YARIİLETKEN KUANTUM ÇUKURUNDA ELEMENTER MODLARDA TEMEL PARAMETRELER VE BAZI NORMALİZE FREKANSLARDA ENERJİ ÖZDEĞER NOKTALARI

Transkript

1 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı HAVACLK VE UZAY TEKNOLOJİLERİ DERGİSİ TEMMUZ 004 CİLT 1 SAY 4 (61-73) YARİLETKEN KUANTUM ÇUKURUNDA ELEMENTER MODLARDA TEMEL PARAMETRELER VE BAZ NORMALİZE FREKANSLARDA ENERJİ ÖZDEĞER NOKTALAR Mustf TEMİZ Pmukkl Üivrsitsi, Mühdislik Fkültsi, Elktrik v Elktroik Mühdisliği Bölümü, DENİZLİ mustftmiz@yhoo.om Ö.Ödr KARAKLNÇ Pmukkl Üivrsitsi, Mühdislik Fkültsi, Elktrik v Elktroik Mühdisliği Bölümü, DENİZLİ krkili@yhoo.om ÖZET Yrıiltk plr çift frklı ypılı lzrlr (YPÇFYLr) i ypılrıı lktroik v optik özlliklri, YPÇFYLr içi kullıl mlzmlri lktroik ypılrıd iltim bdıdki lktrolr v vls bdıdki dliklri rji öz dğrlri (EÖDr) i lmıd lktrik lıı bzı prmtrlri isid ld dilmiştir. Elktro v dlik gibi yüklü prçıklrı EÖDr ii v η ormliz (boyutsuz) koordit prmtrlri, simtrik yrıiltk plr çift frklı ypılı lzrlri (AYPÇFYLr) i v simtrik yrıiltk plr çift frklı ypılı lzrlri (SYPÇFYLr) i bzı kçıılmz tsrım düşülri çısıd ömli prmtrlri rsıddır. Tşıyıılrı EÖDr i, ormliz frks (NF) V v ormliz propgsyo sbiti (NPS) gibi lktrik l prmtrlri isid ilmiştir. NPS, SYPÇFYLr içi kullıl mlzmlri bir çok ypısl özlliklrii içr ömli bir prmtrdir. Bu sbit, dim pozitiftir, 0 il 1 rsıddır, kullıl yrıiltk mlzmi bzı prmtrlrii v ktif bölg (AB) il gömlk bölglri (GBr) içidki lktrik lı propgsyou it propgsyo sbitlrii bir foksiyoudur. Ayrı NPS, doğrud doğruy, AB dki tşıyıılr it bğlı rjilri v/vy toprk rjisii d bir foksiyou olmktdır. NPS v NF V v SYPÇFYLr it ktif bölglr (ABr) içidki yüklü prçıklrı EÖDr ii v η ormliz koordit prmtrlri bzı tsrım düşülri çısıd ld dilbilir. η düzlmid EÖDr i oktlrı NF V trfıd d blirlir. Normliz frksı 1 dğrid (V=1) bir lktro vy dliğ it düşük optik modlu çift lktrik lı (ÇEA) os içi η düzlmid ormliz ksi üzrid 0 v π / rlığıd sd bir t EÖD çözümü vrdır. E düşük optik modlu tk lktrik lı (TEA) si içi ormliz frksı 1 dğrid (V=1) bir çözüm yok ik, ormliz frksı dğrid (V=) dğrid TEA si içi ylız bir çözüm buluur. Ahtr Klimlr: Simtrik kutum çukuru, Asimtrik kutum çukuru, Erji özdğrlri, ormliz propgsyo sbiti. ABSTRACT Eltroi d optil proprtis of th struturs of smiodutor plr doubl- htrojutio lsrs (SCPDHLs) r ivstigtd i trms of som prmtrs of th ltri fild i th ss of rgy igvlus (EEVs) of ltros i th odutio bd or of hols i th vl bd i th ltroi struturs of th mtrils usd for th SCPDHLs. Th ormlizd (dimsiolss) oordit prmtrs d η of th EEVs of hrgd prtils suh s ltros or hols r importt prmtrs of th symmtri smiodutor plr doubl-htrojutio lsrs (ASCPDHLs) d of th symmtri smiodutor plr doublhtrojutio lsrs (SSCPDHLs) for som ivitbl dsig osidrtios.th EEVs of rrirs r studid i trms of ltri fild prmtrs suh s ormlizd propgtio ostt (NPC) d ormlizd frquy (NF) V. Th NPC iluds lot of struturl proprtis of th mtril usd for th SCPDHLs d is importt prmtrs. This ostt is lwys positiv d btw 0 d 1. This is lso futio of th som prmtrs of th smiodutor mtril usd suh s th fftiv msss of th rrirs d th rfrtiv idx of th mtril usd d th propgtio ostts of th ltri filds for th tiv rgio (AR) d th lddig lyrs (CLs). Furthrmor, th NPC is dirtly futio of boudd d/or groud rgy for rrirs i th AR. Th prmtrs NPC d th NF V d th ormlizd oordit prmtrs d η TEMİZ, KARAKLNÇ 61

2 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı of th EEVs of hrgd prtils i th tiv rgios (ARs) of th SCPDHLs r obtid for som ivitbl dsig osidrtios. Th rgy igvlu (EEV) poits of th rrirs i th ormlizd oordit systm η (i th pl η ) lso b dtrmid by th NF V. For V=1 thr is oly o EEV solutio poit for th lowst-mod optil v ltri fild (EEF) os of ltro or hol, but thr is ot EEV solutio poit for th lowst-mod optil odd ltri fild (OEF) si of th rrirs btw 0 d π / o th dimsiolss xis i th pl η ). For th OEF futio thr is oly o solutio poit for V=. Ky Words: Symmtri qutum wll, Asymmtri qutum wll, Ergy igvlus, Normlizd propgtio ostt. [1] GİRİŞ Yrıiltk kutum çukurlrı, glksl yrıiltk v çoklu kutum çukurlu lzrlr vy süpr kfslr dy yrıiltk ihzlrı tml lmı olrk kullılır. Bu sbpt, dı gç optik ihzlrı lşılmsı, bu tml lmı prmtrlrii lşılmsı bğlıdır. Bir kutum çukuru, Şkil 1 d görüldüğü gibi üç bölgd oluşur., v il göstril bu bölglr,, v il göstril kırılm idislri shiptirlr. Üç bölgi iki frklı ypılı joksiyou vrdır. Bu frklı ypılr, yrıiltk ybı ktkı jksiyou il ld dil -tipi v p-tipi yrıiltklrl myd gtirilir. Glksl ypılrı ömlilrid ol mlzm gurubu glyum-rsik (GAs) v lümiyum-glyum rsik (Al x G 1-x As) yrıiltklri olrk biliirlr. Burdki x idisi, GAs mlzmsi içi ktıl lümiyum (Al) mlzmsii yüzdsii göstrir. Yrıiltk mlzm içi ktıl Al, bu mlzmlri iltkliğii v rji-bt ypısıı (E g ) tki bir şkild dğiştirir. Bu dğişiklik Şkil 1 d çık olrk görülmktdir. Al, içi ktıldığı mlzmi rji-bt ypısıı büyütmkt v kırılm idisii küçültmktdir. Al mlzmsii yrıiltklr bhşttiği bu özllik, ilri tkolojik mlzm ürtimid vzgçilmz bir özllik olrk ortddır [1,]. Çift frklı ypılı bir mlzm gurubu olrk bili Şkil 1 dki mlzm kompozisyoud AlAs i ypısıdki kristl kfslri, idl bir uyumu oluşturmsı bkımıd, ömlidir [3]. Şkild AYPÇFYLr v ou lktroik rji-bt ypısı görülmktdir. Şkildki bu ypı düzid, gömlk GBr i kırılm idislrii v is AB i kırılm idisii oluşturur. Yrıiltk içi ypı mlzm ktkısıyl myd gtiril bu ypı düzid, lktro v dliklri myd gtirdiği yük tşıyıılrı il optik l trfıd tmsil dil fotolr AB içid hpsdilir v yı bölg içid tşıyıılrl fotolr tkilşirlr [1,]. AB gl lmd yük tşıyıılrı içi çok iyi bir dilktrik dlg kılvuzu özlliği tşır. Bu çlışmd, yrıiltk kutum çukurud tşıyıılrı ÇEA v TEA foksiyolrı it tml prmtrlr v vril bzı ormliz frkslrd rji öz dğrlrii özlliklri ilmktdir. Frklıypılı Joksiyolr z x Aktif Bölg (AB) Gömlklr(GBr) y - =x o /, (x o =) -Al x G 1-x As () p-gas () -Al x G 1-x As () Ejkt Edil Akım x o E g E g (Al x G 1-x As) GAs E g (Al x G 1-x As) Şkil 1. Asimtrik yrıiltk plr çift frklı ypılı lzrlr (AYPÇFYL) v ou lktroik rji-bt ypısı. () Aktif bölg (AB) v gömlklr bölglri (GBr), (b) Erji-bt diygrmı [] ELEKTRİK ALANNN BAZ ÖNEMLİ PARAMETRELERİ Dik krtzy koordit sistmid AB d hpsdbilmiş bir lktrik l dlgsıı z- doğrultusud yyıldığı frz dilir v y- doğrultusudki dğişimi ihml dilirs, AB v GBr i it dlg kılvuzu dklmi Eyi(x) = x [ βz i ko ] Eyi(x) olrk vrilbilir. Dklm dki [ βz i k o ] ifdsi fizik kvrmıd öz foksiyo dil E yi (x) i lktrik lıı öz dğri dir. i idisi i=,,, dğrlrid olup AYPÇFYL i ypısl 3 bölgsii tmsil dr. AB içid ÇEA v TEA içi dklmii sğly bu llr TEMİZ, KARAKLNÇ 6

3 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı E y y = A os( x) () = Bsi( x) (3) olrk vrilir [1,]. Bulr, ÇEA v TEA ı düşük modlrıı oluştururlr. Bu llr krşı düş GBr idki llr is sırsıyl [ ] E y = A xp (x + ), =x o /, A Aos ( ) = (4) Ey = A xp[ (x ) ] A = ACos ( ) = A = A, (5) y = B xp[ (x + ) ] B = Bsi ( ) (6) y = B xp[ (x ) ] B = Bsi ( ) = B = B, (7) olrk vrilirlr. Ey, E y v y, y llrı sırsıyl AYPÇFYL d ÇEA v TEA ilişki kçk llrı tmsil drlr. Görüldüğü gibi, (4) v (5) dki sırsıyl A v A v (6) v (7) dki B v B, x= d sırsıyl ÇEA v TEA ı foksiyoudurlr. Burd hrkt drk, () v (3) dki gliklri sırsıyl kdi ÇEA v TEA ı foksiyou olduklrıı söylybiliriz. Bir simtrik yrıiltk plr çift frklı ypılı lzr (AYPÇFYL) it, v propgsyo sbitlri olrk tımlırlr. ω = β z ( ) = β z k, ω k = = k o ( ω ) β k β = z =, (8) ω k = = k o ω = β z ( ) = β z k, (9) ω k = = k o ω k =, k o = k o = ω/ (10) β z, z-doğrultusud yyıl dlgı fz sbiti, k dlg umrsı v λ dlg boyudur. Srbst uzyı (vkumu) dilktrik sbiti, mytik gçirglik sbiti, dlg umrsı v ışık hızı sırsıyl ε o, µ o, k o [1,3] v il göstrilmiştir. Bulr rsıd ε o µ o =1/ ilişkisi buluur. Hr bir frks yrı bir dlg umrsı tımlr []. Eğr kırılm idislri = =, olrk lıırlrs, o zm bir simtrik yrıiltk plr çift frklı ypılı lzr (SYPÇFYL) ld dilir. Bu durumd, v propgsyo sbitlri rsıdki ilişki = =, şklii lır. Bu surtl, AYPÇFYL dki E, E v, y y y y llrı, SYPÇFYL d ÇEA içi E y, il v TEA ı içi y, il göstrilbilir. Yukrıd tıml E yi v/vy yi llrı kıs u yi (x) öz foksiyou il tmsil dilirlrs, bu öz foksiyo d h + Vo u yi (x) = E νi u yi (x) m i * dx h = h / π, i=,, (11) vy AB içi d u y (x) = u y (x) dx v SYPÇFYL d GBr i içi d u y (x), = dx, u y, (x) (13) olrk Shrödigr dlg dklmii sğlr [4]. Burd E y, ü E y vy E y içi v y, ü y y d y içi v (11) dki u yi (x), i=,,, öz foksiyou is ilgili bölglrdki yüklü tşıyıılr it öz dğr foksiyolrı içi kullıldığı htırlmlıdır [1,]. İfdlrdki h Plk sbitii, V o hpsdii çukur potsiylii göstrir. Bu potsiyl mlzmi işlmsiyl myd gtirilir [5]. ÇEA v TEA ı ilişki öz dğr dklmlri, AB i gişliği ol bir AYPÇFYL d [1,] / = t( ), (14) / = ot( ) (15) v SYPÇFYL d, / = t( ), (16) TEMİZ, KARAKLNÇ 63

4 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı, / dklmlri il vrilirlr. = ot( ) (17) 3. YPÇFYLr DE TAŞYCLARA AİT ELEMENTER MODLAR Kutum çukurud düşük modlu ÇEA içi kosiüslü v TEA içi siüslü foksiyou buluduğu görülmktdir. Bulrı v rji öz dğrlrii dh ykıd ilmsi içi çukur potsiyli yok ik (çukur potsiyli yoks kutum çukuru bir potsiyl çukuru özlliğiddir) gişlikli iki duvr ship ol bir dikdörtg biçimli kutum çukuru içi bir boyutt hpsdilmiş bir tşıyııy it ÇEA v TEA ı () Ey (x) () y (x) = os(πx/) ( tk) (18) = b si(πx/) ( çift) (19) olsu. Dklm (18),(19) d =0 içi y =0 d E y = sbit tir v bulrı fiziksl lmlrı yoktur. i gtif dğrlri it çözümlr, ou pozitif dğrlrii lir bğımlısı dğildir. Bu sbpt, i bütü pozitif dğrlri it ol yrık rji sviylrii sosuz bir souu vrdır. Yi, E y i y d y i fiziksl bir lmı olduğu içi il blirl bir rji durumu + il blirl rji durumu il yıdır. Bu yüzd (18) v (19) ı mod umrlrıı tmsil d i sd pozitif dğrlrii lmk ytr. Potsiyl çukuru içi hpsdil modlu bir foksiyo çukur içid lt rji sviylri myd gtirir. Bu rji sviylrii öz foksiyo v öz dğrlri ν =(-1) sviysid bşlr. ν, çukur içidki lı moduu v rji sviysii göstrir [4]. Buul brbr, kılvuz içid böyl modlrı ylız bir tsi kldilbilir. ν mrtbli kılvuzlmış bir modu vr olm şrtı νπ/ko vy 4/ λ ν y d λ νλ il vrilir ki zıd bu düşük modlu ÇEA ı içi λ = λ [6] v düşük modlu TEA ı içi λ o ν vy zıd λ o = λ olur. Eğr AB i gişliği oldukç küçülürs, hiç bir mod tutumz. Bu durumlr, ÇEA ı içi π/ko vy 4 λ y d λ λ v TEA ı içi λ o λ içi orty çıkrlr. AB i gişliği () büyümy bşlyı ö tk modlu l myd glir, bu gişlik rttıkç solu syıd l modlrı orty çıkr[6]. Bir yük tşıyıısıı AB bölg içidki bir oktd bulum ihtimli %100 olduğu içi, (*) il komplks şliği göstrrk v E y v/vy y llrıı u y foksiyou il tmsil drk u y ( x) u x dx = y ( ) * u y ( x) u y ( x) * dx = 1 (0) 0 tgrlii yzbiliriz. Yi, (0) ifdsi, yük tşıyıısıı AB içid bulum ihtimlii 1 (%100) olduğuu göstrir. (), (3), (18) v (19) ifdlri (0) d koulrk A, B,, v b sbitlri A= 1 = =, + si() + si π π ( = π / ) B= b = =, si() si π π ( = π / ). () olrk buluurlr. Özl bir hl olrk v () dki sius trimi si( ) = 0 olrk lıırs, A, B,, v b sbitlri 1 / buluur. Yi, ÇEA v TEA ı gliklri AB i yrım gişliğii kr kökü il trs ortılıdır. si( ) = 0 durumu, = πk, k=0,1,,3,, rzos ilişkisii vrir ki bu λ = π / = 4 / k biçimid yzılbilir. Bu Fbry-Prot itrfromtrsi dir. Bu tki x=- v x= uçlrı rsıd gidip gl lktrik dlgsıı girişimi soud orty çıkr [7]. AB y it ÇEA içi =1 v TEA içi = lrk sırsıyl (18) v (19) d ld dil E y (x) v () y (x) llrı E y (x) = 11 os( πx / ) (3) () y (x) = b 11 si( πx / ) (4) olur. Dklm (3),(4) dki llr Şkil d çizilir. (), (3),(18), (19), (3) v (4) ifdlrii, v (13) dlg dklmlrii sğldığı dikkt tmlidir. Şkil d görüldüğü gibi, ÇEA TEMİZ, KARAKLNÇ 64

5 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı E y (x), gişliği içid ylız bir () ltrs v TEA y (x) iki ltrs shiptir. () v (3) d [vy (18) v (19) d] görüldüğü gibi, A, B (vy 11 v b 11 ) sbitlri propgsyo sbitii v uzuluğuu foksiyoudurlr. Ayrı, (4)-(7) ifdlridki A, A, B v B sbitlri x= d l foksiyolrı bğlıdırlr. () v (3) ifdlri (18) v (19) il krşılştırılrk = π/ (5) buluur. V o 0 içi rfrs [] dki = 1/ h m * Vo E ν il (5) ifdlrii şitlmsi V o duvr potsiyli ship ol YÇFYL içid tşıyıılr it EÖD i E ν = V o h π /8m * (6) =1,3,5 (ÇEA içi), =0,,4 (TEA içi) olrk vrir. V o 0 [13] krşı düş EÖD i içi E ν = V π o + h /8m*, (7) buluur. Burd ν çukur içidki rji durumlrıı v llrı modlrıı blirlr E y(x) - 0 x () y(x) () 11 (b) Şkil. E düşük l modlrıı dğişimlri, () ÇEA E y (x),(b) TEA () (x) y x Dikkt dilmlidir ki, v () dki = π/ v = π/ ilişkilri, ki bulr sırsıyl.(3) d =1 içi ÇEA E y (x) v () (4) d = içi TEA y (x) llrı krşı düş EÖD E 1 v EÖD E y krşı düşr, v () dki i dğrlrii rfrs [] d yri komsıyl sıryl =1 v = içi (6) yı vrir. E düşük modlu (3) dki E y (=1) v (4) dki () y (=) foksiyolrı, x ksi üzridki 400 oktd π rlığıd =1 içi Şkil 3 d hsss olrk çizilir. () y i priyoduu E y i priyodud dh z okt içrdiği v görülmktdir. Ayrı, () y i frksı d E y i frksıd büyüktür. Bu sbpt, () y i rjisi, E y i rjisid dh büyük olur. ν =1 d dolyı E y tk modlu bir l, () ν = d dolyı y modlu bir ldır. () Dolyısıyl, tk modlu E y lı, çift modlu y lıd izfi olrk dh fzl rji grktirir. () Şkil 3 t 50 oktsıd y mksimum dğr lırk, 100 oktsıd E y sıfır dğrii lmktdır. 300 v 500 dt okt rlığıd () sırsıyl y v E y llrıı priyotlrıı myd gtirir. Msl, E y içi Şkil 3 d x ksi üzrid 0 v 400 oktlrı sırsıyl π / v π y krşı düşmktdirlr. Bu sbpt, Şkil 3 ü Şkil il krşılştırılmsıd görülmktdir ki, 300 v 500 oktlrı sd bir t pozitif ltrs ship ol E y içi v bir gtif v bir pozitif ltrs ship ol () y içi sırsıyl ( ) v (+) oktlrıı tmsil drlr. Yi, ( ) v () (+) oktlrı E y v y içi Şkil 3 d x ksi üzrid sırsıyl 300 v 500 oktlrı krşı düşmktdirlr. Bu şuu göstrir ki, AB i () gişliği bu hld E y v y llrı içi sırsıyl 400 v 00 oktd myd glmktdir. Bud dolyı, burdki düşü sistmtiği gör dlg boyu E y içi λ = 4 v () y içi λ o = olur [8]. Yi,. dlg boyu () v (3) ifdlri içi λ = v / = v /( π / ) = v / π v (3) v (4) ifdlri içi λ o = v / = v /( π / ) = v / π olrk ld dilir. Bu sbpt, görülür ki, λ i λ o r orı olur. Buu lmı şuu göstrir: () y (x) it f o frksıı E (x) y it f frksı orı, f o / f, dir. Yi, (x) () E y v (x) y llrı it frkslr sırsıyl f = v / λ = v / 4 v TEMİZ, KARAKLNÇ 65

6 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı f o = v / λo = v / olrk buluur. Burd v dlgı AB dki fz hızıı göstrir. Foto rjisi E=hf [9] ifdsi gör E (x) y lı içi E 1 =hf =hv/4 v () y (x) lı içi E =hf o= hv/ il vrilir. Dolyısıyl, E (x) y () lı it E 1 rjisii y (x) lı it E rjisi orı E 1 /E =1/ olrk orty çıkr. Bu, () E y (x) lıı (x) y lıd kt dh z rji grktirdiğii göstrir () y -0.8 Ey x xis Şkil 3. E düşük modlu E y (x) v () y (x) llrıı hsss dğişimlri 4. KUANTUM ÇUKURUNUN YAPSAL PARAMETRELERİ AB v GBr içi i= v i=, lrk v (13) dklmlrii dklmiyl kıyslmsı v (8) v (9) dklmlrii göz öüd buludurulmsıyl AYPÇFYLr içi propgsyo sbitlri, v v SYPÇFYLr içi propgsyo sbitlri,, iltim bdıdki bir lktrou vy vls bdıdki bir dliği fktif kütlsi isid, şğıdki şkillrd ld dilirlr: = 1/ h m * Vo E ν = j ko β z (8) = 1/ h m j *E j = β z j k o, j=,, =1,, 3, (9) Burd, m j, j=,, bir yük tşıyıısıı j. bölgdki fktif kütlsii göstrir. SYPÇFYLr d = =, d dolyı m * = m * = m*, =m* lıırs (9) şitliği, = 1/ h m, * E ν, = 1/ h m*e ν, = βz, k o (30) olrk buluur. SYPÇFYLr d, v, ü sırsıyl vy ü v y d ü göstrdiği htırlmlıdır. Yi, = = olrk lıırs, o zm.(8) v, (9) d = =, ilişkisi ld dilir. AYPÇFYLr d =, η =, η = tımlrı ypılrk v SYPÇFYLr d η, = η =, lrk yüklü tşıyıılrı rji öz dğrlri içi ormliz η koordit sistmid yi prmtrik dğişklr tımlbilir. Bu gör.(8) v (9) ifdlri, AYPÇFYLr d = * V E (31) h η m = m * E, η h = h [ ] o ν m *E (3) v SYPÇFYLr d m * =m* içi = m* Vo E ν h (33) η, = η= m*e,, (34) h şklii lırlr. Burd λ dlg boyuu λ = π/ = h/ = πh/ m*(v o E ) m *(V o E ) ifdsid hsplmk mümküdür. (8)-(34) ifdlridki ν. rji öz dğrlri (EÖD) ri E π /8m * i = h i = E 1i, =1,, 3,,i =,,. il vrilbilir. Bu, EÖD lrii yrık ümlsii oluşturur v yük tşıyıılrıı krrlı durumlrıı kısıtlmsıyl ld dilir. Tşıyıılrı bu yrık EÖD lri ihzı ypıldığı mlzmi optik v lktroik özlliklrii blirlr. TEMİZ, KARAKLNÇ 66

7 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı Elktrik dlgsı AB içid tm ysım il ilrlrk AB i krşılıklı yüzylrid ysıy ysıy ilrlr. Yi, GBr id msl SYPÇFYL i it E y, d y, llrı tm ysımy iştirk dr. Bu kou rfrs [] d dtylı olrk çıklmıştır. Dh fzl duyrlı dlg kılvuzlmsı göstrir ki bu llr, AB d güç çıkışı olmmsı rğm GBr i içi doğru birkç dlg boyu kdr ilrlr [10]. (33) v (34) ifdlri V = + η = h m * V o (35) şklid ormliz frksı (NF) ı vrir ki bu, SYPÇFYLr d m*v h o yrıçplı bir dir tımlr. NF, klılıklı AB li bir dlgyı, ou idisii v GB i, idisii krktriz dr. SYPÇFYLr i lizii kolylştırmk içi = η /V (36) il vril ormliz propgsyo sbiti (NPS) tımlır [11] ki bu, SYPÇFYLr i ypısl özlliklrii bir çoğuu içrir. Bzı işlmlrl 1 = (V η )/ V = /V = V 1, = η /V ld dilir ki burd η= V (37) V = { ω / }, = π / λna= kona = ko (38) buluur., ormliz kırılm idisi frkıdır v =, / (, ) / (39) il vrilir. Burd NA =,, SYPÇFYL lrd mümrik çıklık dıı lır [11]. NPS ti, v η prmtrlrii rl olmlrı içi 0 il 1 rsıd lıır. Burd çukur potsiylii V o = V E /η (40) olrk ld dilbilği koly görülbilir. Bu şmd (8) v (9) dki fz sbiti, E= πf h = ωh olmk üzr, SYPÇFYL lr içi yukrıd tıml prmtrlr isid TEMİZ, KARAKLNÇ 67 V 1 β z = 1 ( ) = + 1+ V L = + L = ko 1+ ( + ) (41) v = ωh/ = ππh / vy m * (V o E ν ) m * (V o E ) = E/ m * (V o E ) (4) v = ω/β z = / ff = / 1- (- ) (43), = k o NA= k o = (V/ ), η = V (44) = k o NA = k o (1- ) = (V/ ) 1- olrk ld dilbilirlr. Burd idisi dıı lır v = V 1 (45) ff fktif kırılm ff = 1- (- ) (46) şklid vrilir. (35) dki NF V, vril,, idislri v λ optik dlg boyu içi ksim frksıı blirlmk içi kullılbilir. V=m π [10] ifdsid ÇEA rı içi m=0,, 4,, v TEA rı içi m=1, 3, 5,, olrk lımk üzr ksim frksı f = m/ NA (47) olrk buluur. Ksim frksı biz, domit modu iyi bir şkild kılvuzlmsı içi [9], AB i gişliğii v GBr dki kırılm idislrii hsplm imkıı vrir. (34) v (35) i (36) d yri koulrk SYPÇFYLr d düşük modlu optik ÇEA ı it NPS E ν h π = = = V o 8m* Vo vy TEA ı it NPS ν h π = = = V o 8m * V o E 1 V o E 1 V o,=1 (48), = (49) olrk buluur. (48) d düşük modlu ÇEA ı içi bulu EÖD E ν v.(49) d düşük modlu TEA ı içi bulu EÖD ν AB d hpsdilirlr. E 1 toprk rjisidir. Bud dolyı, özl hld, NPS, hpsdilmiş rji v/ vy toprk rjisii bir foksiyoudur. (48) v (49) d görülmktdir ki, NPS, YPÇFYLr içi kullıl mlzmi tbi v ypısl özlliklri kuvvtl

8 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı bğlıdır. Eğr SYPÇFYLr içi tıml v η prmtrlri dğişk olrk düşüülürs.(14) ifdsid = k o NA os (50) v η/ = t (51) buur ki burd = V os, η = V si, si =, os = 1 (5) ld dilir. (8) v (5) ifdlrid v (38), (39) v(50) dki ifdlr fz sbitii βz = ko +, (1 ) = ko +, (1 ) = k o 1 (1 ) (53) olrk vrir. (39) u (3) yi vrdiği dikkt diiz. Bud dolyı, kırılm idisii ff = βz / ko = +, (1 ) = 1 (1 ) (54) olrk ld driz. (53) dki souçlr sırsıyl [1], [13] rfrslrıdkilrl uyuşmktdır. Ayı usul il y foksiyou v AB gişliği içi (17) ifdsi şitliğii vrir k, bu η / = ot (55) = V si, η = V os, os =, si = 1 (56) foksiyolrıı orty çıkrır. (5) v(56) şuu göstrir ki NPS dim pozitiftir v 0 v 1 rsıddır. v η prmtrik koorditlrı, η 0 olmlıdır v (37) ifdsii sğlrlr. ( η = 0 ) ksi üzrid (5) ifdsidki E y foksiyoud = kπ, k=0, 1,, 3,, v (56) ifdsidki y foksiyoud = kπ + π /, =0 rı vrir ki, bu diğr bir ksim frksı şrtıı orty çıkrır. Fkt E y foksiyoud = kπ + π / v y foksiyoud = kπ, ksi üzrid = 1 ri vrir. Bulr, NPS i uç dğrlridirlr. Nti itibriyl, tşıyıılr it EÖD lrii v η prmtrik koorditlrı, - η düzlmid (yi, - η ormliz koordit sistmid) E y foksiyou içi = V os, η = V si, (57) olrk v y foksiyou içi = V si, η = V os, (58) olrk vrilir. Bşk bir ifdyl, = kπ, k=0, 1,, 3,, E y foksiyou içi v η prmtrik koorditlrıı v NPS i sırsıyl = V v η = 0 v = 0 ( y foksiyou içi = 0, η = V v = 1 ) olrk v = kπ + π / y foksiyou içi v η prmtrik koorditlrıı v NPS i sırsıyl = 0, η = V d = 1 (E y foksiyou içi = V, η = 0 v = 0 ) olrk vrir. Yi, E y ( y ) foksiyou hlid v η prmtrik koorditlrı v NPS = kπ ( = kπ + π / ) içi sırsıyl V, 0 v 0 (0, V v 1) olur. Görülmktdir ki, NPS tşıyıılrı kütllrii, bölglri kırılm idislrii, tşıyıılrı EÖD lrii, çukur potsiylii, AB i v GBr i, propgsyo sbitlrii bir foksiyoudur. Bu sbpt, v η prmtrik koorditlrı (56) v (58) d görüldüğü gibi bu prmtrsi isid ifd dilbilir. Soud görürüz ki, NPS, ki sırsıyl bu AB v GBr i it v, propgsyo sbitlri, kırılm idislri v tşıyıılrı fktif kütllri gibi kullıl yrıiltk mlzmi prmtrlrii isiddir, AB dki bğlı rji durumlrı trfıd blirlir. NPS ı ömi bu durumlr sbbiyldir.. Nitkim, litrtürd d frklı mtotlr kullılrk ormliz progsyo sbiti üzri çlışmlrı yoğu olduğu görülmktdir [14].Bitirirk diybiliriz ki, NPS, NF V v yüklü tşıyıılr it EÖD lrii d foksiyou ol v η prmtrik koorditlrı Şkil 9 d görüldüğü gibi, tsrım düşülri içi YPÇHLr ii ömli bzı prmtrlridirlr. 5. DALGA KLAVUZU DENKLEMLERİ VE EN DÜŞÜK MERTEBELİ MODLARN EÖD LERİ Tk modlu bir lktrik lıı kpsmı içid ol NF V=1 içi SYPÇFYL id sd AB dki lktro v dliklri hpsdilmiş durumlrıı ld tmk istrsk, ÇEA ı os v TEA ı si içi TEMİZ, KARAKLNÇ 68

9 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı lktro v dliklr it EÖDr ii dklmlri, sırsıyl, ( ÇEA ı içi) t = η t = ( TEA ı içi) 1 ot = = y, (59) 1 ot = η t = 1 t = = z, (60) 1 olrk ld dilir. Bu dklmlri y gör dğişimlri Şkil 4 d vrilmiştir. Bud dolyı, Şkil 4 () d görüldüğü gibi, V=1 r ilişki olrk, TEA si içi, sıfır dğrii dışıd, bir çözüm dğri yoktur. ÇEA os içi NF V=1 d, Şkil 4(b) d görüldüğü gibi, A v B oktlrı krşı düş iki dğr vrdır. Grçkt, ÇEA os içi NF V=1 d çözüm bir tdir. Çükü, 0 r it okt çözüm oktsıdır. Şkild, 0 il π / oktsı rsıd 100 ks oktsı vrdır. Yi, grfikt 100 okt π / y krşı düşmktdir. Souç olrk, V=1 içi bir lktro vy dliği Ey (x) = os( x) lıd sd bir çözüm vrdır. Yi, ormliz ksid 0 il π/ rsıd SYPÇFYL ii AB dki ÇEA os içi sd bir çözüm buluur. Normliz ksid 0 il π/ rsıd SYPÇFYL ii AB dki TEA si içi çözüm yoktur. 6. η DÜZLEMİNDE EÖD LERİNE AİT EĞRİLERİN ANALİZİ VE PARAMETRİK KOORDİNATLAR Elktrik lı it NF V NPS i [15] v AYPÇFYLr d m. modu bir foksiyoudur [11] v () V = 1 + τ mπ + t 1 + t τ =, m=1,,3, (61) (b) Şkil 4. ÇEA os v TEA si foksiyolrıı V=1 içi dğişimlri: () TEA si, (b) ÇEA os. Yukrıdki (60) ifdsid görüldüğü gibi, z = / 1 ğrisi v t orijid ksişirlr. TEMİZ, KARAKLNÇ 69 ifdsiyl vrilir. Burd τ y simtrik fktör dir [16]. SYPÇFYLr içi (61) formülü 1 1 π V = t + m,m = 0,1,, t( V ot( V 1 ) = 1 ) = /(1 ) /(1 ) (6) olur. (6) d m rttıkç NF V d rtr. Bu rtış (38) d frksı rtışıyl lir olrk rt srbrst uzy it dlg umrsı k o ı rtışıyl ld dilir. Tk modlu llr içi V<π/ ld dilir (Şkil 5). NF V i 1.57 d dh büyük dğrlrid çok modlu llr söz kousudur [11]. =0 v m=0 içi V=0 ld dilir. Bu durum (38) r gör k o =0 olmsıyl mümküdür. Bu is frksı sıfır lımsı dmktir. Eld dil bu mod TE o modu dir. Buu lmı şudur: TE o moduu ksim frksı m=0 içi (47) ifdsi gör sıfır olur. =0 v m=1, ki bu m=1 d dolyı

10 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı E y (x) çift foksiyou krşı düşr, (6) dki ifdy gor V = π / şitliğii vrir. Dolyısıyl bu mod TE 1 modu dı vrilir ki bu sıfırd frklı bir ksim frksı shiptir. Yi, TE 1 modud NF V, 1.57 y şittir (V =1.57) [17]. Souç olrk tk modlu llrd NF V, V V 0 rlığıddır. TE o modu bu rlıkt yyılır [1,]. Şkil 6 d 0 V 1 içi ld dil v NPS i modlr gör vr çok modlu disprsiyo ğrilri görülmktdir. Şkil 7 d AYPÇFYLr d kırılm idislri =3.350, =3.351 v =3.349 olrk lımışlrdır. Dikkt dilmlidir ki, SYPÇFYLr d orijid gç ğri buluduğu hld, AYPÇFYLr d orijid gç bir ğri yoktur. Buu lmı şudur AYPÇFYLr d NF V hiçbir zm sıfır olmmktdır. Şkil 7. AYPÇFYLr d 0 V 1 içi TE m y it V ğrilri AYPÇFYLr d η v ortlmsı η orditlrıı gomtrik η = (1/ )[ η + η ] (63) olrk lıbilir. Burd blirtmkt fyd vrdır ki, (61) ifdsi, η = η = η, = η içi η = η, = η şitliğii vrir ki bu SYPÇFYLr i ittir. AYPÇFYLr it ifdlrd bir tkım mtmtik işlmlrd sor tşıyıılr it EÖDE lrii bsisi v η orditı Şkil 5. V π / içi SYPÇFYLr d tk modlu lı V ğrilri = kona (1 )(1+ 1+ p ) V = (1 )(1+ 1+ ) p (64) 1 [1 (1 )(1/4)(1+ 1+ p ) ] + 1 [4(1+ p) (1 )(1+ 8 η = V 1+ p ) ] (65) V = kona olrk ld dilir ki burd p tisimtrik fktörü [15--14] Şkil 6. 0 V 1 içi SYPÇFYLr d TE m moduu V ğrilri p = ( )/( ) (66) il vrilir. bsisi v η orditıı p simtrik fktörü gör dğişimi Şkil 8 d vrilmiştir. TEMİZ, KARAKLNÇ 70 AYPÇFYLr içi.(64) v (65) ifdlrid p simtrik fktörü sıfır lıırs, o zm = V 1, η = V. (67)

11 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı olk şkild, YPÇFYLr içi η = η = η, = η şitliği buluur ki bu ifdlr LMOEEF os içidir. Örği NF, V = olrk lıırs, bu krşılık NPS, EÖD ri bsisi v η orditı, sırsıyl, = , = v η = olrk ld dilir. Souş olrk, V=1 v V= içi toplm olrk üç çözüm vrdır. Bulrı iki tsi ÇEA os y v bir tsi TEA si y it ol EÖD lridir. Şkil 9 d, η ormliz koordit sistmid, prtik olrk ypılmış bir yzılım progrm vsıtsıyl blirl grçk EÖD lri oktlrıı dğrlri o, η o olsu. Msl, ÇEA os, ki bu x= içi çift lktrik l foksiyou os x krşı düşr, V=1 içi [ ( o ) 1 ( o ) 1 [ ( o ) = , ( o ) = , η = ] v V= içi η = ] EÖD oktlrı shiptir. Şkil 8. bsisi v η orditıı p simtrik fktörü gör dğişimi Şkil 8, p simtrik fktörü gör bsisi v η orditıı dğişimii vrmktdir. p simtrik fktörü sıfır lıırs ld dil SYPÇFYL id EÖD rii bsis v η orditıı = v η = olrk ld dildiği dikkt dilmlidir. () 7. BAZ NORMALİZE FREKANSLARDA EÖD LERİ Şkil 9 -ki bu η ormliz koordit sistmid ksid 0 il rsıd V=1 v V= NF lrı içi çizilmiş-tea si v ÇEA os y it grçk EÖD lrii göstrir. TEA si y it ğri Şkil 9 () d göstrilmiştir. Şkil 9(), NF V=1 d ÇEA os, içi bulu bir grçk EÖD i tmsil dr. Şkil 9 (b) d V= NF lrı içi ÇEA os y it v Şkil 9 () d V= NF sı içi TEA si y it EÖD lri vrdır. Görüldüğü gibi, V=1 NF sı içi TEA si y it EÖD ri yoktur. Buul brbr, Şkil 9 () d görüldüğü gibi, V= içi TEA si y it 1 dt çözüm buluur. (b) () TEMİZ, KARAKLNÇ 71

12 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı Şkil 9 η ormliz koordit sistmid ormliz ksid 0 v π / rsıd bir tşıyııy it ÇEA os ı grçk v tm olrk bulumuş EÖD oktlrı, () ÇEA os y it V=1 içi ( o ) 1 = , ( η o ) 1 = (b) V= içi ( o ) = , ( η o ) = () TEA si y it V= içi ( o ) = , η = ( o ) ÇEA os y it iki oktı bu dğrlri NF ı hr biri içi grçk v tm dğrlrdir. Souç itibriyl, ÇEA os, V=1 v V= içi, Şkil 9 ( v b) d görüldüğü gibi, iki çözüm oktsı v TEA si, V= içi, Şkil 9 () d görüldüğü gibi, bir çözüm oktsı shiptir. Yi, ÇEA os, V=1 v V= i hr biri içi sd birr çözüm ship ik, TEA si k V= içi bir çözüm shiptir. ÇEA os y it hrhgi bir tsrım içi bu ümrik dğrlr kullılbilir. Grkirs, ÇEA os y it V=1 içi η ormliz koordit sistmidki [ ( o ) 1 = , ( η o ) 1 = ] v V= içi [ ( o ) = , ( η o ) = ] souçlrıı doğrud doğruy kullbiliriz. η ] oktlrı, ( η o ) 1 ] v [ ( o ), ( o ) [ ( o ) 1 oldukç duyrlı olrk ld dilmiştir. Bu souçlr (35) formülüü doğrulmktdır. Aktif bölg gişliği, bölglr it propgsyo sbitlri, fz sbitlri d yrı hsplbilir: (38) ifdsi yı λ = 1.55 µ m, =3.35 v =0.01 dğrlri içi 1 = µ m olrk buluur. Ayı zmd (8)-(10) ifdlridki sbitlr ( ) = ( ) 1 o 1 / 1 = x10 6 m -1, ( ) = ( ) o / = x10 6 m -1 (, ) = ( η ) 1 o 1 / 1 = x10 6 m -1, (, ) = ( η ) o / = x10 6 m -1 6 β z1 = x10 m -1 v 6 β z = x10 m -1 buluruz. SYPÇFYL ii AB d ÇEA os v TEA si y it tşıyıılrı EÖD lrii diğr NF dğrlri krşı düş diğr v η prmtrik koorditlrı d bzr şkild hsplbilir [18]. 8. SONUÇLAR Bu çlışmd ÇEA os ı, TEA si d dh z rji grksiimi olduğu göstrilmiştir. Bud bşk, hsss grfik çözümlri ld dilmiştir. Ayrı, msl, gl olrk modlr ilişki NF V v NPC sırsıyl SYPÇFYL içi (68) v (69) ifdlri ilişki ol Şkil 5 v 6 d v AYPÇFYLr içi Şkil 7 dki ğrilrd ld dilbilir. SYPÇFYLr d vril bir λ dlg boyu v ksim frksı içi (38) v (47) ifdlrid AB gişliği v NA ümrik çıklık bulubilir. Dolyısıyl, ğr kırılm idisi yüzdsi vrilirs o zm AB y it (38) ifdsid kırılm idisi ld dilir. Böyl, (53) dki β z fz sbiti v (54) dki fktif kırılm idisi ff, ki bud hrkt drk, dğri d, hsplbilir. ff fktif kırılm idisidki i dğri,, (35) (36), (38), (39) v (54) ifdlri gör, kutum çukurlu lzrlr hlid, AB klılığıı sçimi vy λ dlg boyu trfıd blirlbilir. Bu hsplmlr, (71) v (7) yrdımıyl AYPÇFYLr içi = bsisi v η =, η = orditlrıd, v dğrlrii bulum imklrıı sğlr. Ayrı SYPÇFYLr it = bsisi v η, =, orditı d vril bir AB gişliği içi (67) ifdsi yrdımıyl hsplbilir. SYPÇFYLr it diğr hsplmlr yukrıdki formüllrd ilgili prmtrlr içi ist tsrım düşülri gör bzr şkild bulubilir. 9. KAYNAKLAR [1] Tmiz, M., Th Effts of th Som Prmtrs of th Propgtio Costt for Htrojutio Costrutios o th Optil Mods, Lsr Phys., Vol.11, No.3, , 001. [] Tmiz, M., mpts o th Cofimt Ftor of th Propgtio Costts of Optil Filds i th Som Smiodutor Dvis, Lsr Phys., Vol.1, No.7, , 00. [3] Tmiz. M., Yrıiltklr, Pmukkl Üivrsitsi, Mühdislik Fkültsi, Drs Kitplrı Yyı No.006, Dizli. [4] Shiff, L.., Qutum Mhis, MGrwhill Book Comp., Tokyo, 198. TEMİZ, KARAKLNÇ 7

13 Yrıiltk Kutum Çukurud Elmtr Modlrd Tml Prmtrlr v Bzı Normliz Frkslrd Erji Özdğr Noktlrı [5] Chow, W.W., Koh, S.W., Smiodutor Lsr Fudmtls, Sprigr-Vrlg, Brli Hidlbrg [6] Syms, R., Coz, J., Optil Guidd Wvs d Dvis, MGrw-Hill Book Comp., Egld, 11, 199. [7] Gsiorowiz, S., Qutum Physis, Joh Wily d Sos., Nw York, 79-80, [8] Millm, Hlkis, Eltrois Dvis d Ciruits, MGrw-Hill Book Comp, 65, [9] Kromr, H., Qutum Mhis, Prti Hll, Nw Jrsy, [10] Ruk, J.A., Fudmtls of Optil Fibrs, Joh Wily d Sos,., Nw York, [11] g, K., Fudmtls of Lsr Optis, Nw York, [1] Slvrj, A., Sriivs, T., Optil Amplifitio d Photorsistivity i Solgl Bsd Wvguids, Jourl of Qutum Eltrois, Vol.37, No.9, 110,.001 [13] Pio, G., Pllioro, M., Propgtio Costt of Wkly Guidig Optil Fibrs: A w Aigvlu Coditio, Jourl of Lightwv Thology, Vol.19, No.10, 199, 001 [14] V.A. Popsu mprovig th ury of ormlizd propgtio ostt for wvguids by usig highr-ordr vritiol mthod, Optis Commuitios, Vol.34, , 004. [15] g, K., Fudmtls of Lsr Optis, Nw York, 110,1994. [16] Bhtthry, P., Smiodutor Optoltroi Dvis, Nw Jrsy, Appdix 10, 57, [17] g, K., Fudmtls of Lsr Optis, Nw York, ,1994. [18] Tmiz, M., Krkılıç, Ö.Ö., A Novl Produr d Prmtrs for Dsig of Symmtri Qutum Wlls i Trms of Normlisd Propgtio Costt s Modl i th Sigl Mod, Hv Hrp Okulu, Hvılık v Uzy Tkolojilri Estitüsü, Cilt 1, Syı, Syf 73-81, 003. Yrd.Doç. olrk tdı yılıd Doç.Dr. ol TEMİZ hl Pmukkl Üivrsitsi Elktrik- Elktroik Mühdisliği bölüm bşklığı görvii sürdürmktdir. İlgi llrı, Elktromytik llr v dlglr, optik dlg kılvuzlrı, yrıiltk lzrlr koulrıı içrmktdir Arş. Gör. Ö. Ödr KARAKLNÇ Dizli d 1977 yılıd doğdu. Ortöğrimii Dizli i Çl ilçsid tmmldı. Yıldız Tkik Üivrsitsi Elktroik v Hbrlşm Mühdisliği bölümüd 1999 yılıd mzu oldu. Bir sür ulusl bir GSM oprtörü içi sh mühdisi olrk çlıştıkt sor skrliğii mütkip Pmukkl Üivrsitsi Elktrik- Elktroik Mühdisliği bölümüd rştırm görvlisi olrk çlışmy bşldı. Hl yı bölümd yüksk liss ğitimii sürdürmktdir. Arştırm koulrıı yrıiltk lzrlr, lktromytik kirlilik v hürsl hbrlşm oluşturmktdır. ÖZGEÇMİŞLER Doç. Dr. Mustf TEMİZ Mustf TEMİZ 1948 yılıd Gümüşh d doğdu. Smsu Odokuzmyıs Lissid 1967 yılıd v İstbul Tkik Üivrsitsi Elktrik Mühdisliği bölümüd 1973 yılıd mzu oldu. Lis v üivrsit yıllrıd TÜBİTAK bursu ldı. Bir sür Smsu Azot fbriksıd çlıştıkt sor İ.T.Ü. Skry Mühdislik Fkültsi d rştırm görvlisi olrk çlışmy bşldı. İ.T.Ü. F Bilimlri Estitüsü d 1984 yılıd doktorsıı tmmldı yılıd Dokuz Eylül Üivrsitsi Dizli Mühdislik Fkültsi TEMİZ, KARAKLNÇ 73