Estimation of Weibull Renewal Function for Censored Data. Bilinmeyen Veri için Weibull Yenileme Fonksiyonun Tahminlenmesi

Transkript

1 Iteatoal Joual of Scetfc ad Techologcal Reseach ISSN (Ole) Estmato of Webull Reewal ucto fo Cesoed Data Cgdem Cegz (Coespodg autho) aculty of Ats ad Sceces, Btls Ee Uvesty Besmae M. Rahva Campus Btls, Tukey E-mal: Ayse Met Kaakas aculty of Ats ad Sceces, Btls Ee Uvesty Besmae M. Rahva Campus Btls, Tukey E-mal: Abstact I ths study, the webull eewal pocess whch teeewal tmes ae webull dstbuted s cosdeed. I case of adom ght cesoed sample, a paametc estmato fo the value of webull eewal fucto s poposed based o the maxmum lkelhood estmatos of the ukow paametes of webull dstbuto. Key Wods: Webull dstbuto, Reewal pocess, eewal fucto, cesog Blmeye Ve ç Webull Yeleme oksyou Tahmlemes Özet Bu çalışmada, ç yeleme zamalı webull dağılımı ola webull yeleme süec ele alımıştı. Rastgele ve öeğ duumuda, webull yeleme foksyou ç webull dağılımlaıı blmeye paametele maksmum olabllk tahmleyc tabalı b paametk tahmleyc amaçlamıştı. Aahta Kelmele: Webull dağılımı, yeleme süec, yeleme foksyou,, blmeye. Gş,,,... egatf olmaya, bağımsız ve ayı dağılım foksyoua sahp asgele değşkele b dzs olsu. (0) P( 0) olsu. :. yeleme yapıldıkta soa,.yelemeye kada geçe zama olaak fade edls. Page 3

2 Iteatoal Joual of Scetfc ad Techologcal Reseach ISSN (Ole) S 0, S..., olmak üzee 0 S asgele değşke. yeleme yapılıcaya kada t 0 Nt () geçe zamadı. He ç, N( t) sup : S t () le taımlası. Nt () sadece t zamaıa kada ya 0,t zama aalığıdak yelemele sayısıdı. Nt () Bu şeklde taımlaa yeleme asgele değşke ve süec olaak adladıılı (Ross 983). N( t), t 0 b yeleme süec olmak üzee, N( t), t 0 stokastk süec b yeleme M( t) E( N( t)), () t 0 le vele M otalama değe foksyoua yeleme foksyou de (Kal ve Taylo 975). Buada 0,t Mt (), zama aalığıda yapıla yelemele otalama sayısıdı. I k, 0, S k S k t t (3) olsu. N() t Ik k (4) olup E N t E I E I P S t t k ( ( )) k ( k ) ( k ) ( ) k k k k (5) elde edl. O halde k ( ) ( ), 0 M t t t k (6) d. Buada Steltjes kovolüsyo şlem göstemekted. Deklem 6 kullaılmasıyla M yeleme foksyou ç b tegal deklem elde edlebl. ( k ) () t yee matematksel olaak dek ola t k t x d x 0 ( ) ( ) tegal alımasıyla Page 4

3 Iteatoal Joual of Scetfc ad Techologcal Reseach ISSN (Ole) t M ( t) ( t) M ( t x) d( x) 0 ( t) M ( t), t 0 (7) buluu. Bu tegal dekleme yeleme deklem adı vel. Bua göe deklem 7 t M ( t) ( t) ( t x) dm ( x), t 0 o (8) olaak yazılabl. M yeleme foksyou geelde k paametel üstel, düzgü, hpe üstel ve gamma dağılımı dışıda aaltk olaak elde edlemez. Bu duumda M sayısal olaak elde edlebl. Lteatüde Laplace ve tes Laplace döüşümle hesabıa, kuvvet sele açılımıa, kübk sple yaklaşımıa ve yeleme tegal deklem sayısal hesabıa dayalı bazı yötemle vadı (Baxte ve ak. 98; e 989). Kolay olaak pogamlaablmes heme heme tüm duumlada bastlğ ve yakısaklığı le y souçla vee ve dğe ble yötemlele kaşılaştııldığıda uygulaabllğ daha fazla ola b yötem aşağıda taf edle e RS (Rema-Steltjes) yötemd (e 989). Rema-Steltjes tegal taımıı ışığı altıda ( ) ( ) tegal,, b g x dh x a ab aalığıı b paçalaması x0, x,..., x olmak üzee, b a g( x) dh( x) g(( x x ) / )( h( x ) h( x )) (9) şeklde yazılabl. Rema-Steltjes tegal sayısal hesaplaablmes ç kullaılablecek bu fomülde paçalamaı omu küçüldükçe yaklaşımı daha y olacağı açıktı. Deklem 8 celedğde t velmş b değe ve 0 0 Bu duumda şeklde olup deklem 9 ü kullaılmasıyla t t, t,..., t M ( t ) ( t ) ( t x) dm( x) 0 0 t t... t t şatıı sağlaya b paçalama olsu. M ( t ) ( t ) ( t ( t t ) / )( M ( t ) M ( t )) j j j j j (0) Page 5

4 Iteatoal Joual of Scetfc ad Techologcal Reseach ISSN (Ole) buluu. Böylece M( t ) 0 0 olmak üzee le yaklaşık olaak hesaplaabl (e 989). faydalıdı. T ( t ( t t ) / )( M ( t ) M ( t )) Bu yötem özellkle j j j j j alıdığıda ( t) T ( t ( t t ) / ) M ( t ) M ( t ),,,..., ( t ( t t ) / ) f M( t ) adışık olaak, () olasılık yoğuluk foksyou blmedğ ve aykıı oktalaa sahp ke dağılım foksyou yee f olasılık yoğuluk foksyou veldğde ve kapalı b fomda fades yok se dağılım foksyou t ( t ) ( t ) f (( t t ) / ),,,..., fomülü le kolaylıkla hesaplaabl. Deklem 7 ve deklem 8 teok olaak dektle. Lteatüde e yaygı olaı deklem 7 olmasıa ağme RS yötem 3 olu deklem çözümüe kısıtlamıştı. Eşt olmaya adım uzuluklaı kullaılısa deklem 8 adışık çözüm ç daha bast göüü. Ayı zamada deklem 7 yee deklem 8 kullaılmasıı temel avatajı t () () büyük t le ç heme heme sabt olmasıdı ve böylece ( t) ( t ) dek yuvalatma hatası spete büyük olacaktı.. Sağda Rasgele Sasülü Öeklem Duumuda Paamete Tahm Webull Dağılımıı Paametele Tahm Sasüleme, zama ve malyet gb b takım sıılamala edeyle, öeklemdek bmlede elde edle gözlemle aalze dahl edlememes veya elde edlemeye blgle göz adı edlmesd. Öeğ, sabt ya da asgele takp süel çalışmalada, bellee süe souda lglele olayı (bozulma gb) hala geçekleşmemş olmasıdı. Bu tü duumlada kaşımıza çıka gözlemlee sasülü vele adı vel Lteatüde faklı sasüleme çeştle velmşt (Lawless 003). Bu çalışmada sasüleme çeştlede yalızca sağda asgele sasüleme le lglemekteyz. Bu kısımda foksyoel olaak blke, blmeye,,..., dağılım foksyou paametele sağda asgele sasülemş öekleme dayalı olaak e çok olabllk tahm edcle elde edlmes üzede duulacaktı. Page 6

5 Iteatoal Joual of Scetfc ad Techologcal Reseach ISSN (Ole) ç Y. paçaı ömüü ve T. paça le lgl sasüleme asgele değşke göstes. Buada hem Y T (,,..., ) le hem de (,,..., ) le bağımsız ve ayı dağılımlı asgele değşkeled. Ayıca Y T (,,..., ) ve (,,..., ) asgele değşkele bağımsızdı.,,..., olmak üzee. bleşe T asgele değşke le sasülemes altıda. bleşe ç sasülü gözlemmz m( Y, T ) d. Bu şeklde oluştuula,, asgele değşkelee sağda asgele sasülemş bmlk öeklem de. Yeleme süeçle le lgl uygulamalada çoğu kez bu tp gözlemle le kaşılaşılı. Öeğ, ye çıka b üü faklı zamalada satılı ve üetc bu satıla üüle bozulma süele ay boyuca zlese, satıla üüle ömüle kaşımıza sağda asgele sasülemş vele olaak çıka.,,..., ç Y asgele değşke dağılım foksyou ve olasılık yoğuluk foksyou f le gösteelm. şeklsel olaak blke bazı paametele blmes.,,..., blmeye paametele göstes. Bu duumda,, sağda asgele sasülü öekleme dayalı,,..., olaak paametele tahmle yadımıyla ı b oktadak tahm yapablz. g T (,,..., ) asgele değşke dağılım foksyou ve olasılık yoğuluk foksyouu le gösteelm.,,..., ç, G I, 0, Y Y T T (3) olmak üzee m( Y, T ) Y I T ( I ) yazılabl.. ( I ) olayı. bleşe ç sasüleme yapılmadığıı gösteke. ( I ) (4) olayı sasüleme yapıldığıı göste. Şmd lk olaak sağda asgele sasülü,, öeklem duumuda olabllk foksyouu oluştuulması ç değşkele otak dağılımlaıı bulalım. Page 7 ve I (,,..., ) asgele

6 Iteatoal Joual of Scetfc ad Techologcal Reseach ISSN (Ole) olduğuda x, I x, Y T Y x, T Y x, x T fx, I ( x,) f ( x )( G( x )) (5) (6) ve olduğuda x, I 0 x, Y T x, Y T, T Y x, Y x f, ( x,0) g( x )( ( x )) x I (7) (8) d. Böylece 0, ç f, (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) I x f x x ft x T x (9) yazılabl. Bu duumda sağda asgele sasülü,, öeklem ç L(,,... ) olabllk foksyou aşağıdak gb taımlaı (Lawless 003). T L(,,... ) f ( x ) ( ) f ( x ) ( x ) f ( x ) ( ) g( x ) G( x ) (0) ˆ, ˆ..., ˆ L olu. Bu foksyouu maksmum yapa değelee paametele e çok olabllk ˆ ˆ ˆ,..., tahmle de ve bu tahmle sıasıyla le göstel. dağılımı G ˆ ˆ ˆ,..., paametele çemez se olabllk foksyoudak kc çapım e çok olabllk tahm edcle buluma şlem etklemeyecekt E çok olabllk yötem le uygu b şeklde çalışmak ç gözlemle kümes D ve gb k alt kümeye ayıalım. D gözlemş bozulma zamalaıı ve dsle kümes göstes. D kümes boş küme olmadığı vasayımı altıda yadımıyla olabllk foksyou, C sasülemş gözlemle C C ve D kümele Page 8

7 Iteatoal Joual of Scetfc ad Techologcal Reseach ISSN (Ole) L(,..., ) f ( x ) ( ( x )) g( x ) ( G( x )) bçmde yazılabl. Çoğu duumda D C C D ˆ ˆ ˆ,..., e çok olabllk tahm edcle () log L( ) 0,,,..., () deklem sstem çözümüyle elde edl. Yaygı kullaıla bkaç dağılımı dışıda bu deklem sstem aaltk çözümü yoktu. Bu duumda sayısal b yötem le çözümü geekllğ otaya çıkmaktadı. Bu çalışmada lteatüde e çok kullaıla deklem sstem çözme yötemlede bs ola Newto-Raphso yötem kullaılmıştı. 3. Webull Dağılımıda Paamete Tahm, şekl ve ölçek paametel Webull dağılım foksyou olsu, ( x / ) ( ), 0 x e x (3) olup bu dağılımı f olasılık yoğuluk foksyou, f x x e x ( x / ) ( ), 0;, 0 (4) d.,, ; dağılımıda sağda asgele sasülemş bmlk öeklem olmak üzee, sasüleme asgele değşke dağılım foksyou ola ve G paametele çemedğ kabul edelm. Bu duumda ve Page 9 L x e e ( x / ) ( x / ) (, ) D C ( x/ ) ( x/ ) l L(, ) l x e l e D C S( D)l S( D) l ( ) l x x x S( D)l S( D) l ( ) l x x D D C D (5) (7)

8 Iteatoal Joual of Scetfc ad Techologcal Reseach ISSN (Ole) olup l L(, ) S( D) l S ( D )l l x x l x x 0 D (8) ve l L(, ) S( D) 0 x (9) deklemle elde edl. Deklem 9 de x SD ( ) / olu. Bu fade deklem 8 de yee koulmasıyla, ya göe tüev alımasıyla l x x l x SD ( ) x 0 (30) (3) lee olmaya deklem elde edl. Bu deklemle Matlab paket pogamıda Newto Raphso yötem le çözülebl. Buada Newto Raphso yötem velşdek otasyolaa bağlı kalımak üzee, U ( ) l x x l x SD ( ) x (3) ve Page 30

9 Iteatoal Joual of Scetfc ad Techologcal Reseach ISSN (Ole) V ( ) l d. Bu duumda Newto Raphso yötemde x x x x l x l l x x x x x x x () başlagıç değe le, (33) U( ( m)) ( m) ( m) V ( ( m )) teasyo şlemlee ulaşılı. m yetece m duduulaak ( m) l l x x x ( m) S( D) ( m) x ( m) ( m) l l x x x x ( m) ( m) x x ( m), m,,... (34) sayısıa yetece yakısa teasyo ı e çok olabllk tahm değe ola ˆ ( m ) olaak bulumuş olu. Öeğ yapıla bu ve paametel Webull dağılımı ç sağda asgele sasülemş gözlem değele Tablo de velmşt. Tablo ve paametel Webull dağılımı ç sağda asgele sasülemş gözlem değele Page sembolü sasülemş gözlem değeled. Matlab pogamıda deklem 34 dak teasyo şlemle yapılıca ı e çok olabllk tahm değe ˆ 7.97 olaak buluu. Deklem 30 de ı e çok olabllk tahm değe

10 Iteatoal Joual of Scetfc ad Techologcal Reseach ISSN (Ole) ˆ olu. 4. Souçla Bu çalışmada yeleme süeçlee temel ola bazı kavamla taıtılaak yeleme teos üzede duulmuştu. Daha soa aaltk olaak elde edlemeye webull yeleme foksyou e RS yötemyle elde edlmşt. Aaştımaı kousu doğultusuda; yeleme süeçlede sık kullaıla sasülü öeklem duumuda webull yeleme foksyou elde edlp e çok olabllk tahm edcle bulumuştu. Kayakla Baxte, L. A. (98), Some Remaks o Numecal Covoluto. Commucatos Statstcs, Se. B(0), 8-88 Baxte, L. A. et al. (98), O the Tabulato of the Reewal ucto. Techometcs, Volume 4, Bsha, Lu. (988), Estmato of the Reawal ucto. The İtedepatmetal Pogam Busess Admstato. 84. Lousaa. Getsbakh, I. B. (989), Statstcal Relablty Theoy. Macel Dekke, 33, New Yok. ees, E. W. (986a),. Waaty ad Reewal ucto Estmato. Nov. Res. Logst.Q., 33,36;37 ees, E. W. (986b), Nopaemetk Reawal ucto Estmato. A. Statst., 4, 4, Gmmett, G. R. ad Stzake, D. R. (99), Pobablty ad Radom Pocesses. Oxfod Uvesty Pes Ic, New Yok. Kal, S. ad Taylo, H. M. (975), A st Couse Stochastc Pocesses. Secod edto. Academc Pess, 557, New Yok. Lawless, J.. (003), Statstcal Models ad Methods fo Lfetme Data. Joh Wley & Sos, 630, Caada. Ross, M. S. (983), Stochastc Pocesses. Joh Wley & Sos, 50, New Yok. Tjms, (994), Stochastc Models: A Algothmc Appoach. Joh Wley & Sos Topçu, Ç. (007), Geewood ve Kapla-Mee Metodu Yadımı le Vayas Tahm. Yüksek Lsas Tez. Akaa Üvestes, 48s, Akaa Page 3