KUANTUM HAMILTON JACOBI TEORĐSĐ VE UYGULAMALARI. Ahmet Ferhat ERDOĞAN YÜKSEK LĐSANS TEZĐ FĐZĐK GAZĐ ÜNĐVERSĐTESĐ FEN BĐLĐMLERĐ ENSTĐTÜSÜ

Transkript

1 KUNTUM HMILTON JCOBI TORĐSĐ V UYGULMLRI hmet Ferhat RDOĞN YÜKSK LĐSNS TZĐ FĐZĐK GZĐ ÜNĐVRSĐTSĐ FN BĐLĐMLRĐ NSTĐTÜSÜ NKR ĞUSTOS 9

2 hmet Ferhat RDOĞN tarafıda hazırlaa Kuatum Hamılto Jacoı Teors ve Ugulamaları adlı u tez Yüksek Lsas tez olarak ugu olduğuu oalarım. Yrd.Doç. Dr Özlem YŞĐLTŞ Tez Daışmaı, Fzk alm Dalı Bu çalışma, jürmz tarafıda o rlğ le...fzk...alm Dalıda Yüksek Lsas tez olarak kaul edlmştr. Yrd.Doç. Dr Belma Berr ŞĐRVNLI Fzk,Gaz Üverstes. Yrd.Doç. Dr Özlem YŞĐLTŞ Fzk,Gaz Üverstes. Yrd.Doç. Dr Şegül KY Fzk,kara Üverstes Tarh : 8/8/9 Bu tez le G.Ü. Fe Blmler sttüsü Yöetm Kurulu Yüksek Lsas dereces oamıştır. rof. Dr. Nal ÜNSL Fe Blmler sttüsü Müdürü.

3 TZ BĐLDĐRĐMĐ Tez çdek ütü lgler etk davraış ve akademk kurallar çerçevesde elde edlerek suulduğuu, arıca tez azım kurallarıa ugu olarak hazırlaa u çalışmada aa at olmaa her türlü fade ve lg kaağıa eksksz atıf apıldığıı ldrrm. hmet Ferhat RDOĞN

4 v KUNTUM HMILTON JCOBI TOĐRĐSĐ V UYGULMLRI Yüksek Lsas Tez hmet Ferhat RDOĞN GZĐ ÜNĐVRSĐTSĐ FN BĐLĐMLRĐ NSTĐTÜSÜ ğustos 9 ÖZT Kuatum mekağde, değşk potasel aleler çözümlerde kuatum Hamlto Jaco ötem so derece etkl r ötemdr. Leacock ve adgett tarafıda gelştrle kuatum Hamlto Jaco metodu le geş r potasel sııfıı tam çözümler ve ağlı durumları elde edlmştr. Bu tezde rölatvstk olmaa kuatum mekağde, kuatum mometum foksouu tekl apısı kullaılarak hem eerj özdeğerler hem de dalga foksoları elde edlmştr. rıca, kuatum Hamlto Jaco metodu le Süpersmetrk kuatum mekağ arasıdak lşk celemştr. Süpersmetrk kuatum mekağ tegralleelrlk koşulu ola şekl değşmezlğ kullaılarak kuatum mometum foksouu kesrsel ve doğrusal döüşümler celemştr. Blm Kodu :..38 ahtar Kelmeler:Kuatum Hamlto Jaco, Süpersmetr Safa ded :58 Tez Yöetcs :Yrd.Doç. Dr Özlem YŞĐLTŞ

5 v TH LICTIONS ND TH THORY OF QUNTUM HMILTONIN JCOBI M.Sc.Thess hmet Ferhat RDOĞN GZĐ UNIVRSTY INSTITU OF SCINC ND TCNOLOGY ugust 9 BSTRCT Quatum Hamlto Jaco whch the most effcret approach s used solutos of varous potetal classes. act solutos ad oud states of a wde class of potetal solutos are otaed quatum Hamlto Jaco method whch s developed frst Leacock ad adgett. I ths thess, oth eerg egevalues ad wave fuctos are otaed usg the sgulart structure of the quatum mometum fucto o-relatvstc quatum mechacs. Besdes, supersmmetrc quatum mechacs s coected to Quatum Hamlto Jaco approach ad the shape varace method that s a tegralt codto supersmmetrc quatum mechacs s used to dscuss fractoal lear trasformatos of quatum mometum fucto. Scece Code :..38 Ke Words :Quatum Hamlto Jaco, Supersmmetr age Numers :58 dvser :ssst.rof.dr. Özlem YŞĐLTŞ

6 v TŞKKÜR Bu tez hazırlarke ütü çalışmalarım ouca ardımıı ve tecrüeler esrgemee hocam Yrd.Doç. Dr Özlem YŞĐLTŞ a, çalışma arkadaşlarıa ve eşme sosuz teşekkürlerm suarım.

7 v ĐÇĐNDKĐLR Safa ÖZT...v BSTRCT.v TŞKKÜR v ĐÇĐNDKĐLR... v ŞKĐLLRĐN LĐSTSĐ.. SĐMG V KISLTMLR.. GĐRĐŞ..... KLSĐK MKNĐKSL KVRMLR Hamlto Mekağ Lagrage Mekağ Geelleştrlmş koordatlar, holoomk sstemler Hamlto-Jaco Teors Matematksel Kavramlar Kompleks düzlem ve kutupsal gösterm altk foksolar Krtk oktalar Lauret sers Rezdü ve tegral hesapları KUNTUM HMILTON JCOBI TORĐSĐ Morse Ttreşcs erj Spektrumu Kuatzaso Kuralı ve Özdeğerler ösch-teller otasel.. 33

8 v 3.4. ckart otasel SÜRSĐMTRĐK KUNTUM MKNĐĞĐND KUNTUM HMILTON JCOBI YKLŞIMI Süpersmetrk Kuatum Mekağ Kuatum Hamlto Jaco Teors le Süpersmetr Kuatum Mekağ Brleştrlmes SONUÇ V TRTIŞM...53 KYNKLR...55 ÖZGÇMĐŞ...58

9 ŞKĐLLRĐN LĐSTSĐ Şekl Safa Şekl.. Kompleks düzlemde r z saısıı gösterm.. Şekl 3.. Kompleks düzlemde,klask ve kuatum mometum gösterm Şekl 3.. Kompleks düzlemde J tegral gösterm...9.

10 SĐMGLR V KISLTMLR Bu çalışmada kullaılmış azı smgeler ve kısaltmalar, açıklamaları le rlkte aşağıda suulmuştur. Smgeler L H Σ Ψ çıklama Lagrage Hamlto Toplam Semolü Dalga Foksou Kısaltmalar HJ KMF KHJ SUSY çıklama Hamlto-Jaco Kuatum Mekak Foksou Kuatum Hamlto Jaco Süpersmetr

11 . GĐRĐŞ Bu tezde kuatum mekağde tam çözülelr prolemlere r alteratf aklaşım metodu çalışılmıştır. Kuatum Hamlto Jaco KHJ metodu olarak le u aklaşımı, kuatum mekağde tam çözülelr modeller eerj spektrumlarıı taımlamasıda dğer metotlara göre daha kullaışlı olduğu görülmüştür. KHJ aklaşımıı r dğer üstülüğü de özfoksoları çözümüe gerek dumada eerj özdeğerler ulualmes ve ölece dalga foksolarıı ağımsız olarak hesaplaalmesdr. rıca klask elem-açı değşkeler kuatum mekağdek karşılığı verlmştr. Tam kuatzaso koşulu kompleks düzlemde kuatum elem değşkee karşı gelecek şeklde kotur tegral şeklde formüle edlmştr. Br outlu ve aırt edlelr sstemler ç eerj özdurumlarıı taımlaması ç kes r kuatzaso şartı verlmştr. Bölelkle kuatzaso şartıda ararlaarak, dalga foksouu sıfır apa kutup oktalarıı saısı ve dalga foksouu logartmk türev csde kuatum mometum foksou KMF azılalr ve ölelkle eerj seveler hesaplaalr. KMF tarafıda sağlaa deklem doğrusal olmaa KHJ deklem olarak lr ve k çözüme sahptr. cak, fzksel olarak kaul edlelr çözümlere ulaşmak ç ħ lmtde klask mometuma ulaşılır k u se fzksel çözümler elde edlmese olaak sağlaacaktır. KHJ ugulamaları oldukça geş r azar ktles lgse maruz kalmıştır [-4]. cak u metodu lk olarak gelştre lmcler Leacock ve adgett olmuştur []. Bu çalışmalarda sora Bhalla ve arkadaşları sadece özfokso çözümler değl aı zamada eerj özdeğerler de verle fzksel sstemler ç ulualeceğ süpersmetrk SUSY kuatum mekağ kullaarak göstermşlerdr [-3]. Daha sora, metot gelştrlerek çok daha geş r potasel alese ugulaarak test edlmştr [-39]. Bu çalışmalar gerek tam gerek kısm çözülelr potaseller le rlkte parte zama smetrk potaseller de kapsamaktadır [4-3]. Fzkçler doğadak temel etkleşmler güçlü, elektro-zaıf ve gravtasoel etkleşmler rleşk r ala teors oluşturmak ç özverle çalışmaktalar. Bu

12 kouda ast olarak ozoları fermolara, fermoları da ozolara döüştüre süpersmetr gerekllğ oldukça öemldr. Süperscm kuramıla ola lşks, scm kuramlarıdak model outta azmak ere süpersmetr kullaarak süperscmler saesde model outta azarak Süpersmetr varlığı süperscm modeller r ögörüsü olarak düşüülelr [9]. rıca, süperscm kuramı parçacıkları ve temel kuvvetler çok küçük süpersmetrk scmler ttreşmler şeklde modelleerek oları tek r kuramda alatmaı amaçlaa r model olmakla eraer u tezde lglelecek ola süpersmetr Le cersel Süpersmetr komütaso ve at-komütaso ağıtılarıı kapsar. cak u tezde cersel SUSY kuatum mekağ potasel ugulamalarıda kullaılacaktır. Bu kouda so çalışmalar referaslarda ulualr [3,33]. SUSY kuatum mekağ Schrödger deklem apısıı aalzde oldukça etkl r metottur [4]. Brrde farklı potaseller lşkledrme dışıda, SUSY kuatum mekağ şekl değşmez potaseller olarak le çok geş potaseller ales cersel çözümlere olaak sağlar [36]. Bu tezde KHJ metodu sadece tam çözülelr potasel alelerde Morse Ttreşcs erj Spektrumu, öschl-teller ve ckart potasellere ugulamıştır. Tez kc ölümü temel klask mekak lglere, Lagrage- Hamlto damğe ve azı temel matematksel kavramlara arılmıştır. Üçücü ölümde KHJ metodu klask mekaktek elem-açı değşkeler le lşkledrlerek verldkte sora KMF le dalga foksou arasıdak lşk taımlamıştır. Daha sora tam çözümler le Morse ttreşcs eerj spektrumu, kuatzaso kuralı ve özdeğerler, öschl-teller potasel ve ckart potasellere ugulaarak Rccat deklem çözümlere ulaşıldıkta sora artık u potaseller ç eerj spektrumu ve özfoksolar kümes elde edlmştr. Özellkle dalga foksou elde edlmeksz asıl eerj özdeğerlere ulaşılaleceğ u ölümde gösterlmştr. Bu ölümde aaltk r fokso ola KMF Lauret serse açılarak her r potasel ç arı arı kutup oktaları celeerek rezdü hesaı apılmıştır.

13 3 Bu tez dördücü ölümüde SUSY kuatum mekağ le KHJ şekldek k arı metot arasıda r lşk kurulmuştur. Bu ölümde KHJ metodu le Süpersmetr ve Süpersmetr dört arı metoduda r ola şekl değşmezlk model arasıda lşk kurulacaktır. Şekl değşmezlk kullaılarak, farklı eerjlere karşı gele KMF kesrsel doğrusal döüşümlerle ağlatılı olduğu gösterlp, herhag r kuatum mometum foksou ç geel r tekrarlama ağıtısı verlecektr. So olarak eşc ölüm, souç ve tartışmalara arılmıştır.

14 4. KLSĐK MKNĐKT BZI KVRMLR.. Hamlto Mekağ Hamlto deklemler L Lagrage foksou; koum ve mometuma karşı gele q,...,, q q ve q, q q ɺ ɺ,..., ɺ ı foksoudur. Kısaltılırsa q geelleştrlmş koordatları, qɺ uları zamaa göre türev göstermek üzere L q, qɺ le verlr [6]. uler-lagrage hareket deklem t q, qɺ L q, qɺ L qɺ q L T V ve koruumsuz kuvvetler uluması durumuda L t qɺ q, qɺ L q, qɺ q Q hale gelr ve urada ɺ L. qɺ şeklde azılalr. Burada geelleştrlmş mometum p L. qɺ

15 5 olarak taımlaır. Bu ve uda sorak eştlklerde :,,.., değerler alır. Sstemmz her r parçasıı a koumu ve hızı, tae q ve qɺ değşkeler değerler le elrleelr. Buula rlkte ş.. ve ş.. deklemler, qɺ a göre q ve p csde çözüp qɺ qɺ q, p olarak elde edlelr. q ve p r foksou ola fade H β p q ɺ β β L.3 şeklde verlr. Bu fade Hamltoe foksou olarak taımlaalr. Buradak qɺ değşkeler qɺ qɺ q, p le verle q ve p foksolarıdır. Foksoel ağımlılık elrtlrse H q, p β p β qɺ β q, p L q, qɺ q, p olarak azılır. Buda sora hamlto deklemler elde etmek ç, H türevler alırız. Öce p a göre türev alıır ve u qɺ term, p qɺ toplamıdak p ı katsaılarıdır. Ötek termler, qɺ ı q a ağımlılığıda gelr. Tümüü r araa toplaarak azarsak H p qɺ β p β qɺ p β β L qɺ β qɺ p β.4 elde edlr. ş.. de dolaı kc ve üçücü termler rr götürür ve urada H p qɺ.5

16 6 azılır. q a göre türevler celersek e k tür term vardır. Brcs L q a açık olarak ağlı olmasıda gele term, kcs de olmasıda gele termdr. Bölece qɺ ı q a ağlı H q L q β p β qɺ q β β L qɺ β qɺ q β elde edlr. Daha öce olduğu g kc ve üçücü termler rr götürür. ş.. deklem kullaılırsa H q pɺ.6 le rlkte H p qɺ.7 elde edlr. ş..6 ve ş..7 Hamlto deklemler oluştururlar [6]. Lagrage deklemler tae kc derecede dferasel deklem olmasıa karşılık ular tae rc derecede deklem takımıdır... Lagrage Mekağ... Geelleştrlmş koordatlar; Holoomk sstemler N parçacıkta oluşa r katı csm ç ütü parçacıkları koumları, 3N saıda koordatla elrtlelr. Buula eraer 3N saıda koordatı heps ağımsız değşke olmaıp sstem katı csm olmasıda kaaklaa ağ koşullarıa tadrler. Gerçekte, her parçacığı koumu, tam olarak altı celğ elrlemes le tespt edlelr. Öreğ, kütle merkez üç X,Y,Z koordatları ve ö elrlee

17 7 üç ϕ, θ, ψ uler açılarıdır. Bu altı celk, katı csm ç r geelleştrlmş koordatlar takımı oluşturur [6]. Her parçacığı koumu, ger kala geelleştrlmş koordatları değerler ve t zamaı le ta edlr. Geel olarak elrl r sstem ç, sstem oluştura parçacığı u değşkeler ve zamaı r r foksou se q,..., olarak adladırılır [6]. q, q,..., q, t le verle açık r, q q değşkeler r geelleştrlmş koordatlar takımı Koordatları ked arasıda eştlklerle verle ve zamaa açık olarak ağlı ulumaa a z z sat vea r R g ağ koşullarıa doğal holoom ağ koşulları der. cak zamaa ağlılık varsa, z R t g koşullara zorlamış holoom ağ koşulları der [6]. Doğal ve zorlamış sstemler arasıdak aırım daha sora fadalı olalecek r aşka olla fade edlelr. r r alıarak. parçacığı hızıı [5]. qɺ... ɺ q, q,..., q, t eştlğ zamaa göre türev q ları doğrusal r foksou olduğu görülür r r q qɺ r t.8 So term zamaa açık olarak ağlı olmakta türee r termdr ve doğal r sstem ç sıfırdır. T mɺ r.9

18 8 ş..9 deklem koduğumuzda qɺ,..., ɺ q zama türevler kuadratk r foksouu elde ederz. Doğal r sstem ç fokso r homoje kuadratk foksodur. Fakat zorlamış r sstem ç doğrusal ve sat termler de vardır. Smetrk katı r csm ketk eerjs fades T M X ɺ Yɺ Zɺ ɺ φ s θ ɺ θ Iɺ 3 ψɺ ɺ ϕ cosθ. şekldedr [6]..3. Hamlto-Jaco Teors Hamlto deklemler şekl değştrmee kaok döüşümler q, p olduğuda kaok koordatları kaok döüşümler aracılığıla azılalr. Burada e değşkeler ve Q zamaa ağlı değldr [5]. t Q t. K Q,, t olmak üzere e r Hamltoe taımlaır. ş.. kullaılarak K Q ɺ Q sat ve. K ɺ β sat Q olur ve ş.. azılalr. Kaok döüşüm soucu elde edle Hamlto foksouu sıfır olması ze

19 9 K F H.3 t deklem verr. Buda dolaı ş..3 deklem F H q, p, t t olur ve F üretc fokso olmak üzere p F q, olduğuda, Hamlto-Jaco deklem, F F F H q,..., q ;,..., ; t.4 q q t olarak elde edlr. F foksou q; q t F L ɺ ; dt sat şekldedr. Geellkle F ere S Hamlto u aş foksou olarak kullaılır q;ɺ q t S L ; dt sat Hamlto u varaso lkes L q; q; t dt değşmde t δ ɺ zamaa göre elrl tegral t

20 p S q; β; t q Q S q; β; t β.5 şeklde çözülür ve sattr. Dolaısıla S S S H q,..., q;,..., ; t q q t olur. Hamlto foksou zamada ağımsız se S q; β; t W q, β a t.6 şeklde verlr. ş..6 da a Hamltoe eerj satdr. Buraa kadar olaları özetlersek, klask mekağ faz uzaı formalzm ze q, p kümes r foksou ola Q, kaok değşkeler çft sumamıza olaak verr. k k Hareket deklemler Hamltoe formu, eğer kaok r döüşüm se koruumludur. Hamlto Jaco teorsde ararlaıla u serestlk ze döüşümler aparak klask mekak prolemler çözümüü sağlar ve Hamltoe sat hale gelr. k k W q, r üretc fokso olmak üzere Hamltoe sat hale getrr. sk ve e kaok değşkeler u durumda p W ve q Q W olur. Ye değşkelere ağlı Hamltoe se

21 W H q, q.7 şekldedr. ş..7 Hamlto-Jaco HJ deklemdr. W q, se karakterstk foksodur. Hamlto-Jaco deklem çözümler uler-lagrage deklem tüm çözümlere eşdeğer olduğu lr. lem değşke J olmak üzere, hareket deklem çözmede frekaslar W J dq.8 q c ş..8 tegral le uluur. Burada tegral C kapalı eğrs hapsettğ ala çevresdedr. J se hareket sat csdedr. H H J, J,... J geelleştrlmş faz uzaı değşke ω açı değşke olmak üzere ω ν t β şekldedr. Bu se ze perodk hareket frekaslarıı verr..4. Matematksel Kavramlar.4.. Kompleks düzlem ve kutupsal gösterm Kompleks değşke dk r koordat düzlemde gösterelrz. Buu ç reel ve saal ekselerde oluşa koordat sstem alıır [7].

22 Şekl.. Kompleks düzlemde r z ± saısıı gösterm. z kompleks saısı z olarak taımlaır. Kompleks saıı üüklük fades r z taımlaır. Burada souç olarak le verlr. rgüma ve faz olarak se ϕ arcta değer r cosϕ ve r sϕ ortaa çıkar. Kompleks saılarıı kutupsal gösterm z r cosϕ sϕ olarak gösterlr [7]. Burada sϕ ve cosϕ foksoları Talor serse açılırsa ve ϕ kutupsal gösterm fadesde azılırsa şeklde e cosϕ sϕ uler formülü olarak elde edlr [7]..4.. altk foksolar Teorem : Br D ölgesde r f z foksou, eğer D dek tüm oktalar ouca taımlı ve türevleelr se aaltktr der. f z foksou D de r z komşuluğuda aaltk se r z z oktasıda f z aaltktr der. Teorem : f z foksou aşağıdak g f z u, v,.9 olmak üzere, r z oktasıı komşuluğuda taımlı, sürekl ve z de türev ola r fokso olsu. Bu oktada, kısm türevler Cauch-Rema deklemler sağlarlar.

23 3 u v, u v Bölelkle eğer kısm türevler sağlaıorsa, f z foksou r D ölgesde aaltktr der Krtk oktalar Sıfır Noktası z a oktasıda fa se u okta fz foksouu sıfır oktasıdır. Fakat f a, se a oktası rc merteede sıfır oktası olur [7]. Tekl Noktalar fz foksouu aaltk olmadığı oktaa tekl okta der ve üç e arılır [7] : * Zahr tekl okta : za da fz aaltk olmamalı fakat, z a olurke f z < N g solu r N saısıda küçük se a oktası zahr tekl okta olur. ** Kutup oktası z a ke f z olursa a r kutup oktası olur. Gösterm olarak lm z a f z se ve lm z a f z z a aaltk oluorsa a oktası rc derecede kutup oktası olur.

24 4 *** saslı Tekl Nokta Zahr ve kutup tekl okta dışıda kala oktalara esaslı tekl okta der. Gösterm olarak lm z a f z z a fades aaltk olacak şeklde, solu r değer ulumuorsa, za oktası esaslı tekl oktadır [7] Lauret sers f z,merkezler z ola k eşmerkezl çemer C, C le çevrelee ölgede aaltk olsu. Bu durumda f z aşağıdak g Lauret serler le temsl edlr f z a z z z z.. Burada ser katsaıları a π f z * C z z dz * π f z * C z z dz * şekldedr [39] Rezdü ve tegral hesapları Teorem : f z, ast ağlatılı r D ölgesde aaltk se, D dek her r ast kapalı c eğrs ç fade

25 5 f z dz C şekldedr. Bu teorem, Cauch tegral teorem olarak lr. Teorem : f z ast ağlatılı D ölgesde aaltk se, f z tegral D dek olda ağımsızdır. Teorem 3: f z ast ağlatılı D ölgesde aaltk olsu. O halde, herhag r z ç z ı çe ala herhag r C ast kapalı ol olmak üzere f z dz π f z z z C şeklde olup urada C öü saat öüü ters olarak alıır. Bu Cauch tegral formülü olarak lr. Teorem 4: f z ast ağlatılı D ölgesde aaltk olsu. Foksou D ölgesdek türevler de D de aaltktr. z oktasıdak türevler aşağıdak ağıtı le verlr! f z f z dz, π C z z,, Bu teoremler spatları urada verlmeecektr. Br f z foksou C eğrs çde r a oktası harç, her erde aaltk se, foksou u a oktasıdak rezdüsü Res f a f z dz π C.

26 6 olarak taımlaır. Rezdü değer C eğrsde ağımsızdır. Fokso a oktası harç her erde aaltk olduğuda C eğrs şekle ağlı değldr. Foksou aaltk olduğu r oktada rezdü sıfırdır. Rezdü, foksoları aaltk olmadığı erlerde tegral hesaplama amacıa öelktr [7]. Kompleks foksoları tegraller almakta zorlaırız. Fakat rezdü metodula kolaca hesaplaır. Rezdü metodula tegral hesaplarıı rkaç aşlık altıda toplaır. π türü tegraller; f sθ, cosθ dθ Kompleks düzlemde z çemer üzerdek r tegral [,π] r tegrale eşdeğerdr. Bu çemer üzerde r z aralığıdak reel θ z e ; e z θ θ ; dz e dθ zdθ cosθ z ; sθ z ve z z dz d θ z değşklkler apılırsa, kompleks düzlemde z çemer üzerde tegral alıalr [7]. Q d türü tegraller; ve Q polom olmak üzere Q d

27 şekldek fade Q polomu u dereces, 7 polomu u derecesde e az k derece üksek olmalıdır ve Q sıfır oktaları reel ekse üzerde olmamalıdır. Q z d π Re s k Q z k k f cos ad ve f s ad türü tegraller; Bu tegral e a arılalr [7]. cos a s a olduğuda u tegral reel ve saal kısım olarak I d f cos ad f s ad k e f Jorda teorem : se ve C R kompleks düzlem üst arısıda R arıçaplı arım r çemer z olurke f z oluorsa lm R C: R e a f z dz a> Souç olarak Jorda teorem kullaılarak u tür tegraller ç metot e a azk f d π Re s{ f z e } k k zk üst arım küredek kutuplardır [7].

28 8 v f ad / türü tegraller ; Kutup oktası reel ekse üzerde se tegral alıması zorlaşır. Buu ç C eğrs çde C R g küçük r arım çemerde geçrlerek şlem apılır. Burada a kutup oktası olmak üzere N f f zk d π Re s πf a a k zk a fades le çözüm apılır.

29 9 3. KUNTUM HMILTON JCOBI TORĐSĐ Hamltoe şlemcs ħ d H V m d 3. olarak verlr. Burada tek outta, r çzg ouca hareket ede rölatvstk olmaa parçacıklar celer. Bast olması açısıda zamada ağımsız Schrödger deklem H ψ ψ ħ d ψ V ψ ψ m d 3. şeklde azılır. ş.3. dek şlemc ve özdeğerler ˆ H H ˆ, pˆ pˆ V ˆ, 3.3 ˆ, pˆ ħ / / olarak verlr. ş.3.3 de ˆ doğrusal koordat, pˆ mometum şlemcsdr. Sstem ç kuatum döüşümüde kurallara ugu e koordat kümeler Qˆ ve ˆ olarak taımlaır. Đşlemcler ere özdeğer kavramı vurgulaacaktır. Bua göre özdeğerler ve özfoksolar, Ĥ ere özdeğer azılalr [8]. p W, /, 3.4 Q W, /,

30 ş.3.3 dek fadeler ş.3. deklemde ere azarsak sat m olmak üzere, üretc foksou ħ W, W, V 3.5 Yukarıdak deklem sağladığı varsaılır ve W, le KMF arasıdak lşk W p, 3.6 olur. Souç olarak ħ m p p V 3.7 elde edlr. ş.3.7 deklem KHJ olarak adladırılır. KMF le klask mometum arasıdak lşk lm p, p, V ħ klask 3.8 şekldedr. Burada ħ lmtde KMF, klask mometuma döüşür. Döme oktaları, klask mometumu sıfıra eşt olduğu oktalardır. Ya p, p, klask klask dır. Klask elem değşke klask taım geelleştrlerek apılır ve π C kl p, d

31 tegral ardımıla taımlaır. Burada tegral C kapalı eğrs hapsettğ ala çevresdedr. O halde kuatum elem değşke geel klask taımda ola çıkarak uluur. p, KMF olarak taımlaır. J J, π p C d 3.9 le verlr. ş.3.9 deklem elem değşkede eerj özdeğere geçmemz sağlar. J hareket değşke özdeğer, eerj özdeğer e ağlar. ş.3.9 da kullamak ç hareket değşke J özdeğer elde edlmes gerekldr. Bölece reel ekse üzerde u durumda KMF u döme oktaları arasıdaħ kadar kutup oktaları vardır. Ya temel durum, rc uarılmış durum, kc uarılmış durum g eerj seveler uluur. Dolaısıla kuudak KMF u kutupları ze sstem uarılmış durumlarıı verr [8]. Ya; J J ħ,,,3... ve eerj özdeğerler, hareket değşke özdeğer ç ħ değer le lşkldr. Bu durum Şekl 3a ve Şekl 3d de gösterlmştr. ş.3.9 deklem tersrdr. Bölece J J vea J deklem verr [8]. Burada dkkat edleceğ üzere W zamada ağımsızdır. rıca Hamlto-Jaco deklem geel olarak k vea üç outta da çalışılalr; u durumda şlemcs çalışılacak ola koordatlarda azmak ugudur. ħ. W W. W V.

32 Şekl 3..Kompleks düzlemde, klask ve kuatum mometum gösterm [8]. Şekl 3.. Kompleks düzlem üzerde, p kl, klask mometum foksou ve p, KMF olarak taımlaır. Döüm oktaları ve dr. Gösterle düzlemde; durumu: p, temel durumlar ç kutup oktası oktur. B durumu: p, r kutu üük okta rc uarılmış durum çdr. C durumu: kc uarılmış durum ç k kutup üük oktalar vardır. D durumu: düzlem gösterle p, o üç kutup üük oktalar o üçücü uarılmış durum ç ve kutupları kuatum hareket değşke olarak C kotur çde kullaılır. durumu: p kl, klask momet foksou ve kutup oktaları arasıda keslmş hal düzlemde gösterr [8]. Rölatvstk olmaa kuatum mekağde aaltk olarak çözülele, tüm özdeğer ve özfoksoları kes olarak le potaseller saısı sıırlıdır. Bazı potaseller Morse, ösch-teller, ckart v. olarak saılalr. Bu tp potaseller ç sorak ölümde göreceğmz eş potaseller arasıda r lşk vardır [36]. 3.. Morse Ttreşcs erj Spektrumu Morse potasel

33 3 V B e B e 3. olmak üzere ve azılır [4]. Burada ħ m atomk rmler kullaılarak ş.3.7 deklemde ere,, B e B e 3. d, fades alır. Burada, olarak taımlaır. ş.3. deklemde d e r değşke değştrmes apılırsa B e kullaılırsa d Be d olur ve urada, d d d d d d Be d d ı, olacaktır. Bular ş.3. deklemde azılırsa ~ 3. 4 ~, ',.

34 4 elde edlr. Burada ~ ve ş.3. deklem daha ugu r forma getrlelr. Buu ç,, ~ φ le verle r döüşüm ugulaır. Türev alıdığıda,, ~ φ φ olur. Heps rlkte ş.3. deklemde ere azılırsa φ φ φ elde edlr. ş.3.3 deklem term le çarpılırsa [ ] 4 φ φ φ 4 φ φ φ hale gelr. Souç olarak 4 4 ' φ φ 3.4 deklem elde ederz. Şmd de

35 5 χ, φ, döüşümü ş.3.3 dekleme ugulaırsa φ χ, dφ φ olmak üzere φ χ d ' χ χ ş.3.5 le verle Rccat dekleme ulaşılır. Burada ıχ kutupları olduğu görülür ve sat kutup ç da redzü hesaı apılır. ç χ a a... ve türev fades dχ χ d χ a... sers kullaılır. Buu ş.3.5 deklemde ere azılır ve düzelerse

36 6 4 a a a a a a a elde edlr. ş.3.6 deklem düzelerse a a a a a a a hal alır. ş.3.7 de parateze alma şlem ugulaırsa 4 : : : : 4 : a a a a a a a şeklde deklemler gruu elde ederz k,a ve a çözümler tüm u deklemler sağlaması gerekr. O halde katsaısıda ± 3.8

37 7 elde edlr. Dolaısıla rezdü görüldüğü g çft değerldr. Dğer çözümler a ve a ± olarak uluur. Morse potasel ç, süperpotasel le verlr [4]. ş.3.8 deklemde doğru şaret ulmak ç W Be, mw lm ada ~ lm ~, W şartı kullaılır ve urada lm elde edlr. değer ç doğru değer 3.9 şekldedr. kullaılır ve ' da rezdü hesaı ç ş.3.5 deklemde döüşümü t ~ χ χ t t ~ ~ χ t t χ t t t t

38 8 ~ t olur. ş.3. deklemde t d d t d... χ sers kullaılır ve urada t π da χ t rezdüsüü p, çözüme devam edlrse C d tegralde elde edleceğ ser [ d t d t...] t [ d d...] t d t t 4 4 olarak uluur. ı şeklde t grupladırmasıı ugulaırsa d ± 3. ve d d 3. elde edlr., d ψ e fadesde, tegral acak ağlıdır. O halde doğru değer d dr. d ç sosuza 3.. Kuatzaso Kuralı ve Özdeğerler C kompleks düzlemde döme oktaları arasıdak reel ekse hapsedldğ kotur çzg olmak üzere J p, d ħ π,,,

39 9 kuatzaso kuralıdır. d Be d B e ç olur. ş.3.3 deklemde ere azılırsa J π X d c ı ħ,,,... C, -düzlemde C çzgs düzlemdek görütüsüdür.cak türevde gele egatf şaret edele ö saat öü tersdr. Şekl 3.. Kompleks düzlemde J tegral gösterm γ, oktasıı çe ala küçük r çemer olarak taımlamıştır. Γ R se R arıçaplı daha üük r çemerdr. Öle k halde p, tüm tekllkler çe alır o I γ IΓ R j 3.4 urada Ιγ çzg tegral ı çere γ koturu ç ve Ι Γ, Γ koturu ç çzg tegraldr. Ιγ çzg tegral değer ve J değer se dr. R R ΙΓ ç se R t

40 3 döüşümüde dolaı d olur. ç e kotur: t deklemde Γ R olup, Γ R o halde ş.3.4 I γ I r j Γ azıldıkta sora artık d 3.5 fadese kolalıkla ulaşılır ş.3.5 deklemde ş.3.9 ve ş.3. deklemler azılırsa d fades elde edlr. Bu fade düzelerse d ve urada eerj değer 3.6 olarak elde edlr. Bu souç referas [4] le uumludur. ş.3. e göre da χ r kutu vardır. ı zamada u deklem dalga foksouu kutuplarıa karşı gele tae de hareketl kutup çermektedr. Solu kompleks düzlemde aşka kutup oktur. Çok üük ç χ ağlı olduğu görülür. Louvlle teorem kullaarak

41 3 k k c χ 3.7 ş.3.7 de ve c sattr. ş.3.9 de verlmştr. k k 3.8 Burada k k olmak üzere ş.3.8 fades ş.3.7 de ere azılır ve ş.3. deklem kullaarak 4 c c c ı 3.9 fades elde edlr. Çok üük değer ç kullaıldığıda ± c elde edlr ve tegralleelrlk koşuluda c olur. katsaısıa akılırsa c c fades elde edlr. ş.3.9 ve ş.3.6 ı kullaırsak

42 3 { } s 3.3 elde edlr ve ş.3.3 deklem geel olarak β le verle Laguerre dferasel deklemdr ve L β 3.3 olarak elrler Dalga foksou çözümlere ulaşalmek ç d e, ψ kullaılarak d ı e ψ elde edlelr, o halde e s ψ 3.3 azılır. ş.3.3 deklem ş.3.3 de ere azılırsa e s ψ 3.33 fades elde edlr. Burada s şeklde taımlıdır.

43 öschl-teller otasel öschl-teller potasel h B h B V csc coth csc 3.34 ve süperpotasel fades h B W coth csc <B 3.35 şekldedr [9]. ş.3.6 deklemde m ħ alıırsa ve ş.3.34 fades u deklemde ere azılırsa, - [ ] h B h B csc coth csc, elde edlr. Ye değşke değştrlrse cosh olur.bu durumda kuatum Hamlto-Jaco deklem, ~, ~ - B B 3.36 hale gelr. Burada ~ ~ dr. ş.3.36 deklem

44 34, ~ φ 3.37 ş.3.37 döüşümü daha ugu r forma getrr. Bölece 4 φ φ B B 3.38 fades elde edlr [9]. ş.3.38 de φ χ 3.39 değşke değştrlmes apıldığıda ş.3.38 deklem 4 3 χ χ B B 3.4 ş.3.4 şeklde azılır. Burada ± ç χ kutupları uluur. Hareketl kutuplarda klask döme oktaları arasıda hareket ede kutuplar vardır. ç... a a χ 3.4

45 35 deklem uluur [9]. ş.3.4 de ş.3.4 deklem azılarak l term katsaısı ± [ B ] şeklde uluur ve ugu durumlarda değerler terch edlr. ~ ~ lm Re s, Res W, Morse ttreştrcs ç süperpotasel açıkça gösterlr [9]. B ç aı şeklde χ c c olarak uluur. ş.3.43 fades ş.3.4 deklemde azılarak l term katsaısı B şeklde uluur. ş.3.4 de görüldüğü g hareketl r kutup vardır. Bu edele χ c 3.45

46 36 şekldek forma ulaşılır. Burada, ve c sat, se polom olarak alıır [9]. ş.3.45 fades ş.3.4 deklemde ere azılırsa ' c c c 8 3 c B 3.46 fades elde edlr. ş.3.46 dek farklı termlere akıldığıda çok üük değerler ç katsaı sıfır alıır. Sat term sıfıra gtmes c ı verr. Kala termler azılırsa 8 3 B 3.47 şeklde olur. Çok üük değer ç g davraır ve ş.3.47 dek deklem kullaılarak l term katsaısıı verr [9]. 8 3 B 3.48 ş.3.4 ve ş.3.44 fadeler ş.3.48 deklemde ere azarsak ş.3.6 eerj taımıı verr. ş.3.6, ş.3.4 ve ş.3.44 deklemler ere azılırsa ş.3.47 deklem [ ] [ ] s s λ 3.49

47 şekldek Legedre dferasel dekleme döüşür. ş.3.49 deklem stadart Jaco polomua ezer. 37 s, λ β şeklde taımlaır ve polomu, β λs, λs elde edlr. öschl - Teller potasele at dalga foksou Morse ttreştrcs le ezer özellk gösterr [9]. Souç olarak λs λ s λs, λs ψ 3.5 elde edlr ve lteratürdek değerler le uuşur [4] ckart otasel ckart potasel V B B coth csc h 3.5 le verlr ve ua karşı gele süperpotasel B W coth B 3.5 şekldedr [9].Bkz.4. Bölüm ş.3.6 deklemde ħ m alıırsa ve ş.3.5 fades u deklemde ere azılırsa

48 38 ' B,, B coth csc h 3.53 elde edlr ve e r değşke değştrlse coth kuatum Hamlto-Jaco deklem ɶ, ɶ B, B 3.54 ' hale gelr. Burada ~ ~ dr. ş.3.54 deklem ~, φ 3.55 ş.3.55 döüşümü daha ugu r forma getrr [9]. Bölece φ φ B B 3.56 fades elde edlr. Buda sora χ φ 3.57 kullaılırsa ş.3.56 da ş.3.57 de ere azılırsa

49 39 ' χ χ B B 3.58 elde edlr. ± ç χ kutupları uluur. Hareketl kutuplarda klask döme oktaları arasıda hareket ede kutuplar vardır [9]. ç... a a χ 3.59 deklem uluur. ş.3.58 de ş.3.59 deklem azılar ve l term katsaısı ± B şeklde k değer elde edlr. Morse ttreştrcs ç süper potasel durumua göre doğru değer B 3.6 olarak uluur. Bezer şeklde - ç hesaplaırsa B 3.6

50 4 olur χ ş.3.45 deklem formua getrlmeldr. ş.3.45 deklemde ş.3.57 deklem azılırsa ezer şeklde Morse ve oschl Teller potasel c değerde deklem soucu B 3.6 olarak elde edlr [9]. Çok üük değer ç g davraır ve l term katsaısıı verr. B 3.63 ş.3.6 ve ş.3.6 fadeler ş.3.63 deklemde ere azılırsa B B 3.64 elde edlr ş.3.64 eerj taımıı verr. ş.3.6, ş.3.6 ve ş.3.64 deklemler kullaılırsa ckart potasel ç ş.3.63 dferasel deklem azılır [9]. [ ] [ ] s s 3.65 ş.3.65 deklem stadart Jaco dekleme ezer. Burada satler s, β λ s λ 3.66

51 4 şeklde taımlaır ve çözümler, β S S 4 3, şekldedr. ckart potasel dalga foksou ψ e, d kullaılarak S3 S4 S3, S4 ψ 3.67 şeklde elde edlr [9]. Bu değerler lteratürdek eerj ve dalga foksou le uuşmaktadır [4].

52 4. SÜRSĐMTRĐK KUNTUM MKNĐĞĐND KUNTUM HMILTON JCOBI YKLŞIMI Süpersmetrk Kuatum Mekağ Süpersmetrk kuatum mekağ ş.4. ve ş.4. le verle süpersmetr şlemclerle { } Q j Q, δ H,j,, N 4. j [ Q, H] 4. karakterze edlr. Burada N üretc geerator aded, H se süpersmetrk Hamltoe, Q, Q süpersmetr şlemcler göstermektedr. Süpersmetr j atkomütatör olması dğer smetr türlerde arılmasıa ede olur. tkomütatör özellğde dolaı; süpersmetr, kuatum mekağe ugulaması soucu ortaa çıka süpersmetrk kuatum mekağde her fzksel celğ r eş olacaktır. Gerçek fzksel celkler, u eşler tarafıda teşkl edlr ş.4. [36]. Burada sadece k şlemc çere N ast sstemler göz öüe alıırsa, Q ve Q şlemcler Q Q Q / Q Q Q / 4.3 şeklde fade edlelr. Ye şlemcler csde ş.4. fades H{ Q, Q }, Q, Q 4.4

53 43 elde edlr ve ş.4. eştlğ se [, H] Q [ Q, H] 4.5 şeklde verlr. ş.4.4 ardımıla süpersmetr şlemcler Q ve Q 4.6 olarak azılalr. Burada adjotdr. Süpersmetrk Hamlltoe, ve ş.4.4 fadelerde doğrusal dferasel r şlemc, se ı H eş Hamltoeler csde ş.4.6 H H H olarak elde edlr. Doğrusal şlemcler csde eş Hamltoeler H ħ d µ d V 4.7 ħ d µ d H V olarak uluur. Süpersmetr ozulmaması ç, V eş potasele karşılık gele taa durum dalga foksouu ormalze olması ve taa durum eerjs olması gerekr. Bu sstemlerde V V tam değerlere sahp olur. Bu tür sstemler ç ψ azılırsa uluacak spektrumlar ψ olacaktır [36].

54 44 ψ µ ψ V d d H ħ azılır. Burada d d d d H ψ ψ µ ħ 4.8 olarak fade edlr. ş.4.7 ve ş.4.8 eştlklerde, doğrusal şlemcler taa durum dalga foksoları csde d d d d o ψ ψ µ ħ 4.9 d d d d o ψ ψ µ ħ le verlr. Süpersmetrk kuatum mekağde d d W o ψ ψ µ ħ 4. fades, süperpotasel olarak lr ve d W o ep ħ µ ψ

55 45 taa durum dalga foksou, ş.4. dak g süperpotasel csde u şeklde fade edlr. Doğrusal şlemcler, süperpotasel csde verp ş.4.9 ve ş.4.7 eştlkler göz öüe alıırsa, süpersmetrk eş potaseller ħ V± W ± W ' 4. µ olarak uluur. V eş potaseller taa durum eerjs harç ±, aı eerj spektrumlar uluur. Buda dolaı ; ψ ve ψ, sırasıla ve özdeğerler vere H ve H eş Hamltoeler özfoksoları le taımlaır. Bölece ψ, H eş Hamltoe durum şlemc ve özfoksolarla alatılmıştır. özdeğerl r özfoksou olur [36]. şağıda u H ψ ψ Hψ 4. ψ ı şeklde ψ, H eş Hamltoe özdeğerl r özfoksou olacaktır H ψ ψ H ψ 4.3 ψ ş.4. ve ş.4.3 deklemlerde

56 46 ψ [ ] ψ ψ [ ] ψ olduğu görülür ve,,,... le verlr ş.4.3 [36]. 4.. Kuatum Hamlto Jaco Teors le Süpersmetr Brleştrlmes Süpersmetrk Kuatum Mekağ, Schrödger deklem aalz edlmesde oldukça öeml r ere sahptr []. Bua ek olarak potasel ölgeler açıklamada da ardımcı olmuştur. Süpersmetrk kuatum mekağ le çeştl potaseller cersel çözümler kolalaştırır []. Bu ölümde kuatum Hamlto-Jaco formalzm süpersmetrk kuatum mekağ metotlarıda r ola şekl değşmezlğ le lşkledreceğz. Şekl değşmezlğ kullaarak, farklı eerjlere karşı gele KMF ı kesrsel doğrusal döüşümlerle lşkl olduklarıı göstereceğz. KHJ aklaşımıda, kuatum mekaksel sstem spektrumu deklem çözümler le taımlaır, p p, p, V, 4.4 C Burada ħ m, potasel daaıklılık karakterstk katsaısıdır. ş.4.4 deklem Schrödger deklem le lşkldr [38]., ψ ψ V. 4.5 ş.4.4 le ş.4.5 özdeğer deklem arasıda

57 47 ψ p 4.6 ψ ş.4.6 foksou kullaılarak geçş apılır [38]. Bu edele dalga foksou ψ e d şeklde olacaktır. ş.4. fades sırasıla azılırsa, W, W, V 4.7, W, W, V 4.8 W, reel r foksodur ve süperpotasel olarak smledrlr []. Hamltoe H, ç, V potasel seçlr, uu temel durum özdeğer dr. Bezer şeklde eş Hamltoe H, ç, V kullaılır. Özdeğer sers taa durum harç şeklde aıdır. Şmd H, Hamltoee akarsak, V özfoksolarıı ψ le göstermek gerekr ve gelr. ş.4.4 de ş.4.7 fades ere azılırsa p ψ / ψ kuatum mometum foksoua karşı p, p, [ W, W, ] 4.9 elde edlr. eerj durumu ç ş.4.9 u çözümü, W, p 4.

58 48 şekldr. ş.4. deklem aşlagıç koşuluu sağlaması gerekr. Süpersmetrk H eş Hamltoe, ve p, le verlr. Bu se, ezer şeklde eş kuatum mometum foksou vardır [ W, W ] p, p,, 4. olarak verlr. ş.4. e karşı gele Schrödger deklem azılır. ± ± H,ψ W, W, ± ψ ± [ ± ] ψ ± ψ 4. ş.4.9 ve ş.4. deklemler ş.4. le lşkledrlse kuatum mometum foksou ± ± ψ p ± ψ 4.3 ş.4.3 şeklde uluur. ş Hamltoeler ş.4.9 dak şlemcler ere azılırsa ş.4.7 şeklde fade edlrse ve ψ ψ C ψ Wψ 4.4 C C ψ ψ C ψ Wψ 4.5 eş dalga foksolar olmak üzere ş.4.4 ve ş.4.5 elde edlr [38]. Burada C ormalzaso satlerdr. p ve C ve p arasıda lşk ulmak ç ş.4.4 ve ş.4.5 arasıda ağlatı kurulur. Burada ş.4.9 ve ş.4. deklemler kullaılırsa

59 49 ψ ψ ψ ψ C C W Wp W Wp şeklde elde edlr. ş.4.6 ve ş.4.7 deklemler çarpılır p p C C W Wp Wp W 4.8 fades elde edlr. p ve p ç ş.4.8 deklem çözülürse, lk olarak C, C ormalzaso satler çarpımıa akılır ψ C ψ ve ψ edlr [38]. Bölece ş.4.8 deklem ψ C elde ψ ψ C ψ ψ C ψ C ψ C C ψ ψ hale gelr. Hamltoe ş.4.7 de azılır. Bölece C C olur. Buda dolaı p Wp W p W a da p Wp W p W şekldedr. Bu k deklem aı süperpotaselle W, ağlatılı olduğu açıktır. Hamltoe çözülelr olması ç süperpotasel tegralleelrlk koşulu ola şekl değşmezlğ sağlaması gerekr [38]. KHJ formalzm üzerde şekl

60 5 değşmezlğ etks celeelr. Şekl değşmezlk a da şekl değşmez potaseller arasıda,, R V V 4.9 g r ağıtı vardır. ş.4.9 da R r sattr []. Đk eş KMF arasıda,, R Đ olduğu görülür. Burada,,,,,, R W p W p W Đ 4.3 olur ve,,,,,, R R R W p W p W Đ 4.3 ezer ağıtıları elde edlr [38]. ş.4.3 fades r kesrsel doğrusal döüşümdür [7]. Geel olarak u türde r döüşüm az f z cz d le verlr. f ve f ezer şeklde azılarak az f f z cz d olarak elde edlr. Burada katsaılar arasıda

61 5 a a a. c d c d c d lşks vardır. ş.4.3 formudak herhag r döüşüm f ç r ters döüşüm f acak ve acak ad c se vardır. Bu se doğrusal kesrsel, doğrusal döüşümler GL,C gruua zomorfk ola r grup kurmasıdadır. X lk matrsler zdüşümsel gruu kompleks durumları vardır. Bu üzde ş.4.3 ve ş.4.3 eş KMF fadeler le lşkledrlrse W, W, m W, ve m W, W, R W, olur ve urada kolaca KMF geelleştrlelr R Đ p R R, B, 4.3 C p, D Burada katsaılar determatı C B D m. m... m le verlr ve

62 5 k W, k W, k R j m k j, k,,..., W, k şekldedr. Burada k > R j olduğu ç ş.4.3 de dolaı, m k tekl olmaa j r matrstr [38].

63 53 5. SONUÇ V TRTIŞM Bu tezde KHJ formalzm çerçevesde kuatum mekağde r outta tam çözülelr modeller çalışıldı. Tam çözülelr modeller özdeğer ve özfoksoları, kompleks değşkeler teors kullaılarak sade r metot le elde edld. KMF u tekl apısı u öeml er tutar. Buu aı sıra, KHJ deklem Rccat dekleme döüştürmek ç değşke değştrmese htaç duuldu. Bu durumda, sat kutuplar ve karşı gele rezdüler elrlemek oldukça koladır. Zorluk, hareketl kutupları saısı ve koumladığı ölgede kaaklaır. Lteratürde çalışıla tam ve kısm çözülelr potaseller ç hareketl kutup oktalarıı saısıı solu olduğu görülmüştür. rıca, KMF u ağımsız değşkeler üük değerler ç davraışlarıı KHJ deklemde elrlelmes oldukça koladır. Bu tezde, ölelkle KMF u ugu değşke değştrmes soucu rasoel r fokso olduğu görülmüştür. Leacock ad adgett tarafıda verle kuatzaso koşulu r outlu prolemlere drgeelecek sstemlere ugulaalr. Bu tezle rlkte gelecekte daha üksek outlarda ama aırt edlemee sstemler ç tam kuatzaso koşuluu formülasou, arı-klask sstemlere ugulamaları ve hatta kaotk sstemlere ola ugulamalar oldukça lgç olacaktır. Bu tezde, KHJ aklaşımıı alızca ağlı durumlara ugulaalr olduğu görülmüştür. Sürekl eerj çözümler ç u aklaşım ç r değşklk apılması gerekr. Metodu Schrödger deklem çözmeksz ve dalga foksolarıı da elde etmeksz eerj özdeğerlere ulaşılmasıa olaak vermes dğer rçok metoda göre üstülük sağladığı görülmüştür. Bağlı durumlarla lgl spektrum hesaplarıı aı sıra, KHJ formalzm Süpersmetrk kuatum mekağ le lgl lşks de celed. Doğrusal kesrsel döüşümler le süpersmetrk eş potaseller kuatum mometum foksoları lşkledrld. Matrs temsl kullaılarak, herhag r şekl değşmez potasel ç kuatum mometum tekrar ağıtıları türetld. Grup teors temel le süpersmetrk KMF u ağlatısı KMF u özellkler daha der olarak

64 54 alaşılmasıa olaak verr. Gelecek çalışmalarda kesrsel Süpersmetrk kuatum mekağ le kuatum Hamlto Jaco arasıdak ağlatıı gelştrlmes le oldukça verml çalışmalar apılalmes mümküdür.

65 55 KYNKLR. Bhalla, R. S., Kapoor,. K., agrah,. K., actess of the supersmmetrc WKB appromato scheme, It. J. Mod. hs.., 54: Bhalla, R. S., Kapoor,. K., agrah,. K., Quatum Hamlto Jaco formalsm ad the oud state spectra, m. J. hs., 65: Bhalla, R. S., Kapoor,. K., agrah,. K., erg gevalues for a Class of oe-dmesoal potetals va quatum Hamlto Jaco formalsm, Mod. hs. Lett.., : Raja, S. S., Kapoor,. K., agrah,. K., Bad edge egefuctos ad egevalues for perodc potetals through the quatum Hamlto-Jaco formalsm, Mod. hs. Lett.., 9: Raja, S. S., Kapoor,. K., agrah,. K., eplct realzato of fractoal statstcs oe dmeso,. hs., 345: Raja, S. S., Kapoor,. K., agrah,. K., erodc Quas-actl Solvale Models, It. J. Theor. hs., 44: Raja, S. S., Kapoor,. K., agrah,. K., Quatum Hamılto Jaco aalsıs of T smmetrıc Hamltoas, It. J. of Mod. hs.., : Geojo, K. G., Raja, S. S., Kapoor,. K., stud of quas-eactl solvale models wth the quatum Hamlto-Jaco formalsm, J. hs : Math. Ge., 366: Raja, S. S., Geojo, K. G., Kapoor,. K., agrah,. K., Bad edge egefuctıos ad egevalues for perıodıc potetıals through the quatum Hamılto Jacoı formalısm, Mod. hs. Lett.., 9 7: Yeşltaş, Ö., Sever, R., poetal tpe comple ad o-hermta potetals wth quatum Hamlto Jaco formalsm, J. Math. Chem., 433: Yeşltaş, Ö., Ocak, S. B., The geeralzed T -smmetrc Sh-Gordo potetal solvale wth quatum Hamlto Jaco formalsm, It. J. Theor. hs., 47: Ocak, S. B., Yeşltaş, Ö., Demrcoğlu. B., Commuıcatıos statıstıcs-theor ad methods, It. J. Theor. hs., 47:

66 3. Yeşltaş, Ö., Demrcoğlu, B., Quatum Hamlto Jaco approach to two dmesoal sgular oscllator, Ch. hs. Lett., 5: Sukhatme, G. S., Supersmmetrc Quatum Mechacs ad Large-N pasos, hs. Rev. Lett., 54: Goldste, H., Classcal Mechacs 3rd ed., Wesle, Lodo, Kle, T. W., Berkshre, F. H., Klask Mekak, alme, kara, Karaoğlu, B. Fzkte ve Mühedslkte Matematk Metotlar, Blgtek, Đstaul, Leacock, R.., adgett, M., O the quatum Hamlto Jaco formalsm, hs.rev. D., 8: Geojo K G., Quatum Hamlto-Jaco stud of wave fuctos ad eerg spectrum of solvale ad Quası-actl solvale models, Thess a Doctor, Uversıt of Hderaad, 4: Cooper, F., Khare,., Sukhatme, U., Supersmmetr Quatum Mechacs, hs. Rep., 373: Dutt, R., Khare,., Sukhatme, U., Supersmmetr,shape varace ad eactl soulvale potetals, m. J. hs., 56: Leacock, R.., adgett, M., cto-agle formulato of agular mometum, J. hs. Rev. Lett., 5: Leacock, R.., adgett, M., Hamlto-Jaco/acto-agle quatum mechacs, hs. Rev. D., 8: Leacock, R.., adgett, M., cto-agle formulato of agular mometum, hs. Rev.., 33: Leacock, R.., adgett, M., Quatum acto-agle-varale aalss of asc sstems, m. J. hs., 55 3: Gozz,., Classcal ad quatum adaatc varats, hs. Lett. B., 654: Fsher, S. D., Comple Varales, Wadsworth Belmot Dresde, G.., Jue, Math. Mag., 77 3:

67 9. Beasle, C., Heckma, J., Vafa, C., GUTs ad eceptoal raes F-theor- II.permetal predctos, J. Hgh erg hs., : Grudlad, M.., Harto, J.., Ivarat solutos of the supersmmetrc- Gordo equato, J. hs. : Math. Theor., 4: apadopoulos, G., Ivarat Kllg spors D ad tpe II supergravtes, Class. Quatum Grav., 6: Suzko,., Halerg,. S., Supersmmetr ad Darou trasformatos for the geeralzed Schrödger equato, J. hs. : Math. Theo., 7: Calzada, J.., Negro, J., M del Olmo, The 5th Iteratoal Smposum Quatum Theor ad Smmetres, J. hs. Cof Ser., 75: Đspaa, Quese, C., ceptoal orthogoal polomals, eactl solvale potetals ad supersmmetr, J. hs. : Math. Theor., 4: Balatek,. B., algerac costructo of geeralzed coheret states ssocated wth q-deformed models for prmar shape-varat sstems, J. hs. : Math.Theor., 4: Göül, B., Süpersmetrk WKB metoduu azı potasel ugulaması., Yüksek Lsas Tez, Gaz Üverstes Fe Blmler sttüsü, kara, Cooper, F., Khare,., Sukhatme, U., Supersmmetr Quatum Mechacs, Lodo World Scetfc Sgapore, Rasaru, C., Dkla, J., Gagopadhaa,., actl solvale sstems ad the quatum Hamlto Jaco formalsm, hs. Lett.., 338 3: Kreszg,., Secod-Order leer odes, dvaced geerg Mathematcs th 9 ed., Wle, Oho,

68 58 ÖZGÇMĐŞ Kşsel Blgler Soadı, adı : RDOĞN, hmet Ferhat Uruğu : T.C. Doğum tarh ve er : kara Mede hal : vl Telefo : Faks : e-mal : ferhaterdoga_99@ahoo.com. ğtm Derece ğtm Brm Mezuet Tarh Yüksek lsastezsz Gaz Üverstes /Fzk Öğretmelğ Bölümü 4 Lsas Gaz Üverstes/ Fzk Bölümü Lse Keçöre Lses 996 Đş Deem Yıl Yer Görev 3-6 Net Dershaes Öğretme 6-9 Mav Lmt Dershaes Kurucu Yaacı Dl Đglzce Holer Basketol, Yüzme, Blgsaar tekolojler,