterasyonda scaklk, o iterasyon için hesaplanan ) nn kullanmyla bir önceki scakl9a göre azaltlr. Scakl9 güncellemek için Denklem 6 da ifade edilen e,itlik kullanlmaktadr. T T k k+ = (6) ( +.T k ) ) katsays, iterasyon says ile ba,langç scakl9 ve son scakl9a ba9l olarak Denklem 7 de ifade edilen e,itlikle hesaplanmaktadr. T T b s = (7) M.Tb.Ts Bu e,itlikte, T s son scakl9, T b ba,langç scakl- 9n ve M iterasyon saysn göstermektedir. ) katsays, dan büyük bir de9erdir. BT algoritmas arama süreci boyunca iki ana döngü kullanr (3, 6): Birincisi her scaklk de9erinde kaç kez yeni olas çözüm üretilece9ini belirleyen iç döngüdür. %kinci döngü ise algoritmann ne zaman sonlandrlaca9n belirleyen d, döngüdür. %ç döngü ko-,ulu sa9land9nda scaklk güncellenir ve d, döngü ko-,ulu yeniden kontrol edilir. Benzetilmi, tavlama algoritmas uygulanrken iç döngü ko,ulunun sa9lanp sa9lanmad9n kontrol edebilmek için a,a9da sralanan kriterlerden biri kullanlabilir: Olas yeni çözüm üretme says. 28

5 %K% BOYUTLU G%YOT%NS%Z KESME PROBLEMLER%N%N BENZET%LM%R TAVLAMA / POL%TEKN%K DERG%S%, C%LT 8, SAYI, 25 Olas yeni çözümler üretirken maliyet fonksiyonunda iyile,me olmamas hali. Yeteri kadar yeni çözüm üretiminin gerçekle,tirilmesi. Bütün bir arama sürecini sonlandrmak için üç tür sonlandrma kriteri kullanlabilir. Bunlar; iterasyon says, maliyet miktarlar arasndaki de9i,im miktar ve sistemin son scakl9dr. Bu kriterlerin, hesaplama sürelerine ve çözüm kalitelerine baklarak içlerinden çal,ma için en uygun olan seçilebilir. 3. GEL TRLM A AI SOL ALGORTMASI Geli,tirilmi, AS algoritmas, yerle,tirme problemlerinde küçük parçalar büyük parça içerisine yerle,- tirmek için kullanlan ve kaydrma tekni9i üzerine kurulmu, bir algoritmadr (7). Geli,tirilmi, AS sol algoritmasnn i,leyi,i a,a9daki admlar izler: Adm : r V() parças büyük parçann en sol alt kö,esine yerle,tirilir. Adm i:verilen permütasyon srasyla yerle,tirilecek küçük parça büyük parçann sa9 üst kö,esine yerle,tirilir. Parça öncelikle mümkün oldu9unca a,a9ya do9ru, sonra da altnda kalan parçann üst kenarlar boyunca sola do9ru bir kö,eyle kar,la,ncaya kadar hareket ettirilir. Bir kö,eyle kar,la,ld9nda parça yine a,a- 9ya do9ru hareket ettirilir. Daha sonra mümkünse parça yine sola do9ru hareket ettirilir. Bu i,lemler yerle,tirilecek parça için a,a9ya hareket öncelikli olmak üzere a,a9ya ve sola do9ru bir parça yada kenarla kar,la,ncaya kadar devam ettirilir. Parça sabit konumuna, çak,ma olmakszn a,a- 9ya ve sola do9ru hareketi artk gerçekle,tiremez konuma geldi9inde ula,r. Parçann tamamnn büyük parça içine yerle,tirilemedi9i durumlarda, parça çkartlr ba,ka bir deyi,le yerle,tirilemez (3). Rekil 2 de geli,- tirilmi, AS algoritmasnn parça yerle,tirilirken nasl çal,t9 bir örnek üzerinde gösterilmi,tir. Oklar en iyi yerle,im için r 3 parçasnn hareket yönünü göstermektedir. Yerle,im plan a,a9daki gibi bir V permütasyonuyla gösterilebilir. V = (i,., i n ) Permütasyon i: dikdörtgen parça sras (r i ) r 4 Çal,mas anlatlan geli,tirilmi, AS algoritmasnn ve AS algoritmasnn çal,ma karakteristikleri birbirinden farkldr. AS algoritmasnda herhangi bir ko,ul olmadan parçalar büyük parça üzerinde a,a9 ve sol hareketleriyle kaydrlr. Ancak geli,tirilmi, AS algoritmasnda parçalar için a,a9 hareket her zaman önceliklidir (7). 4. ÇÖZÜM YAKLA IMI Kesme problemlerinin çözümü için yerle,im planlar olu,turulurken iki farkl yakla,m söz konusudur (8). Birincisi parçalarn yerle,tirme koordinatlar üzerine kurulmu, olan do9al gösterim, ikincisi parçalarn yerle,im srasna kar,lk gelen permütasyona dayal gösterimdir. Yerle,im plannn do9al gösterimi, büyük parça üzerinde her bir parçann yerle,tirme koordinatlar üzerine kurulmu,tur. E9er yerle,tirilecek bütün küçük parçalarn sol alt ve sa9 üst kö,esi biliniyorsa, yerle,im plan kolaylkla yeniden olu,turulabilir. Bu, do9al gösterim için bir avantajdr. Ancak koordinatlarda olu,abilecek küçük de9i,imler, yeni olu,turulmu, yerle,im plannda çak,malara sebep olacaktr. Bu sebeple daha kullan,l bir veri yapsna sahip olan permütasyona dayal gösterim kullanlr. Bu gösterimde yerle,im plan, büyük parça üzerine yerle,tirilecek küçük parçalarn yerle,im srasna kar,lk gelen permütasyonlarla gösterilmektedir. En büyük avantaj, her yeni permütasyonun olu,turulmasyla yeni bir yerle,im plannn kolaylkla elde edilebilmesidir. Bu çal,mada permütasyona dayal gösterim kullanlm,tr. Kesme problemlerinde yerle,im planlar permütasyonlarla gösterildi9inde, yerle,tirilecek n adet parça için AS algoritmas kullanlarak hesaplanan olas yerle,im plan says en çok 2 n.n! dir. Bu da yerle,tirme problemlerinin birer permütasyon problemi oldu9unun açk bir göstergesidir. Rekil 3 de yerle,tirilecek parça saysna göre olu,turulan olas yerle,im plan saysn gösteren e9ilim görülmektedir. Parça says arttkça, olas yerle,im plan says da üssel olarak art, göstermektedir. Bu da kesme problemlerinin çözümü için arama uzaynn ne kadar büyük oldu9unu gösterir. Ancak pratikte, iki ayr permütasyonun ayn yerle,im plann gösterebilmesi sebebiyle AS algoritmas tarafndan olu,turulan 2 n.n! yerle,im planndan daha az yerle,im plan vardr (7, 8). Kesme problemlerinin çözümünde arama uzaynn oldukça büyük olmas sebebiyle bu uzayda yönlendirilmemi, bir arama oldukça verimsizdir. Çözümün bulunmas için arama uzaynda olaslksal bir arama yaplmas zorunludur. Kesme problemlerinin birer permütasyon problemi olmas ve arama uzaynn büyük olmas nedeniyle ara,trmalar, en iyi çözüme yakn iyi çözümleri verimli bir,ekilde bulan olaslksal yakla,m teknikleri üzerinde yo9unla,maktadr. Kesme problemleri için uygulanabilir bu tekniklerden bazlar benzetilmi, tavlama (BT) algoritmas, genetik algoritmalar (GA), saf evrim (SE), tabu arama (TA) ve karnca algor 2 r r 3 Permütasyon: V()=2 V(2)= V(3)=4 V(4)=3 veya V=(2,,4,3) Rekil 2. Geli,tirilmi, AS algoritmasnn gösterimi 29

6 Alev SÖKE, Zafer B%NGÜL / POL%TEKN%K DERG%S%, C%LT 8, SAYI, 25 ritmalardr (KA). Bu çal,madaki kesme problemlerine ait yerle,im planlar BT algoritmas kullanlarak elde edilmi,tir. Yerlesim plani sayisi (log) Parca sayisi Rekil 3. Artan parça saysna göre elde edilen yerle,im plan says. Çal,ma boyunca gerçekle,tirilen i,lemler a,a9daki iki admla ksaca özetlenebilir:. Parça yerle,im srasn gösteren bir permütasyonu elde etmek için BT algoritmas, kullanlr. Bu i,leme kodlama denir. 2. Bir yerle,im plannn olu,turulmas elde edilen bu permütasyonun geli,tirilmi, AS algoritmasnda kullanlmasyla gerçekle,tirilir. Bu i,leme kod çözme denir. Daha sonra olu,turulan bu yerle,im planna ait fire de9eri hesaplanarak birinci adma geri dönülür. Bu i,lemler BT algoritmasnn d, döngü ko,ulu sa9land9 sürece devam eder. Bu çal,mada ele alnan test problemleri, snrlar önceden belirlenmi, iki boyutlu bir alanda giyotinsiz kesim yapacak,ekilde yerle,im gerektiren kesme problemleridir. Bu problemler (9) sfr fire de9eri verecek,ekilde özel olarak bir problem üretici algoritma ile üretilmi, test problemleridir. Bu problemler için en iyi çözüm sfr fire de9erine ula,ld9nda elde edilmektedir. Çal,mada kullanlan problemler 7 adet dikdörtgen parçadan olu,an be, ayr test problemini ve 29 adet dikdörtgen parçadan olu,an bir test problemini içermektedir. Parçalar, 2x2 birimlik bir alan ile snrlandrlm, büyük bir parça üzerine yerle,tirilecektir. Her test problemindeki parçalar birbirinden farkldr. Bu,ekide birbirinin e,i parçalar içermeyen problemler zor problemler olarak bilinir. 5. BULGULAR Yerle,tirme simülasyonlar, BT algoritmasnn performansn etkileyen farkl scaklk de9erleri, farkl so9utma çizelgeleri, farkl kom,uluk hareketleri ve farkl döngü ko,ullarnn kesme problemlerinin çözümleri üzerindeki etkilerini incelemek ve en iyi çözümü veren parametre grubunu bulmak için gerçekle,tirilmi,tir. 32 farkl durum için yerle,tirme simülasyonu yaplm,tr. Yerle,tirme simülasyonlar yaplrken iç döngü says ba,langçta 5 olarak kabul edilmi,tir. Bununla birlikte çal,mann ilk a,amasnda 7 parçadan olu,an be, ayr test problemi için sekiz de9i,ik ba,langç scakl9, iki farkl so9utma çizelgesi ve iki farkl kom,uluk hareketi kullanlm, ve kom,uluk hareketlerinin etkileri incelenmi,tir. Çal,mann ikinci a,amasnda ise yine ayn problemler için sekiz de9i,ik ba,langç scakl9, iki farkl so9utma çizelgesi ve ilk çal,mada en iyi sonuçlarn elde edildi9i kom,uluk hareketi kullanlm, ve üç de- 9i,ik iç döngü saysnn (3,5,) ve so9utma çizelgelerinin etkileri incelenmi,tir. Son olarak da bu iki çal,madan elde edilen en iyi parametre grubu (Lundy ve Mees so9utma çizelgesi, yer de9i,tirme kom,uluk hareketi ve iç döngü says: 3) sekiz de9i,ik ba,langç scakl9 için 29 parçadan olu,an bir test problemi üzerinde uygulanm,tr. Leung çal,masnda iç döngü saysn 5 olarak sabitlemi, ve di9er parametrelerin etkilerini bu iç döngü saysn kullanarak incelemi,tir (3). Ayrca çal,masnda kulland9 test problemlerinde parça says ile 3 arasnda de9i,mekte ve birbirleriyle e, ve e, olmayan parçalar içermektedir. FY algoritmas ve geli,tirilmi, AS algoritmas olmak üzere iki farkl yerle,tirme algoritmas kullanm,tr. Çal,masnn sonuçlarndan görülmektedir ki; kesme problemleri üzerinde BT algoritmasnn parametrelerinin incelenmesi, sabit tutulan iç döngü says ve problemlerdeki parça saysnn çe,itlili9i yüzünden zayf kalmaktadr. Leung un kulland9 çal,ma yöntemiyle, problemlerin çözümü üzerinde parça saysnn m, kullanlan yerle,tirme algoritmalarnn m yoksa BT algoritmasndaki parametre de9i,iminin mi daha etken oldu9u saptanamam,tr. Bu çal,mada BT algoritmasnn parametrelerini incelemek için üç de9i,ik iç döngü says (3,5,) kullanlm,tr. BT algoritmas parametrelerinin etkilerini incelemek ilk önce parça says sabit tutularak 7 parça içeren be, ayr test problemi kullanld. Daha sonra da 29 parça içeren bir test problemi kullanlarak parça saysnn problemin çözümü üzerindeki etkileri incelendi. FY algoritmas göreceli olarak, geli,tirilmi, AS algoritmasndan biraz daha iyi sonuçlar vermesine ra9men çok yava, çal,maktadr (3). Bu sebeple yerle,tirme algoritmas olarak geli,tirilmi, AS algoritmas kullanlm,tr. BT algoritmasnda kullanlan parametreler: Ba,langç scaklklar:.,,.3,,.5,.6,.7, Son scaklk :. Kom,uluk hareketi : Yer de9i,tirme (SW) / Kaydrma (SH) So9utma çizelgesi : Orantsal azalml so9utma (a) / Lundy ve Mees so9utma (b) D, döngü says (sonlandrma kriteri) : %terasyon says () %ç döngü says : 3, 5, 3

7 %K% BOYUTLU G%YOT%NS%Z KESME PROBLEMLER%N%N BENZET%LM%R TAVLAMA / POL%TEKN%K DERG%S%, C%LT 8, SAYI, 25 Yerle*tirme simülasyonlar,n,n sonuçlar,: Çal,mann ilk a,amas için be, ayr test problemi kullanlarak elde edilen en büyük ve en küçük fire de- 9erleri Tablo de gösterilmektedir. Bu çal,ma için yaplan normalizasyon i,leminin amac, elde edilen yerle,tirme simülasyonu sonuçlarnn birbirleriyle daha sa9lkl kar,la,trlabilmeleridir. Yaplan tüm çal,malar içinde elde edilen en küçük ve en büyük fire de9eri kullanlm, ve normalizasyon i,lemi bu de9erler arasnda yaplm,tr. Bu de9erler Tablo 2 de gösterilmektedir. En büyük fire de9eri (59) sfr, en küçük fire de9eri (.454) bir kabul edilmi,tir. Bu çal,- mada hesaplanan normalize uygunluk de9erleriyle elde edilen fire de9erleri arasnda ters bir orant vardr. Ba,ka bir deyi,le normalize edilmi, uygunluk de9eri arttkça fire de9eri azalmakta, azaldkça fire de9eri artmaktadr..3 ba,langç scakl9 de9erinden sonra bir yükselme e9ilimi görülmü,tür. Kom,uluk hareketlerinin etkilerini incelemek için yaplan bu çal,malar içinde, en iyi uygunluk de9erleri yer de9i,tirme kom,uluk hareketi ve Lundy ve Mees so9utma çizelgesi kullanlarak elde edilmi,tir. Be, ayr test problemi için, iç döngü says 5, sekiz de9i,ik ba,langç scakl9, iki farkl so9utma çizelgesi ve iki farkl kom,uluk hareketi kullanlarak yaplan tüm çal,malara ait ortalama normalize uygunluk de9erleri Rekil 5 de gösterilmektedir. Orantsal azalml so9utma çizelgesi kullanlarak yaplan çal,mada (Rekil 5a),.3-.6 ba,langç scakl9 de9erleri arasnda yer de9i,tirme kom,uluk hareketi, kaydrma kom,uluk hareketine göre daha iyi sonuçlar vermektedir. Lundy ve Mees so9utma çizelgesi kullanlarak yaplan çal,mada Tablo. Be, ayr test problemi için iç döngü says 5 olan, iki farkl so9utma çizelgesi ve iki farkl kom,uluk hareketinin kullanlmasyla yaplan yerle,tirme simülasyonlarna ait en büyük ve en küçük fire de9erleri. Orant,sal azal,ml, so;utma çizelgesi Lundy ve Mees so;utma çizelgesi SH SW SH SW Problem EB EK EB EK EB EK EB EK fire fire fire fire fire fire fire fire P P P P P BT Algoritmas,nda Kom*uluk Hareketinin Etkileri: Ayn döngü ko,ullar ancak farkl parametreler kullanlarak yaplan çal,malar içinde, elde edilen fire de9erleri Tablo de görüldü9ü gibi birbirinden farkldr. Yaplan tüm çal,malar içinde en küçük fire de9eri ço9unlukla P4 probleminde elde edilmi,tir. Fire de9erinin küçük olmas yerle,im plannn en iyi,ekilde gerçekle,tirildi9ini göstermektedir. Buna göre P4 problemi için yaplan çal,malara ait normalize uygunluk de9erleri Rekil 4 de gösterilmektedir. Grafiklerin yanlarnda bulunan etiketler çal,mann hangi probleme ait oldu9unu, hangi so9utma çizelgesi (a, b) ve hangi kom,uluk hareketi kullanlarak (SH, SW) gerçekle,tirildi9ini temsil etmektedir. Orantsal azalml so9utma çizelgesi kullanlarak yaplan çal,mada (Rekil 4a), iki farkl kom,uluk hareketi ile ba,langç scakl9 de9erine kadar elde edilen normalize uygunluk de9erleri de9i,im göstermemi,tir. Kaydrma kom,uluk hareketi kullanlarak yaplan ayn çal,mada.6 ba,langç scakl9 de9erinden sonra en iyi normalize uygunluk de9erleri elde edilmi,tir. Lundy ve Mees so9utma çizelgesi ve iki farkl kom,uluk hareketi kullanlarak yaplan çal,mada da (Rekil 4b), da (Rekil 5b), - ba,langç scakl9 de9erleri arasnda yer de9i,tirme kom,uluk hareketi, kaydrma kom,uluk hareketine göre nispeten daha iyi sonuçlar vermi,tir. Bu sonuçlara göre devam eden çal,malarda yer de9i,tirme kom,uluk hareketi kullanlacaktr. Normalize uygunluk degeri Normalize uygunluk degeri.6 p4ash p4asw ( a ).6 p4bsh p4bsw ( b ) Rekil 4. %ç döngü says 5, sekiz de9i,ik ba,langç scakl9, iki farkl so9utma çizelgesi ve iki farkl kom,uluk hareketi kullanlarak yaplm, P4 problemine ait normalize uygunluk de9erleri. 3

8 Alev SÖKE, Zafer B%NGÜL / POL%TEKN%K DERG%S%, C%LT 8, SAYI, 25 Ortalama normalize uygunluk degeri Ortalama normalize uygunluk degeri ( a ) ( b ) ash5 asw5 bsh5 bsw5 Rekil 5. %ç döngü says 5, sekiz de9i,ik ba,langç scakl9, iki farkl so9utma çizelgesi ve iki farkl kom,uluk hareketi kullanlarak be, ayr test problemi için yaplm, çal,malarn ortalama normalize uygunluk de9erleri. yaplan çal,malara ait fire de9erleri Tablo 2 de gösterilmektedir. Tablodan görüldü9ü gibi yaplan tüm çal,- malar için en küçük fire de9eri ço9unlukla P4 probleminde elde edilmi,tir. Buna göre sekiz de9i,ik ba,langç scakl9, üç de9i,ik iç döngü says (3, 5, ), iki farkl so9utma çizelgesi (a, b) ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketi (SW) kullanlarak P4 problemi için yaplan çal,- malara ait normalize uygunluk de9erleri Rekil 6 da gösterilmektedir. Farkl parametreler kullanlarak yaplan bu çal,malarda iç döngü says için 5 seçildi9inde ve Lundy ve Mees so9utma çizelgesi kullanld9nda (Rekil 6b) di9er parametre gruplarna göre nispeten daha iyi normalize uygunluk de9erleri bulunmu,tur. Sonuç olarak farkl parametre gruplarna ait çal,malarn birlikte gösterildi9i Rekil 6 daki bu grafikler genel yaps itibariyle incelendi9inde, Lundy ve Mees so9utma çizelgesi ile yaplan çal,malarda elde edilen normalize uygunluk de9erlerinin orantsal azalml so9utma Tablo 2. Üç de9i,ik iç döngü says (3, 5, ), iki farkl so9utma çizelgesi ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketinin kullanlmasyla be, ayr test problemi için yaplan yerle,tirme simülasyonlarna ait en büyük ve en küçük fire de9erleri. Orant,sal azal,ml, so;utma çizelgesi Yer de;i*tirme kom*uluk hareketi (SW) 3 5 EB EK EB EK EB EK Problem fire fire fire fire fire fire P P P P P Lundy ve Mees so;utma çizelgesi Yer de;i*tirme kom*uluk hareketi (SW) 3 5 EB EK EB EK EB EK Problem fire fire fire fire fire fire P P P P P En kötü/en iyi yerle*im planlar,na ait fire de;erleri EB fire EK fire BT algoritmas,nda iç döngü say,s, ve so;utma çizelgelerinin etkileri: %ç döngü says için üç de9i,ik de9er (3, 5, ), sekiz de9i,ik ba,langç scakl9, iki farkl so9utma çizelgesi ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketi kullanlarak çizelgesi ile yaplan çal,malarda elde edilen uygunluk de9erlerinden daha iyi sonuçlar verdi9i görülmü,tür. Rekil 7 de bu çal,malar için elde edilen en küçük fire de9erine sahip P4 problemine ait yerle,im plan gösterilmektedir. 32

9 %K% BOYUTLU G%YOT%NS%Z KESME PROBLEMLER%N%N BENZET%LM%R TAVLAMA / POL%TEKN%K DERG%S%, C%LT 8, SAYI, 25 Normalize uygunluk degerleri p4a3 p4b3 p4a5 p4b5 p4a p4b Rekil 6. Üç de9i,ik iç döngü says (3, 5, ), sekiz de9i,ik ba,langç scakl9, iki farkl so9utma çizelgesi ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketi kullanlarak yaplm, P4 problemine ait normalize uygunluk de9erleri. Normalize ortalama uygunluk degeri Normalize ortalama uygunluk degeri ( a ) a icdöngü k.3 a icdöngü k.5 a icdöngü k. b icdöngü k.3.3 b icdöngü k.5 b icdöngü k ( b ) Rekil 8. Üç de9i,ik iç döngü says (3, 5, ) seçilerek sekiz de9i,ik ba,langç scakl9, iki farkl so9utma çizelgesi ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketi kullanlarak be, ayr test problemiyle yaplan çal,malara ait ortalama normalize uygunluk de9erleri Fire degeri Rekil 7. %ç döngü says 3, Lundy ve Mees so9utma çizelgesi ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketi kullanlarak P4 problemi için yaplan çal,maya ait yerle,im plan. %ç döngü says için üç de9i,ik de9er (3, 5, ) seçilerek sekiz de9i,ik ba,langç scakl9, iki farkl so- 9utma çizelgesi ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketi kullanlarak be, ayr test problemiyle yaplan çal,malara ait ortalama normalize uygunluk de9erleri Rekil 8 de gösterilmektedir. Rekil 8a orantsal azalml so- 9utma çizelgesiyle yaplan çal,maya, Rekil 8b Lundy ve Mees so9utma çizelgesi ile yaplan çal,maya aittir. Her iki,ekil de incelendi9inde Lundy ve Mees so9utma çizelgesinin orantsal azalml so9utma çizelgesine göre artan bir e9ilimle daha iyi sonuçlar verdi9i görülmektedir. Bu çal,madaki,ekiller en iyi sonuçlarn iç döngü says 3 seçildi9inde ve Lundy ve Mees so9utma çizelgesi kullanld9nda elde edildi9ini göstermektedir. BT algoritmas kullanlarak gerçekle,tirilen Leung a ait benzer çal,mada ise en iyi sonuçlar; orantsal azalml so9utma çizelgesi ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketinden olu,an parametre grubu kullanld9nda elde edilmi,tir [3]. En iyi sonuçlarn elde edildi9i bu parametre grubu kullanlarak P4 problemiyle yaplan çal,- maya ait fire de9erleri Rekil 9 da gösterilmektedir Iterasyon sayisi Rekil 9. %ç döngü says 3, Lundy ve Mees so9utma çizelgesi ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketi kullanlarak P4 problemi için yaplan çal,maya ait fire de9erleri. Elde edilen en iyi parametre grubu için 29 parçadan olu*an bir test probleminin çözümü: Çal,mada son olarak 29 parçadan olu,an bir test problemi için sekiz de9i,ik ba,langç scakl9 ve önceki çal,malarda en iyi sonucun elde edildi9i parametreler kullanlm,tr. BT algoritmasnda kullanlan en iyi parametre grubu: Ba,langç scaklklar :.,,.3,,.5,.6,.7, Son scaklk :. Kom,uluk hareketi : Yer de9i,tirme (SW) So9utma çizelgesi D, döngü says (sonlandrma kriteri) : Lundy ve Mees so9utma : %terasyon says () %ç döngü says : 3 Tablo 3 de 29 parçadan olu,an test problemine ait yerle,tirme simülasyonlar sonucunda sekiz de9i,ik ba,langç scakl9 için elde edilen fire de9erleri gösterilmektedir. En küçük fire de9eri.3 ba,langç scakl9 kullanld9nda elde edilmi,tir. 33

10 Alev SÖKE, Zafer B%NGÜL / POL%TEKN%K DERG%S%, C%LT 8, SAYI, 25 Tablo adet parçadan olu,an bir test problemi için iç döngü says 3, Lundy ve Mees so9utma çizelgesi ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketi kullanlmasyla yaplan yerle,tirme simülasyonlarna ait fire de9erleri. Çal,*ma no Ba*lang,ç s,cakl,klar, Fire Sekiz de9i,ik ba,langç scakl9 için yaplan bu çal,mada fire de9erleri, en büyük fire de9eri.787 ve en küçük fire de9eri.3 alnarak normalize edilmi,- tir. Buna göre 29 parçadan olu,an test problemine ait normalize uygunluk de9erleri Rekil da gösterilmektedir..-.3 ba,langç scaklklar arasnda uygunluk de9erlerinde bir yükseli, görülmekte, ancak scaklk de- 9eri arttkça uygunluk de9erlerindeki bu yükseli, yerini bir dü,ü,e brakmaktadr. Bu çal,ma için elde edilen fire de9erleri % ve %7 arasnda de9i,mektedir. Rekil de bu çal,ma için.3 ba,langç scakl9 kullanlarak iterasyon boyunca elde edilen fire de9erleri gösterilmektedir. Öteleme says arttkça fire de9erlerinde dü-,ü,ler görülmektedir. Rekil 2 de de iç döngü says 3, Lundy ve Mees so9utma çizelgesi, yer de9i,tirme kom-,uluk hareketi ve.3 ba,langç scakl9 kullanlarak elde edilen en küçük fire de9erine sahip çal,mann yerle,im plan görülmektedir. Normalize uygunluk degeri Rekil. En iyi parametre grubu kullanlarak 29 parçadan olu,an test problemi için elde edilen normalize uygunluk de9erleri. Fire degerleri Iterasyon sayisi Rekil. %ç döngü says 3, Lundy ve Mees so9utma çizelgesi, yer de9i,tirme kom,uluk hareketi ve.3 ba,langç scakl9 ile öteleme boyunca 29 parçadan olu-,an test problemi için yaplan çal,maya ait fire de- 9erleri Rekil 2. %ç döngü says 3, Lundy ve Mees so9utma çizelgesi ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketi kullanlarak.3 ba,langç scakl9 ile elde edilen en küçük fire de9erine sahip çal,mann yerle,im plan. 7 ve 29 parçadan olu,an test problemleri kullanlarak yaplan çal,malar sonucunda elde edilen en iyi ve en kötü sonuçlara ait fire de9erleri Tablo 4 te gösterilmektedir. Tabloyu inceledi9imiz zaman parça saysna göre elde edilen fire de9erleri arasnda bir çeli,ki varm, gibi görünebilir. Ancak 7 parça için elde edilen bu sonuçlar be, ayr test probleminde elde edilen en iyi ve en kötü fire de9erlerini içermektedir. Buna kar,n 29 parça için elde edilen sonuçlar ise tek bir test probleminden elde edilmi,tir. Bundan dolay 29 parça için yaplan çal,maya göre, 7 parça için yaplan çal,malar be, ayr problemi içerdi9inden en büyük fire de9erinin daha büyük çkmas normal kar,lanabilir

11 %K% BOYUTLU G%YOT%NS%Z KESME PROBLEMLER%N%N BENZET%LM%R TAVLAMA / POL%TEKN%K DERG%S%, C%LT 8, SAYI, 25 Tablo 4. 7 ve 29 parçadan olu,an test problemleri için elde edilen en iyi ve en kötü sonuçlara ait fire de9erleri. Problemler BT algoritmas, En küçük fire En büyük fire 7 parça (5 ayr, problem) %4 %2 29 parça ( problem) % %7 6. SONUÇLAR Bu çal,mada BT algoritmas ile 7 ve 29 adet birbirinden farkl dikdörtgen parçalar içeren iki boyutlu giyotinsiz kesme problemlerine çözüm aranm,tr. Ayrca BT algoritmasna ait temel parametrelerin (so9utma çizelgesi, kom,uluk hareketi, iç döngü says) ve problemlerdeki parça saysnn bu problemlerin çözümleri üzerindeki etkileri incelenmi,tir. 32 farkl parametre grubu için yaplan yerle,tirme simülasyonlarndaki en iyi sonuçlar: iç döngü saysnn 3 alnmas, Lundy ve Mees so9utma çizelgesinin ve yer de9i,tirme kom,uluk hareketinin kullanlmasyla elde edilmi,tir. 7 parçadan olu-,an be, ayr test problemi için yaplan yerle,tirme simülasyonlarndan elde edilen sonuçlara ait fire de9erleri %4 ve %2 arasndadr. 29 parçadan olu,an bir test problemi için elde edilen sonuçlara ait fire de9erleriyse % ve %7 arasnda de9i,mektedir. 7. KAYNAKLAR. Hopper, E. and Turton, B., 997. Application of Genetic Algorithms to Packing Problems - A Review. Proceedings of the 2nd On-line World Conference on Soft Computing in Engineering Design and Manufacturing, Springer Verlag, London, pp Hopper, E. and Turton, B., 2. A Review of The Application of Meta-Heuristic Algorithms to 2D Strip Packing Problems. Artificial Intelligence Rewiev, Vol.6, pp Leung, T.W., Yung, C.H. and Troutt, M.D., 2. Applications of Genetic Search and Simulated Annealing to The Two-Dimensional Non-Guillotine Cutting Stock Problem. Computers and Industrial Engineering, Vol.4, pp Callaghan, A. R., Nair, A. R. and Lewis, K. E., 999, An extension of the orthogonal packing problem through dimensional flexibility, Proceedings of DETC 99: 999 ASME Design Engineering Technical Conferences, Lutfiyya, H., Mcmillin, B., Poshyanonda, P. and Dagl, C., 992. Composite Stock Cutting Through Simulated Annealing. Mathematical Computing Modelling, Vol. 6(), pp , Great Britain. 6. Kirkpatrick, S., Gelatt, C.D. and Vecchi, M.P., 983. Optimization by Simulated Annealing. Science, New Series, Vol. 22, pp Lai, K.K. and Chan, J.W.M., 997. Developing A Simulated Annealing Algorithm for The Cutting Stock Problem. Computers and Industrial Engineering, Vol. 32, pp. 5-27, Great Britain. 8. Kämpke, T., 988. Simulated Annealing: Use of A New Tool in Bin-packing. Annals of Operations Research, Vol. 6, pp Dowsland, K.A., 993. Some Experiments with Simulated Annealing Techniques For Packing Problems. European Journal of Operational Research, Vol. 68, pp Fana, L., 999. Application of Simulated Annealing to The Cutting Stock Problem. European Journal of Research, Vol. 4, pp Leung, T.W., Chan, C.K. and Troutt, M.D., 23. Application of a Mixed Simulated Annealing-Genetic Algorithm Heuristic for the Two-Dimensional Orthogonal Packing Problem, European Journal of Operational Research 45 (23), Masri, S.F., Smth, A.W., Chassakkos, A.G., NAKAMURA, M. and CAUGHEY, T.K., 999. Training Neural Networks by Adaptive Random Search Techniques. Journal of Enginnering Mechanics, Vol 25(2), pp Shahookar K. and Mazumder P., 99. Vls Cell Placement Techniques, ACM computing Surveys, Vol. 23(2), pp Antonioletti, M., 996. Internet sayfas: training/document_archive/gas-course/node9.html. 5. Pham, D.T. and Karaboga, D., 2. Intelligent Optimisation Techniques. Springer - Verlag London, ISBN: Ma, J., 23. Incremential Design Techniques with Non- Preemptive Refinement for Million-Gate FPGAs, PhD Thesis,Virginia Polytechnic Institute and State University, Blacksburg, Virginia. 7. Liu, D. and Teng, H., 999. An Improved BL-Algorithm for Genetic Algorithm of The Orthogonal Packing of Rectangles, European Journal of Operational Research, Vol.2, pp Jakobs, S., 996. On Genetic Algorithms for The Packing of Polygons. European Journal of Operational Research, Vol. 88, pp Hopper, E., 2, Two-Dimensional Packing Utilising Evolutionary Algorithms and Other Meta-Heuristic Methods, PhD Thesis, Cardiff University, UK. 35