BMMZ 405 OTOMATİK KONTROL

Transkript

1 Dicle Üiveriei Mki Mühediliği Bölümü Mki Dimiği ve Teorii D BMMZ 45 OTOMTİ ONTOL rş Gör Dr Meu HÜSEYİNOĞLU meuh@dicleedur Tel: 4 4 / 3599 Od : 33

2 orol Siemi Nedir? OTOMTİ ONTOL orol çok geel bir kvrmdır Bu erim peifik olrk i mkie ekileşimii imgeler Öreği bir oomobil kulldığımızd rcı ieile yöe emiyeli bir şekilde göürmek içi direkiyo, fre ve gz pedlıı korol emek zorudyız Böyle iemler elle korolü gerekirir Siem: Bir mcı gerçekleşirmek içi berber hreke ede ekileşimli elemlr opluluğu iem deir orol: İcelee dvrışlrı belirli iee değerler erfıd uulmı vey iee değişimleri göermei içi ypıllr geel olrk korol işlemlerii ımlrlr

3 Oomik orol: Ylızc mkieler işlemleri yprlr Öreği od ıcklığıı korol emede yzı klim, kışı ie klorifer kzı iemi kullırız Her iki iemde ermoı okuduğu değere göre çm kpm şeklide mkielere vey iemlere korol edilir U orol T

4 Iı ybı rzu edile Sıcklık + - Termo Gz Vlfi z Q i Q ou - + Ev Od Sıcklığı ç-p O-Off vey Bg-Bg orol Oomik korol işlemleri, korol edilmek iee oly erfıd kurulmuş bir krr mekizmı rfıd doğrud i girişimi olmkızı, gerçekleşirebilmeidir

5 Bzı korol mekizmlrı örekleri Hız egülörü Şmdır-V Siemi Bıç yrlm Vidı Diyfrm k Bıç egülörü kış

6 Oomik orolü Trihçei: Oomik korolü rihe ilk uygulmlrı MÖ ile 3 yıllrı rıd eki Mıır, Yui ve Ordoğu'd görüldüğü belirlemekedir eibio bir u ide yüze bir düzeleyici kullmışır Burd yklşık değişmez bir debi elde edilerek, zmı ölçümü ypılmy çlışılmışır Su Side Oomik orol Yüzer Ciim Zm Sklı

7 Philou bir bezer düzeeği, bir yğ lmbıd yğ eviyeii bi umk içi değerledirmişir MS yüzyıld yşy İkederiye'li Hero çeşili yüze düzeleyicilerle ilgili Peumic iimli bir kip yzmışır Yüze düzeleyiciler güümüze deği öemlerii ürdürmüşlerdir Bugü ıhhi ei şmdır olrk bilie iemler buu ipik bir öreğidir eici Bir Seviye Düzeleyicii Mkr Yüzer üre Bu öreke kpki u zldığı zm yüzer küre kolu şğı ierek kediiyle berber bir mkr iemiyle bir keiciyi çr ve kb fzl u gelmeii ğlr pki u eviyeii yükelmeiyle küre de yükelecek, o bğlı olrk d keici, kb gele u debiii zlckır Bu şekilde u eviyeii iee değişmez bir değerde klmı gerçeklemiş olckır

8 vrup'd görüle ilk oomik korol uygulmlrıı 7 yüzyıld ıcklık ve bıcı kpdığı görülmekedir Buhr kzlrıdki bıç deeimi Buhrlı mkilrı i yşmı girmeiyle yrrlı gücü deeimi güdeme gelmişir Jme W 769'd bulduğu bir hız regülörü ile bir buhrlı mkiı hız korolüü gerçekleşirmişir Buhr Su Polzuuv'u Seviye Düzeleyicii Buhr üree bir kz dol u mikrıı korol ede, böylelikle kzdki u eviyeii belli bir değerde klmı yrdım ede bir oomik korol iemi de uy'd 765'de Polzuov rfıd gelişirilmişir

9 9 yüzyılı olrı dek oomik koroldeki rihi buluşlrd or, mevcu korol iemlerii hiyelerii rırılm çblrı ory çıkmışır Bud dolyı meyd gele geçici dlglmlr, h krrızlıklr ubilie d dolyı, bir korol eoriii gelişirilmei gerekiğii ory çıkrmışır Bud or bu ld eorik çlışmlrı çıkmy bşldığı görülmüşür Özellikle BD'de Bell Telefo lborurıdki elefo ve elekroik geri belemeli yükeliciler mplifikörler üzeride çlışmlr, Bode, Nyqui ve Blck gibi rşırmcılrı kkılrı, bu eorii gelişmeie ede olmuşlrdır

10 Oomik korol eoriii üzeride e elı çlışmlrı İkici Düy Svşı olrı rldığı görülmekedir Svşı i öüe koyduğu yei gerekiimler, öreği oomik uçk pilolrı, ilh koumldırm iemleri, rdr e kumd iemleri ve diğer bir çok keri ğırlıklı iemler, oomik korolü eori ve priğide çok öemli gelişmeler geirmişir 94'lr öceie dek deeme-yılm diye ieledirilebilecek ekiklerle korol iemlerii rımı ypılırke, rık memik ve liik yöemleri yı ve ielikçe rmıyl, orol Mühediliği biçimide dldırılck büyüklüke yei bir diipli doğmuşur

11 Dh or uzy çlışmlrıı 957 bşlmıyl oomik korol yei bir dürü ve ivme kzmışır Öreği uçklrı iişi ve diğer mevrlrıı mme oomik hle geldiğii biliyoruz yrıc bir uzy rcıı yörügeye ourulmı işlemi mme yerdeki bilgiyrlrl korol edilmekedir Özellikle bilgiyrlrı çıkmı ve yygılşmı öemli değişiklikler geirmişir Bu değişiklikleri e öemlileri korol devreie bilgiyr y d mikroişlemci lımıdır Bu ouç log korol orglrıyl doıl korol iemlerii yerie, yıl ielikli yzılım emelie dy korol iemi rımlrı gelmişir

12 orol iemlerii edüriyel üreçlere geirdiği yeilik ie, geel dıyl oomyo diye bilie ümüyle oomik imlır Öreği ehlikeli koşullrd çlışck uzk kumdlı iemler, robolr, bilgiyr deeimli ezghlr CNC CM oomyou ipik bileşeleridir İee işlemi ypırmk üzere robou mikroişlemciie işlemleri yıl ifde ede bir progrm verilir obo kollrıı gerçek koumlrı ölçülerek, iee koumlrd frkı pır Bulu h robo koluu hreke eire moorlr göderilerek, gerçek koum, iee koum yklşırılır Bu ür robolr oomoiv edüriide boym, kyk, moj gibi işlemlerde ık ık kullılmkdır Yie okyu dipleri rşırmlrıd, ükleer rekörlerdeki bkım ve orımlrıd d öz kouu robolrı kullılmı zoruludur

13 çık Çevrimli orol: Bir korol çevrimide korol ve kumd, iemi çıkışlrı fizikel orgik bir bğlı ile belirlemiyor, korol çevrimi çıkır deir efer Değeri orol Elemı Siem orol Edilmiş Değişke Öreği merdive oomiği, ışıklrı ykıldık belli bir üre or ömeii ğlr Diğer bir örek oomik çmşır mkieleridir Çmşır yıkm ürei öcede belirleir rzu Edile öli Devri Herhgi Bir Dış Eki Zm

14 plı Çevrimli vey Geri Belemeli orol: Bir korol çevrimide korol ve kumd, iemi çıkışlrıdki değişmelere orgik bir bğlı ile doğrud bğımlı biçimde belirleiyor korol çevrimi plıdır deir İee Değer + - rşılşırm Elemı H e orol Elemı Siem Ölçme Elemı Ölçüle Değer Geri Beleme Od ıcklığıı ölçülmei, oomobillerde mooru rölideki hızı geri belemeli iemlere birer örek eşkil eder rzu Edile öli Devri Herhgi Bir Dış Eki Zm

15 orol Siemii Elemlrı: Ipu efer Değeri + - orol Elemı umd Ede kuör orol Girişi Bozucu Ekeler Siem Oupu Çıkı Çıkı Seörü Ölçme Elemı Örek: Oomobillerde Cruie orol: Yol Şrlrı İeile Hız + - H e orol Elemı orol Değişkei kuör Moor Oomobili Dimik Ypıı Ölçülmüş Hız Seör Hız Ölçe Tkomere

16 Blok Diygrmlrı Bir elemı vey iemi emil eder Sieme Giriş Ipu Siem Çıkııı emil eder Oupu Cebirel oplm embolü Birkç örek verelim; V Ipu i Oupu i = V Oupu Çıkış Değişkei V k f f d d V

17 Ödev-: çık çevrimli korol iemleri vj ve dezvjlrıı ırlyıız? Ödev-: plı çevrimli korol iemleri vj ve dezvjlrıı ırlyıız? Ödev-3:şğıdki çık çevrimli cruie korol iemide y op u r ve w u fokiyou olrk heplyıız Bozucu Eke r 5 orol elemı - Siem / u + y op Ödev-4: şğıdki kplı çevrimli cruie korol iemide y cl yi r ve w u fokiyou olrk heplyıız ve bozucu ekileri w çık ve kplı çevrimli korol iemleride ekilerii krşılşırrk yorumlyıız orol elemı 5 r Siem u + y cl

18 MTEMTİSEL TEMELLE omplek-değişke vrmı omplek değişke:lik korol iem eoriii emelii komplek değişkeler ve fokiyolrı uygulmı oluşurur Lplce döüşüm değişkeleri ve z döüşüm değişkei komplek değişkelerdir j = + j komplek değişkei iki e bileşee hipir Bulr gerçel ve l kımıdır omplek -düzlemi omplek Fokiyo:Eğer komplek düzlemide her değişkeie krşı G ylız ve ylız bir değer lıyor bu igle-vlue ek değerli fokiyo deir j r j r Modül rgüm rcg G eg j ImG

19 omplek Syılrd Bölme ve Çrpm omplek Syıı Eşleiği j J ie ve birbirii J eşleiğidir liik Fokiyo omplek değişkeli G fokiyou komplek düzlemde liik fokiyo olrk ımlbilmei içi, fokiyou ve büü ürevlerii oluşmı gerekir Öreği, G = ve = - dışıd liik bir fokiyodur Çükü bu okd fokiyou değeri ouzdur G fokiyou -düzlemide her okd liikir

20 Tekil Noklr Tekil oklr -düzlemide fokiyo ve ürevleri oluşmy yi liik olmy oklrdır Bir fokiyou kediii ve ürevii ouz yp ekil oklr Pol ler deir Bir bşk ımlm ie r im G i i olu ve ıfır olmy bir değere hipe, bu oklr pol olrk dldırılır G 3 3 im 9 olu değer O hlde = fokiyou polüdür Böyle pollere bi poller deir im = -3 merebede pol deir klı pol

21 Fokiyou ıfırlrı G fokiyou ıfır yp değerlerie ıfır lr deir vey, r im[ G ] i i olu vey ıfır olmy değere hipe "ıfır" olrk dldırılır = - G 3 fokiyou ıfırıdır Diğer yoll, im 3 5 Demek ki bu fokiyou ıfırı ouzd mevcuur Geel ıfır ve polleri komplek düzlemide şğıdki şekillerde göeririz -3 - ıfır - j G 3

22 Ödev: şğıdki fokiyolrı pol ve ıfırlrıı buluuz? Souz d dhil olmk üzere ve komplek düzlemide göeriiz? - b- G G 3 c- G e d- G

23 di Diferiyel Deklemler k m y f c Memik modeli, d y dy m c ky f d d ml m mgi mg d mgi d Eğer,, 3 + y'i fokiyou olmyıp, y ve ürevleri ie birici derecedee bu lieer di diferiyel deklem deir d y d y dy y f d d d

24 Birici Merebede Diferiyel Deklemler: Durum Deklemleri Birici merebeli diferiyel deklemleri çözümü koly olduğud geel olrk ici merebede diferiyel deklemleri -e birici merebede diferiyel deklemlere döüşürülür Örek: d y dy m c ky f d d [ c m k f ] Buu d durum deklemleri ile ifde ederek, y y şeklide ifde edebiliriz k m c m f B f Ödev: y çözüüz y 4y diferiyel deklemii bildiğiiz liik bir yöemle Ödev: y 4 y y y u deklemii birici merebe diferiyel deklemlerle ifde edip mri forml çözüüz

25 Lplce Döüşümü Cebirel deklemlerle uğrşmk dh koly olduğud Lplce döüşümü Trformyou diferiyel deklemleri çözümüde kullılır Lplce döüşümü diferiyel deklemleri cebirel deklemlere döüşürür Tım: Verile herhgi bir gerçek fokiyo f şğıdki şrı ğlıyor herhgi bir olu gerçek içi f e d Lplce döüşümü şğıdki gibi ımlır F f e d ve F L[ f ] Örek-: birim bmk fokiyouu Lplce döüşümü: olrk göerilebilir u f f u F L[ f ] u e d e

26 Örek-: f e F e e d e d e Ödev: şğıdki fokiyolrı Lplce rformyolrıı buluuz - b- c- i f f co f mp fokiyou Öemli Lplce Teoremleri Teorem-: L[ kf ] k F Teorem-: L [ f f ] F F

27 Teorem-3: f F im f F d df L yükek merebeler içi, f f f F d f d L Örek: d f d f= f = F f f F d f d L Ödev: u ky d dy c d y d m deklemi y=y = bşlgıç değerleriyle Lplce rformyouu lıp Y/U erimii buluuz Trfer fokiyou

28 Teorem-4: Iegryo F d f L Teorem-5:Öelemiş fokiyou Lplce döüşümü, u T ] [ F e T u T f L T Teorem-6: Bşlgıç-Değer eoremi im F im f Teorem-7: So-Değer eoremi, im F im f Örek: 5 F 5 5 F im im f Teorem-8: omplek Öeleme, ] [ F f L e Teorem-9: Gerçek ovuloio omplek Çrpm, f f ] [ ] [ ] [ d f f L d f f L f f L F F

29 ımi eirler çılımı ile Ter Lplce Döüşümü Geelde korol eoriide d e F J f j c j c bu formül kullılmz Geelde bir diferiyel deklem çözümüü şğıdki gibi ifde ederiz P Q P burd ve P derecei Q de dh büyük poliom olrk kbul ediyoruz Bulrı kökleri, komplek, reel vey klı kök olbilir Durum: Eğer köklerimizi hepi bi reel ie; Q P Q Bu kyılr şğıdki gibi buluur; 3 Q P Q

30 Örek: buu şğıdki gibi ifde edebiliriz 3 3 -, -, -3 kyılrı şğıdki şekilde buluur ] [ ] [ 3

31 Durum: eğer bzı pollerimiz klı kök durumud ie, r i r Q P Q Dh or bu keri şğıdki şekilde çbiliriz r i r i i r r -r e bi pol r e klı pol,, yukrıdki yöemle heplır,, r ie; i i i i r i r r r i r r i r r i r d d r d d d d ] [! ] [! ] [ ] [

32 Örek: 3 bu kımi keirlere, 3 3 bi kökler, ] [ ] [ 3 derecede kökler içi, ] [ ] [ ] [ ] [ ] [! ] [ ] [ ] [ d d d d d d d d d d d d 3

33 3 Durum: ökleri polleri bi komplek cojuge eşleik olmı durumud, frz edelim; j j ve kyılrı, j j j j j j Örek: j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j

34 Bu kyılrı deklemde yerie koyck olurk, [ j j ] j e i No: omplek polü reel kımıı poziif, egif ve ıfır olmı iemi cevbı ile ilgili çok öemli bilgiler şımkdır j j = rrlı = Mrjil rrlı rrız

35 Bezer olrk gerçek bi kök hlleride j = = i e - rrlı i i e = Mrjil rrlı rrız Bi polleri zm düzlemideki değişimleri

36 Lieer di Diferiyel Deklem Çözümüe Lplce Döüşümüü Uygulmı dımlrı: - Dif deklemi Lplce rformyou döüşümü kullrk -domeide ifde e Lplce döüşüm blou - Döüşürülmüş cebirel deklemde çıkış değişkeii çek 3- ımi keimler çılımıı kullrk elde edile deklemi kyılrıı hepl 4- Ter Lplce döüşümüü uygul Örek: d d 3 5U d d Bşlgıç şrlrı, d d dım: 3 3 5

37 5 3 5 dım: 3dım: ımi keirler çılımı 3 3 5,, 5 3 4dım: Ter Lplce döüşümü e e Sürekli rejim Cevbı Geçici ejim Cevbı So değer eoremii uygulrk, im im im

38 Ödev: ımi keirler çılımıı kullrk şğıdki fokiyolrı er Lplce döüşümüü ypıız ve iem cevbı hkkıd yorumlrıızı yzıız - b- c- d- G 3 G 3 G G 3 Ödev: şğıdki diferiyel deklemleri Lplce döüşümü yöemi ile heplyı ve ouçlrı yorumlyıız ve kbc zm düzlemide iem cevbıı ıl olbileceğii elle çiziiz - d f d df f e 5 4 u f f d Bşlgıç u =Birim fokiyou şrlrı, bmk b- d d, d 3 u d

39 Mri Tım Dikdörge vey kre bir vekör şeklide düzelee elemlr opluluğudur m :ır yıı m frklıy bir değeri yokur m:ır yıı MTİS TEOİSİ şğıdki mri deklemi ile ifde edebiliriz y y y y y y y y,,

40 =m hlide bu mri bir deermi hipir ve bir değere hipirre mri olo Mri: Ylıc bir kolod oluşur Vekör Sır Mri: Ylızc bir ırd oluşursır vekörü Digol öşege Mri ij = büü ij ol kre mri Birim Mri I Null mri ıfır mri Simerik Mri ij = ji 4 4

41 Bir mrii deermiı ij j ij de 33 ie kofkörü Örek: , 3 Mri oyoud Tekil mri Eğer bir mrii deermiı ıfır ie bu mrie ekil mri dı verilir 'ı deermiı ıfırdır, de Mrii Trpozu m ij T m ij,, ] [ ' ] [ Örek: T

42 Mri Trpozuu bzı özellikler T T T T k k T T T B B T T T B B 3 4 Mri Çrpımı m ij m q ij p ij c b B C,,, ] [ ] [ ] [ p k kj ik ij b c ylız ve ylızc p=q ie mümküdür Örek: B B

43 Mrii Teri Bölümü y y Şrlrı: kre mri olmlı ekil olmmlı 'ı eri dj T ij of dj, ] de [ Örek:,,, ' ' dj

44 Mri Terii Bzı Özellikleri I Mrii kı rk rk rk Ödev: B? C B, 3 Ödev:? 5? B 3 B

45 ÇO DEĞİŞENLİ SİSTEMLEDE BLO DİYGMLI VE TNSFE FONSİYONLI r r Çok Değişkeli Siem c c G Ç D Siem C r p c q C q = G qp p Bu durumd çıkış vekörü C q boyulu bir vekör olur yı şekilde giriş vekörü boyuu p boyulu bir vekör olur efer Siyli + - H iyli E Geri Beleme Siyli B G H C C E B q p p G H qp p pq E B C p p q

46 C H G G C ] [ G C H G I ] [ G H G I C M Trfer fokiyou deir Burd I+GH mrii ekil olmmlıdır ] [ G H G I M M C Örek: I H, G plı çevrim rfer fokiyou edir? GH I G 3 Δ G GH] [I M M

47 Ödev: E G C + - H C H I 5 plı çevrim rfer fokiyouu buluuz?

48 Lieerleşirme: Geelde fizikel iemler olieer krkeriik göerirler Fk lieer-iem lizii kolylıklrıd yrrlmk içi bu olieer iemleri çlışm oklrı erfıd lieerleşiriiz Geelde olieer iemi, ], [ r f d d Örek: r d d d d Geelde olieer durum deklemlerii çlışm okı erfıd = o yükek erimlerii ihml emek ureiyle Tylor eriie çrız;,,,,, j j r j j j j r j j i i r r r r f r f r f burd i=,,,

49 ,, r f burd r r i i i i i j j rj i i i j r p j j i j r j j i i r r r f r f,,, r B p p * * r f r f r f r f r f r f B, f f f f f f burd

50 Örek: L i + e - Elekrik Mıkıı + M i y Bu iemi hreke deklemi; Mg d y M d e i Mg y di i L d d d d g d d3 d M L 3 3 e L Durum değişkelerii, dy y i d olrk ımlrk, durum deklemleri, f P iemi

51 Siemi y bi erfıd lieerleşirelim O zm, d d y d d bulrı deklemde yerie yzrk bu bşlgıç şrlrı krşılık gele bşlgıç kım değeri, i Mg 3 * M 3 M L 3 g g M L / B * L olrk buluur Ödev: co i erfıd lieerleşiriiz ve mri formd ifde ediiz

52 FİZİSEL SİSTEMLEİN MTEMTİ MODELLENMESİ Mekik iem elemlrıı modellemei: Mekik elemlrı hrekeleri, düz öeleme, döme vey ikiii birleşimi şeklide rif edilebilir Mekik iemlerde hrekei yöee deklemler doğrud vey dolylı olrk Newo'u hreke kuuyl ifde edilebilir -Öeleme Hrekei: Öeleme hrekeii ımly değişkeler ivme, hız ve deplmdır Newo'u Hreke uu: uvve=m W=ğırlık M:üle kg -üle: Öeleme hrekeide kieik eerjiyi depoly bir elem özelliği göerir üle elekrik iemlerde Idük ile logdur M g W ğırlık Yerçekimi ivmei 9,8 m/ M y f M d M d d y M d f

53 Örek: Bileşirilmiş Cruie-orol Modeli b Sürüme uvvei vey hız ciide, M b m u orol uvvei u m yzılbilir u b m m b u F m b m u m -Lieer Yy: Prike, lieer yy belki gerçek bir yy, kblo vey kyışı bir uygulmı olbilir Yy poiyel eerjiyi depoly elem olrk dikke lıır f=y y : Yy kyıı Birim N/m W F d d k f Ypıl iş: Poiyel eerji

54 Öeleme Hrekei içi Söüm: Prik iemlerde üç değişik çeşi öüm kullılır - Vikoz Söüm: Bu uygul kuvve ile hızı lieer ilişkiii doğurur B b- Sik Söüm: y f f +f dy f B d B: Vikoz öüm kyıı ve birimi N/m f Eğim B Hrekei m bşlgıcıd hrekee egel ol kuvve -f c- uru Sürüme Coulomb Sürümei: Sbi geliğe hip ve hızı işrei ile er orılı bir öüm çeşididir F c f -F c f y Fc y F c : Coulomb Sürüme yıı Buu lmı; hızı değeri değil, işrei dikke lııyor

55 Örek: Döre bir rb modeli m k m y b rb üleleri erbe ciim diygrmı: y m b- k y- F m k w r Yol yüzeyi Sbi refer ekei b y k y k r m Eğer bu deklemler düzeleire, b m w k kw y y m m k y- k m w r k m b- k w -r y b y m y y b m y k m y

56 No: Söüm ve yy elemı içi prlel ve eri bğlm durumudki eşdeğer yy ve öüm kyıı Seri durumd: k k c c f f Bu durumd kuvve bi, yer değişirme iki yyı yer değişirmeii oplmı eşiir Yy kuvvei: F k F k F k F k F k k k k k k k yı şekilde c c c Prlel durumd: Deplm bi olduğu içi, k f f f f f k k k k k k k ve c c c

57 Ödev: k m c c y Şekilde göerile lieer öeleme iemii hreke deklemii yzıız ve rfer fokiyouu çıkrıız Y Y, F F f y B Döme Hrekei:Döe iemlerde, Newo'u hreke kuuu uygulmı şöyledir: Mome vey Torklrı cebirel oplmı, çıl ivme ile küleel le momeii çrpımı eşiir M J : çıl ivme rd/ J:üleel le momei kgm M: Mome Nm le: Döme hrekeii kieik eerjiii depoly bir elemı bir özelliği olrk dikke lıır Bu yuvrlk dik vey mili kedi geomerik ekeie göre küleel le momei, olrk belirleir J Mr r:yrıçp

58 Nokl üle m m T J I m T J J d d J d d çıl Deplm çıl Hız : rd =8/=573 o : rpm = /6 =47 rd/ = 6 deg/ Burulm yyı: Mil vey çubuklrı elikliğii doğurduğu bir yydır T T [ Birimi Nm/rd ] Vikoz Söüm: d T B d

59 Örek: Uydu orol Modeli: M D d efer Ekei F c Uydulr geellikle e, eör ve güeş pellerii uygu olrk yerleşmei içi poziyouu korolüü gerekirir eler geellikle yeryüzüde belli bir yüzeye doğru çevrilirler Güeş pelleri ie mkimum güç üreimi içi güeşe doğru çevrilmei gerekir M I F d M I c d Siem çıkışı 'dır Buu bulmk içi giriş orklrıı vey momeleri iki kez iegre emek gerekir Böyle iemlere çif-iegrör pl deir

60 Örek: Dik Okuyucu kf ve izleyici eör f küleel le momei I Elik Şf k, b Mooru le momei I M c +M D M c +M D k - k - b b

61 M I M c M D k b I eğer düzeleire, I b k I b k M c M D I b k hreke deklemi buluur Örek: Srkç Problemi T c mglsi I T c lsi mgsi l mg I ml g Si l Si g l T ml c T ml c g l

62 Ödev: m k l m Şekilde göerile çif rkç içi hreke deklemlerii çıkrıız Srkç çıl deplmıı yeerice küçük kbul ediiz ve yy her zm yy ekee prlel olduğuu kbul ediiz Döme Hrekei İle Öeleme Hrekei rıdki İlişkiler: Moor Souz Vid T W rmyer Dişli W Moor Thriği Piyo Dişli Döme-Öeleme T

63 T r W Thrik Mooru yış Dişliler: T, N T ve T ile ve ile ilgili ilişkiler: T, r r N N r r yı mefeyi lırlr N

64 Bir dişlide ypıl iş, diğer dişlide ypıl işe eşiir Çükü hiçbir kyıp olmdığıı kbul ediyoruz T T Eğer çıl hızlr ve ie, yukrıdki bğıılrı kullrk T T N N r r Dişli uu Prike dişlilerde le ve dişli çifleri rıdki ürüme ihml edilmez J T B T N T, F c, F c J T: Uygul Tork, : çıl deplmlr T, T : Dişlilerde ileile Torklr J, J : Dişlileri küleel le momei N, N : Dişlilerde diş yıı F c, F c : Coulomb ürüme kyıı B, B : Vikoz ürüme kyılrı B N

65 dişli içi mome eşiliği, F c d d B d d J T dişli içi mome deklemi, T F d d B d d J T c F c N N d d B N N d d J N N T N N T So deklem bir dişli rfı deklemii diğeri ciide ifde edeceğii göermişir Bir bşk deyişle idirgeyebiliriz le Vikoz öüm kyıı Tork Mome çıl Deplm çıl hız Coulomb ürüme momei J N N J B N N B T N N T N N N N F c N N

66 Eğer iemde yy burulm yyı vr yı şekilde N /N şeklide yıyckır N N her iki deklemi bir ek dekleme, F e e T d d B d d J T J N N J J e B N N B B e c c F F N N F T biçimide idirgeyebiliriz

67 Örek: N J Moor T J m T m J N 3 J, J ve J 3 ü ihml edilebilecek küçüklüke kbul ederek mome deklemlerii çıkrıız? T T 3 3 N T 4 J Yük T m d J m T d N N N 4 N N3 T T T3 T4 N N4 N N3 4 T N N 4 N N 3 4 J L T T 4 d d d 3 J L d 3 4 J T L T3 N N 3 4 T m d N N 3 N N 3 d J m T 4 J m J L T m Je d N N4 N N4 d d d J e Ödev: J, J ve J 3 ü ihml edilmeyecek büyüklüke kbul ederek, işlemleri ekrr ediiz

68 YIŞ SN SİSTEMLEİ Dişli kulrı, kyış kk T, r r T, iemleri içi de geçerlidir T r T r Ödev: yış rijid olrk kbul edilmekedir T m J m, B m Thrik Mooru r m M y r k T m : Moor momei m : Moor çıl deplmı J m : Moor lei B m : Moor vikoz öüm kyıı r : k yrıçpı M : üle - Hreke deklemii çıkrıız? b- Y T m rfer fokiyouu çıkrıız?

69 Levye Siemi: f l f f l l l f Ödev: u m l Hreke deklemlerii yzıp = o erfıd lieerleşiriiz Viçler içi geçerli bir yklşım Çubuğu ğırlık merkezi orıd kbul ediiz I, m p

70 ELETİ SİSTEMLEİN MODELLENMESİ Elekrik devreleri elekrik voljı ve kım kyğı ve diğer, öreği, direç, kpiör ve riörleri birbirleriyle bğlmıd oluşur Elekrik devreleri feedbck corol iemleride çok ık kullıl elemlrdır Çükü çok büyük iylleri oluşurulmıd çok büyük eeklik ğlr irchhoff'u kım ulrı: Nod gele kımlrı cebirel oplmı, odd yrıl kımlrı cebirel oplmı eşiir richhoff'u Volj uu: plı bir elekrik devreide üm voljlrı cebirel oplmı ıfırdır Elekrik Devreii Elemlrı: Direç: Sembolü Deklemi V + - i V=i ohm uu Sbi vol=ohmmp vol mp

71 pie: Sembolü Deklemi + dv V i c c:frd F= Coulomb i d Vol - Edük: Sembolü Deklemi V + - i di v L d LHery= Vol mp Volj yğı: Sembolü Deklemi + - V V V=V Vol kım yğı: Sembolü Deklemi + - i i i=i mper=mp= Coulomb

72 Örek: c u + c v v v v o - Göerile devre içi diferiyel deklemi çıkrıız? 4 4 od refer olrk eçilmiş olu, V, V ve V 3 bilimemekedir u =V i od içi richhoff kuuu yzrk, 3 odd, V V V V dv 3 c d V V d V 3 V d 3 c Eğer V c =V ve V c =V -V 3 derek, u=v i ve V 3 =V i -V c V V Vi Vc dvc c d c i c V

73 Eğer bu deklemi düzelerek, i c c c V c V c V c d dv d V V V d c V V V i c i c c i c V c V c V d dv i c c c Örek: Dizel kım Jeerörü i L + - V Dizel Moord gele Şf rmür V g i V g g richhoff'u volj kuuu uygulrk, d di L i V V L i L d di

74 Örek: V i y V + - i c y y dy d c Q id c V y i c c dy c y d V Örek: c V i i V i i V o Operyoel mplife Iegrör V V d V V c d i o i i V olduğu içi dv c d o Vi Vo c V d i

75 Doğru kım Moorlrıorol iemleride e çok kullıl DC doğru kım moorlrıdır Döme ve öeleme hrekei verebilir Doğru kım moorlrı modellemei; Fırç Döer Şf N S Bobi Srgılı oor Sor + e - i L M T m m Myeik kı m T L i : rmür kımı : rmür Direci e b : emf T L : Yük Torku : Myeik kı Hv Boşluğud J m : oor üleel le Momei B m : Vikoz Söüm yıı L : rmür Edükı e :rmür Voljı b : emf bii m : oor Döme çıı i : Tork Sbii m : çıl Deplm

76 Elekrik moorud lı mome, i i T i m m b e L i L e L d di d d e m b m b b i = Nm mp T m = i i d d B T T d d J m m L m m m Eğer değişkelerimizi i, m ve m olrk belirlerek, birici merebede durum deklemlerii şğıdki gibi yzbiliriz b u T J e L θ ω i J B J L L d dθ d dω d di L m m m m m m i b m m

77 Eğer m E i yzrk; m E L J m 3 J m B m i L b i B m Örek: e i L e L Devrei e e i e i di L de L L e d d e de d e de e d L L de d Cevp Örek: e c e i c e 3 i Eğer e 3 böyle ımlır e e e3 e i de3 de de d d d de c d de d e e e e3 de3 i c d de c d de e c d e

78 Örek: e e c e i e de i d c di d Örek: Memik modelii çıkrıız? e i H e - i B i o e o 4 e B H di d e id i c e e i de de d d de e e de de d c d d de d c c e c e de d Eğer o okı krichhoff kuuu uygulrk, i ib eo e e e e i i i Idükki volj, di d di d B o i i i e i 3 i B B B e i i o V L i e B eo 4 ib i 6 i di d B B

79 Ödev: e i + - e L H i L e c e o 5 F i c 3 e c ve ciide memik modelii çıkrıız? i L Ödev: L + e - i i M J m, B m m T m m L Elik Şf L Yük Vol vey Dik Memik Modelii Çıkrıız? J L

80 Örek: L T L m J m, B m T m J L, B L obo olu B i i Moor i m i T d d d d B d d B d d J i L m L m m m m m i L m L m L L L L L T d d d d B d d B d d J Düzelerek, i B B B J i L L m m m m m L m m L L L L L T B B B J Ödev: m ve L i buluuz

81 Elemlrı: HİDOLİ SİSTEMLE - Hidrolik ezi öreği vlfler Elekrik direcie bezer - Hidrolik kpiör Tklr 3- Ierfce kışkı ivmelemeie krşı göerdiği direç Bu geellikle hidrolik reziı yıd küçük kldığı içi ihml edilir 4- kış vey bıç kyğı Pomplr Değişkeler: Elem boyuc bıç kybı Frkı P =P -P Birim N/m =P P P Hcimel ve küleel debi m 3 /, kg/ Güç=QP =W, Eerji depolmı vey kybı QPd o 3 ezi Lieer ezi Q P Q P Q P Q P Q Lmier kış No-lieer ezi: Vlfler, orifiler ve ürbüllı boru kışlrı

82 Örek: - Lmir boru kışı yoğuluk e U d 8 L Q P Q 4 d hız boru çpı mulk vikozie N/m 5 L d d Q U U 4 Hge-Poieuille uu - Türbüllı kış Q 4/q P 3- Orifi Vlf Q C d P C d : Dichrge kyıı 6 : Yoğuluk Q P Beoulli kuu göre P U bi

83 piör: Hcim V V f P V Q d V o V CP Depol Eerji d dv dp Q C d P Q d P o C C P C V Eğer lieer kpiör ie Q ve P edir? P i g h P m Q P l Q o P : kışkı yükekliğide dolyı meyd gele bıç Q Q i Q o

84 Örek: Q i Q m Q m i i Q m ou ou h P Q ou dh d h m i i m m ou m ou Örek: Q i h Q P Q i ou Q P ou P dp C d P Q ou P P Q ou C dp d P Q i C g

85 h P d g h g h C d g dh d dh d h g zm bii h Q i Q i P g h P g h g V V Eğer P g Her iki rfı ile çrplım C g Değerleri yerie yzrk, g Q i = m 3 / P P P ve h=m h e h P e e h h h p =C C = P+= P = - h h h e h h p ' i bulmk içi h= h= e += =,634 h=e - + zm bii h =

86 Ierfce: dq P Q I I d Örek: P L dq P d L Uiform hız P dv F m d dv P L d L d V P d Prbolik hız profili içi bu değer; I L Lmir kışlr içi Örek: kümülör; debi ve bıç meyd gele çlkılrı ölemek içi kümülörler kullılır P m Piou degeii yzrk kuvve degeide k k P k Her iki rfı ile çrprk Q P P P k V k P C P C k

87 Örek: h P Q g g h,?, h, h h P Q g Q dh d P h g h Q g h dh, d dh, d h h h Eşzmlı ve birbirie bğlı e merebede diferiyel deklem, D h, D h h, D, D d h dh,3,3 h d d,3,87,3,3,,3,3,87 rd

88 Çözüm içi krkeriik deklemie bkrız,3,3, 9, 83 h e P e P e 9 e 83 dh dh h, h h, h h d d, 5, 5 h

89 Örek: Bir hidrolik piou modellemei Pio F D : Piou yüzey lı P: Silidir içideki bıç M: Piou külei : Piou poziyou P bıcıdki ıvı Piou hrekeii belirleye diferiyel deklemi buluuz? M F D p F D Birçok kışklr mekiği problemide, kışk y bir dr kei y d bir ürüme ile krşı krşıydır Bu direci vere geel formül, m P P m : üleel debi P, P : kışkı geçiği iki okdki bıç, : Değerleri egelleyicii ipie bğlı biler ile değerleri rıd değer lır e 5 de = Boru, kı drlmlr ve ozullrd e = değerii lır

90 Örek: Hidrolik bir kuörü modellemei Pilo Vlf orol yüzeyi ile giriş rıd olieer diferiyel deklemi buluuz? P e P P e P P F y d F Düşük bıçlı yğ Yükek bıçlı yğ l

91 = durumud iki geçiş klı olmlıdır > durumud ıvıı kışı ibreleri yöüdedir < durumud ıvıı kışı ibrelerii eri yöüdedir bezer şekilde, m P P m P Pe olduğuu kbul ediyoruz üreklilik deklemide, y P F m P y m: Pio ve bğlı ol kolu külei F: Pio kol gele kuvve Eğer korol yüzeyie göre mome yzılır, I F l Co F d I: orol yüzeyii küleel le momei F : Uygul erodimik yük : Sıvıı yoğuluğu : Pio lı

92 Yukrıdki 5 deklemi çözmek içi ek kiemik ilişkilere ihiycımız vrdır y l Si Geellikle = lırk ypılır, P -P =P -P e Özel durum: Eğer y bi ie y ve eğer üzeride F yükü yok, P P P P e ve Si = çok küçük kbul edilire P P e l elde edilir

93 Örek: Dmper Dhpo modeli P f P D d L f P P P Ne kei lı, D d Geelde bu ür jelerde vikoz ıvılr kullıldığı içi Lmir kış olduğu kbul edilebilir Hge-Poieuille kuud, d d 4 d q P C P 8 L yrıc hcimel debiyi, q biçimide yzbiliriz Çükü kışk ıkışırılmz olduğu kbul edilmekedir Eğer o iki deklemi birici deklemde yerie yzrk, d f C d C C 8 L elde ederiz Burd, D d

94 Terml Siemler: q T T C mc v q: Iı eerjii kıı J/ : Iı direci C /J T: Sıcklık C C: Iı kpiei C v : Sbi hcimde peifik ıı yrıc erml kodükiyo kyıı k ile ıı direci rıd k l gibi bir ilişki vrdır Eğer bir kışk kımı öz kouu ie, q m Cv T T ile heplır yrıc, T q C

95 Örek: Bir ıı eşjörü içi hreke deklemleri çıkrılmı, Buhr u T i T i Eşjörü içide kl e ıı : C T Buhr T C u v T T T m q i Burd, i T m C m v T i T =Buhrı küleel debii : Giriş vlfı lı : Giriş vlfıı kış kyıı C v : Buhrı peifik ııı T i : Gire buhrı ıcklığı T : Çık buhrı ıcklığı Burd, C = m C v erml kpie m : Gire buhrı külei : Tüm ıı eşjörüdeki orlm ıı direci T T Bezer şekilde u içi, C T m C v T i T T T

96 Örek: Fırı, Hv T, C q q T, C Iııcı q T Eerjii koruumud dt C q q d q T T Fırıdki hv içi dt C q q d burd, q T T Eğer yukrıdki deklemleri birleşirirek, olrk elde edilir dt C d C dt d q T T T T T T

97 Ödev: Solr erml eerji iemleri, Güeş T mbie ıcklığı T Çevre ıcklığı ollekör iee debi q d T i q q T Sirkülyo pompı T Sğl debi q d Iı eşjörü dt d f T, T, T fokiyou olrk buluuz?

98 LİNEE DİNMİ SİSTEMLEİN DUUM DEĞİŞENİ NLİZİ Durum deklemleri mri formu, di d fi[,,,, r, rp,,,, v ] Burd, i : Durum değişkei i=,,, r j : Giriş vey zorlyıcı elem j=,,,p k : Bozucu ekeleri emil eder, k=,,,v çıkış değişkelerimiz: c, c, c 9 9 e çıkış değişkeimiz olu Geellikle çıkış deklemleri, c j g j[,,,, r, r,, rp,,,, v ] j,,,9 - durum deklemi ve 9 çıkış deklemide oluş deklemlere dimik deklemler deir

99 ,, v v q q p p c c c r r r Burd, : Durum vekörü r : Giriş vekörü c : Çıkış vekörü : Bozucu vekör Şimdi ve zm çıkç bğlı olmy bir lieer iemde, ],, [ r f d d ],, [ r g c Durum deklemleri Çıkış deklemleri F B r d d H E r D c şeklide ifde edebiliriz Burd mrii boyuud elemlrı bi bir kre mriir

100 qv qv q q v v v v qp qp q p q q q p p p h h h h h h H f f f f f F e e e e E d d d d d D b b b b b b B,,, Se Triio Mri: Durum geçici mri Homoje kıım içi, e riio mrii kbul edelim, d d d d

101 ve yie =, yi = olrk ımlylım yi elde emei birici yolu olu deklemi her iki rfıı Lplce rformuu lmkır [ I ] [ I ] Eğer Ivere Lplce rformyou uygulrk, L [ I ] Eğer deklemi ile krşılşırırk olrk elde edilir L [ I ] Diğer bir lerif yol, klik diferiyel deklem çözüm meodudur

102 Çözümü e olduğuu kbul edelim: Eğer e yi eriye çrk, 3 3 e I! 3! olrk elde edilir Burd ie de d e e olduğu kolylıkl göerilebilir I! Şimdi kler bir örek ile bu erimleri ıylım + e i L di d e i L Durum deklemleri formud yzrk - di d i L e L

103 Eğer geel emil deklemleriyle krşılşırırk, i Durum değişkei e r Ipu Giriş = L, B ve F L olrk buluruz Eğer deklemi Lplce rformyouu lırk, E I i I L L L E I i L L olrk elde edilir ebi Ter Lplce döüşümü uygulrk, i e L i E e L olrk elde edilir

104 L Burd olduğud, yi ; L e olrk ımlybiliriz Se Triio Mriii öemi, homoje çözüm emil eder ve iemi erbe cevbıı göerir Se Triio Mriii Özellikleri: I Ip: e e Birim mri e e e e e I

105 herhgi, ve içi e e e ] [ k k Ip: 3 4 k: poziif ieger ] [ k e e e e k k Ip: k e erim Se Triio Deklemleri ] [ ]] [ [ ] [ ] [ d F B r F W B I L I L F W B I I F W B F B r d d yı şekilde çıkış deklemi, H E r d F B r D D c ] [

106 Örek: 3 r d d d d r : Birim bmk fokiyou olu F, B, 3 Bud dolyı, e - e e ] [ I e e e e e I L I

107 -e e -e e e e e e e e e e e e e e 5 5 e e e e vey olrk buluur İkici erimi bulmı diğer bir yöemi, e e e e L L B I L elde edilir

108 SİSTEM ONTOL EDİLEBİLİLİĞİ u E D C u B pr p r Durum vekörü Çıkış vekörü Giriş vekörü Eğer bir iem mme korol edilebilir ie, S mriii rkı, S=[B B B - B] olmlıdır Örek: u [ B] B S rk=, = olduğud bu iem korol edilemez Örek: u [ B] B S rk=

109 Lieer Siemlerde Gözleebilirlik Eğer her durum değişkei bzı çıkış değişkelerii ekiliyor, o iem mme gözleebilir Eğer V mrii p rkı ie ] [ D D D D V Örek: V D u C u T rk=, = olduğud iem gözleebilir bir iemdir

110 Siemleri Geçici ejim Cevbı Zm bii elemıı geçici rejim cevbı C + - C Öcede belirildiği gibi, zm bii elemı diferiyel deklemi birici merebede ol bir iemi göermekedir Bir C devrei, üle-dmper Zm biii bmk cevbı: C C olrk elde edilir Ter Lplce döüşümüü uygulrk, C e olrk elde edilir Cevp dvrışı, zm domeide, 'ye değerler verilerek elde edilir

111 = içi C=-= = C=-/e=63 = C=-/e =835 =3 C=-/e 3 =95 =4 C=-/e 4 =98 = C=-/e =-= Bşlgıç okıdki eğeii eğimi, C dc d e %865 %95 %98 % Nihi değere vrmk içi e z 4 beklemek mecburidir

112 Tireşim Elemıı Geçici Zm Cevbı: Tireşim elemı, diferiyel deklemi ikici merebede ol ieme verile ddır Trfer fokiyou, C şeklide olur Burd, : Doğl frek / =Herz : Söüm orı Yukrıdki rfer fokiyouu krkeriik deklemi, krkeriik deklemi kökleri,,,

113 Burd öüm elemıı lcğı değerlere göre kökler komplek eşleik vey gerçel olbilir Im Eğer < < ie e ökler düzlemii ol rfıddır Siem cevbı geçici rejimde öümlü ireşim ypr Eğer = ie, kökleri gerçel ve eşiir Bu hle "kriik öümlü hl" deir Tireşim yokur Eğer > ie, kökleri gerçeldir Bu hle "fzl öümlü hl" deir Söüm fzllığı edeiyle iem cevbı yvşır Eğer = ie, kökleri imjier eşleikir Hiç öüm olmdığıd, iem cevbı öümüz erbe ireşim ypr Eğer birim bmk fokiyouu cevbıı rrk C

114 Ter Lplce döüşümü, rcg Si e C olrk buluur = = = =5 C

115 C Mkimu m şm Sürekli rejim hı 5 d Gecikme zmı Yükelme zmı m

116 Mkimum şm: Geellikle yüzde olrk verilir M şm = C m C Sürekli rejim cevbıdki değer Mkimum şm, korol edile iemi relive olrk biliei bir ölçüüdür Büyük mkimum şmlr geellikle rzu edilmez Mkimum şm ilk epe okıd meyd gelecek diye bir geel kurl yokur Gecikme Zmı: Siemi ihi değerii %5 ie vrıcy kdr geçe üredir 3 Yükelme Zmı: %MşM Mş C % 4 Durulm Zmı: Belirlee bir yüzdei lıd birim bmk cevbıı kldığı zmdır Yukrıdki şekilde bu or %5 ir

117 Im ök öümlü doğl frek e = =Co

118 LİNEE SİSTEMLEDE LILI ouh-hurwiz rieri: Sbi kyılı krkeriik dekleme hip lieer iemleri mulk krrlılığı hkkıd bilgi verir Gerekli fk yeerli olmy şr, F - Poliomu büü kyılrı yı işre olmk zoruddır - yılrd hiçbiri ıfır olmmlıdır Gerekli ve yeerli şr ouh Tblouu kolou yı işree hip olmıdır

119 ouh Tblouu oluşurm: S 6 S S B 6 6 S 3 3 B 5 6 C D S S B C D C 6 E C C E D C 6 F E C C S F 6 E F 6

120 kolodki elemlrı işre değişirme yıı ğ komplek düzlemdeki kök yıı eşiir Örek: S 3 S S,5 4,56 4,5 S 6 İki def işre değişiğide, ğ - düzlemide iemi iki e kökü vr

121 Özel Hller: Herhgi bir ırı ilk elemı ıfır, diğerleri ie ıfırd frklı Örek: İşre değişi İşre değişi S 4 3 S 3 S 3 S S S 3 S e devm ederek, S i birici elemı ouz olcğıd, bu elem çok küçük poziif bir yı ekliyoruz

122 İki def işre değişirdiğide, iki e kökü komplek düzlemi ğ rfıddır Eğer kökleri buluck olur, olrk buluur, 3, j9 j98 ouh Tbloudki herhgi bir ırıd üm elemlrı ıfır olm hli Bu durumd üç şey öz kouu olbilir; - Deklem e zıd bir çif değere eşi fk işreleri frklı reel köke eşiir

123 b- Deklem bir vey dh fzl l eşleik köke hipir c- Deklem - düzlemii orijii erfıd imerik komplek eşleik çiflere hipir Öreği: =-j, =j

124 Bu durumd kurulmk içi yrdımcı deklem ımlrız = Bu deklem ıfır ol ırı heme bir üüdeki ırdki kyılrd oluşur Yrdımcı deklem dim çif poliomdur Yi yzıl çif yı üel olrk gelir Yrdımcı deklemi kökleri, yı zmd orijil deklemi de kökleridir şğıdki dımlrı kip ediiz; Yrdımcı deklemi = oluşuru d ürevii lıız d 3 Bu ürevi kyılrıı elemlrı ıfır ol ır yerleşiri 4 ouh blou kldığıız yerde devm ediiz 5 İlk ırdki elemlrı işrelerii yorumlyrk iemi krrlılığı hkkıd krr veriiz

125 Örek: ouh Tblou, S S S S 4 4 S S 8 S d d 8 S i kyılrı 8 dır

126 ouh blouu birici koloud, herhgi bir işre değişikliği olmdığıd, deklemi herhgi bir kökü komplek düzlemi ğ rfıd değildir Eğer yrdımcı deklemi çözerek, 4 4 j Bu yı zmd orijil deklemi kökü de olduğud orijil deklemi iki kökü l ekei üzeride olur Biz bu ür iemlere mrjil krrlı iemler diyoruz

127 Örek: ,5 Siemi krrlı olbilmei içi kriik e olmlıdır? S 3 4 S 3483,5 7 S 7 7 4,36, S, ,36,5 7, İkici şr > ve birici eşiizlike <7357 olmlı O hlde; < < 7357

128 ONTOL OGNI TİPLEİ İkili çlış korol orglrı Sürekli çlış korol orglrı Sürekli Çlış orol Orglrı: Orıl orolproporiol: G = p Bu kıc "P orol" diyoruz Hyı bir kyı ile çrprk iemi dh çbuk ürekli rejim cevbı ulşmıı ğlrız Fk büyük kyılrd iemi krrızlığ göürebiliriz I Iegrl orol: G " I orol " Hı iegrlii ldığı içi, ürekli rejim cevbıı ıfır göürür, fk iemi krrız ypr 9 o fz gecikmei verir Bu d iemi yvş dvrmıı ğlr

129 Türevel orol: " D orol " G = D 9 o Fz vı verir "Öcede eziş" dıı d lır Cevbı öcede hmi eiğide, iem hızlı dvrır Fk ürekli rejim cevbıdki hlrı elimie edemez Dh iyi özellike korol orgı gelişirmek içi yukrıdki korol orglrı kombiyolrı kullılır P, PI, PD, PID + - E G c orol orgı Bozucu Eke D + u + G P C Çıkış

130 Trfer fokiyouu yzmy çlışırk, C P P C P C P C P C P C P P C P P C P C P C P G G G D C G G G G C G G G G G G D G C G G D G C G G C G D G E G D G C, ] [ ] [ Siemimiz olu Görüldüğü gibi orijil iem krrızdır plı çevrim rfer fokiyou koyrk, G P C C C C G G G G C Burd görüldüğü gibi, eğer G c > eçerek iemimiz krrlı olckır

131 C C G G D C Eğer ve D'i birim bmk fokiyou olrk lırk, Orıl korolü cevbı, C C C C G G G G im l C C olbilmei içi G c i mümkü olduğu kdr büyük olmı gerekir D içi, yie büyük G c 'ler gerekirir C C G G im l D Şimdi "I orolü" uygulylım, I I I I I C C G

132 I hgi değeri lır lı iemi krrlı hle geiremeyiz Fk, I I I im D l im C l Mükemmel ürekli rejim cevbı verir Şimdi ie "PI korolü" uygulylım; I P I P I P I P C C G G C Siemimiz P > içi krrlı olur

133 I P I I im l D im l C Şimdi "PD" ürevel korolü ele llım; P P P D P D P D P D P D P D C C im l C G G C hiçbir zm olmz

134 Şimdi de " PID korolü " uygulylım; I P D I D P I D P I D P I D P C C G Uygu P ve D eçilire iem krrlı hle geirilebilir ve; I I im l C Sürekli rejim cevbı hı ıfır olur Bozucu ekelerde ekilemez

135 OOT-LOCUS TENİĞİ Lieer korol iemleride e öemli korollerde biri belirli bir iem prmerei değişirke krkeriik deklem köklerii ıl bir yörüge izlediğii rşırılmıdır plı çevrim rfer fokiyouu ıfırlrı ve polleri geçici rejim cevbıı krkerii yi eiğide, krkeriik deklemi kökleri öemlidir E geel şekliyle bir krkeriik deklem, b m m +b m- m- ++b +b = zç kyıı Gi ile ilgili büü erimleri ork prezde opluyoruz

136 Örek: G c D G p C TF= G c G p +G c G p G I c =+ + I m TF= TF= G p = G c =+ D D I I m= b m = = D m= b m, b m- = b = = I + D + b m m +b m- m- ++b +b = e G =- komplek vey reel olbilir

137 = oo-locu u Temel Özellikleri: = içi G i polleri buluur Çükü, G = - = lim G = k k Örek: ++3++= ele llım +G = + + = ++3 = içi =, =-, =-3 G i polleridir omplek düzlemde = içi eğrii bşlgıcı G i polleride olur I m = = = e

138 - = = içi krkeriik deklem eğriii o okıdır Bu G ıfırı vey ud bier G = - =- = =- vey = Ucu ouzd = = - I m e Geelde >m olduğu içi -m kdr ıfır ouzd buluur Souç olrk, oo-loci G i polleride bşlr ve G i ıfırlrıd bier

139 3 Dl eğri yıı, iemi pol yıı eşiir Çükü her polde bir oo-loci bşlyckır Bir bşk deyişle dl yıı, krkeriik deklemi dereceie eşiir 4 Tüm oo-loci -düzlemide reel ekee göre imerikir 5 ökleri geomerik yerii reel ekei üzerideki kıımlrı, ğıd pol ve ıfırlrı oplmı ek ol oklrdır 6 Brekwy Poi: Geomerik yeri reel ekede yrılm yeri vrış yeri kzç kyıı ı eğriyi mkimum ypığı okdır d d G = Bu gerekli şrır, fk yeerli şr değildir

140 Örek: d, = d = = Yeerli değil, çükü kökleri reel olmı gerekli I m e Bekwy poi 7- i büyük değerleri içi, oo-loci şğıd bğııı verile çıı ol imolrı imodur k = k+ -m k=,,,, -m -, m : pole yıı m: ıfır yıı

141 8- imolrı reel ekei keiği oklr, ıfır ve polleri ğırlık merkezidir = pole - zero pole - zero 9- Sl ekele keişme okı I m e i- ouh-hurwiz krieri ii- G de yerie =i yerleşirip, erimleri e ve I m kıımlrı oplrız e =, ve içi çözeriz Örek: D e + PID C C = S D + p + I 3 + D - + p -+ I

142 Siemi polleri; p = 3 I = 3 S 3 + D - + p -+ I = olu D = S D = Poller:, = i Sıfırlr: z,z =, z3 = - S 3 = - Im =4 =4 e -= pollerde -= ıfırlrd 3-oo-loci yıı pole yıı kdrdır =3 4-eel eke erfıd imeri olmı gerekli 5-eel eke üzerideki dvrışlrı -

143 6- Brekwy Poi: k = k+ 3- k= = k= dg = d = çıkr 7- impolr: = 8- = p - z + i + - i - -m = 3- = 9- Eğer krkeriik deklemde =i yı yerleşirirek, i+3 - D = = Sl erimler - D +3 = eel erimler Sl deklemde =, = = =, = içi D =4 olrk buluur

144 Örek: +++= - = poller =, =-, 3 =- - = içi = 3-3 polü olduğu içi 3 e dlı olckır Im = - ++ = = = - - e 6- BI/DO oklrı dg d = dg -3 = +6+ = d , = = Eğer buu dekleme koyrk e çok bil yp okyı buluruz

145 7- impolr: k+ k = = p-z j j 5 j 8- = - - = ii+i++= I m : = =, = e : -3 +k = =, = 6 Örek: ++k+4 = =, - = -4, +4 = - + dg d = dg = +-++ d = =

146 Im , = = -4 8 e = - = -68 FENS CEVBI Geellikle yükek merebeli iemlerde, iemleri zm-domeide liz emek hyli güçür Özellikle iüzoidl girişlerde iemi çıkış zm iyli hyli krışıkır Burd mkimum şm, yükelme zmı gibi büyüklükleri ölçmek hyli güçür Bu edele frek-domeide bu ür büyüklükleri ifde emek içi, çeşili grfik meolrı gelişirilmişir

147 Bir ieme r=si girişi uyguldığımızd iemi ürekli rejim cevbı, yı freklı iüzoidl olur, fk frklı gelik ve fz fz gecikmeie hipir C=CSi + Lplce domeide iemimizi çıkııı, C=G olrk yzbiliriz Siü girişi içi yerie =j yı yerleşiririz Cj=Gjj Eğer Cj yi gelik ve fz ciide ifde ederek, burd Cj= Cj <Cj Cj = Gj j ve fz bğııı <Gj=<Gj+<j

148 plı Çevrimli Siemleri Frek Cevbı M= C G = +GH Sürekli iüzoidl rejim cevbı lıd =j Mj = Gj +GjHj yzbiliriz Mj reel ve l kıımlrı yrı ifdelerii oplmı şeklide göerilebilir Mj=e[Mj]+jIm[Mj] burd Mj i geliği, Mj = Gj +GjHj ve fz <Mj==<Gj-<[+GjHj]

149 Bzı Frek-Dome Büyüklükleri Tepe ezoı Mp: Mj ı e büyük değeridir Geri belemeli iemi relive biliei hkkıd bilgi verir Geelde ile 5 rıd olmlıdır ezo Frekı p: Mp i meyd geldiği frekır Bd Geişliği B: [Mj] i %7 e düşüğü yer ile ıfır frek rıdki frek rlığıdır Siemi geçici rejim cevbı ile ilgili olduğud öemli bir büyüklükür Büyük B, hızlı yükelme zmı, küçük B ie iemi yvş olduğuu bir göergeidir

150 İkici Merebede Bir Siem içi Mp, p, ve B C = + + : Doğl frek : Söüm orı Mj = Eğer Cj j u = = = boyuuz j + j+ +j - ımıı yprk Mju = +ju-u Mju = [-u +u ] / ve <Mju = u = - - u -u

151 ezo frekıı bulmmız içi, d Mu du = = -/[-u +u ] -3/ 4u 3-4u+8u = 4u 3-4u+8u = u p = bir şey ifde emez Diğer kökler; u p = - p = - olrk buluur 77 Buu lmı <77 içi rezo frek p= ve Mp= değerii lır Eğer u değerii Mp de yerie yzrk, Mp = 77 -

152 Bd geişliği B Mju = = 77 [-u +u ] / burd u yu çekerek, şeklide elde ederiz B = [ ] / Burd bzı ouçlr çıkrmk mümküdür; -Zm-domeide birim bmk fokiyouu mkimum şmı, öüm orı bğlı idi Frek domeide ie rezo pek i epei yie y bğlıdır -Yükelme zmı ile rr B ie ile zlır O hlde %r ile B birbirleriyle er orılıdır 3-B ile ie doğru orılıdır 4-Yükek B, büyük Mp ye krşılık gelir

153 Bode Diygrmı log Mj y krşı log y-ekei -ekei derece olrk ye krşı log Fz diygrmı Bode Diygrmıı Çizilmei M = z -z -z -z m -p -p -p olu, Log M = Log z +Log-z ++Log-z m Log Log-p Log-p olur ve fz çılrı = - Im = e py - pyd olur

154 ökleri ve ıfırlrı 4 ihimli vrdır i- Sbi, ii- =, iii- Gerçek kök, iv- omplek eşleik çif - Sbi db db =log =bi ve <= derece > 8 < 3 = < > - - rd/ 8 < < Decde

155 - db=log i =log z= db Eğim db/decde - 9 p= =j = 9 z= -9 p= derece -9 = j

156 3- - db = Log i- = Log [ + ] / = Log + Eğer << << log + =log bi Eğer >> log Eğim db/derece = eim frekı deir Fz çıı << = = = >> = > < /4 < 35 > 9 < -9 >

157 Log -Log 3 db Log +9-9 = Log Log+Log Log+3db 4- -+ib++ib yi G = + + Gj = Log Gj = -Log [- ] +4 [ ]+j Düşük freklrd <<

158 Gj db = -Log = db Yükek freklrd ie, Gj = -Log db 4 = -4Log db Eğimi -4 db/derece ol bir doğru = ie keim frekı vey korer frekı Fz çıı içi: = -Log 4 = -Log = - << = >> = 8 = = 9

159 =5 db = =77-4 db/derece -9-8

160 Örek: G = İlk dım = j yerleşirmek 4 Gj = j+ j j+ j+5 J J+ =

161 Örek: G = ++ Gj = db/derece = M = - << 3 = db/dec >> - << - 3 = - db/dec >> - Fz = 9 - << 45 = 9 >> - << - 45 = - 9 >> -

162 - db -4 db db dec - db dec

163 zç Ve Fz Pyı db 4 Sbil olmy bölge zç Pyı GM = - Gj db -9 Fz Pyı -8 rd/ Sbil olmy bölge M = -8 + < Gj