Hızlı Fourier Dönüşümünün FPGA Uygulamasının SQNR Simülasyonu SQNR Simulations of Fast Fourier Transform Implementation on FPGA

Transkript

1 Elco 014 Elktrk Elktronk Blgsayar v Byomdkal Mühndslğ Smpozyumu, 7 9 Kasım 014, Bursa Hızlı Fourr Dönüşümünün FPGA Uygulamasının SQNR Smülasyonu SQNR Smulatons of Fast Fourr Transform Implmntaton on FPGA Burak Kllc 1, Mhmt Önr, Hakan Başaran 1 Mühndslk v Mmarlık Fakülts Okan Ünvrsts burak.kllc@okan.du.tr Koç Blg v Savunma Tknolojlr A.Ş. mhmt.onr@kocsavunma.com.tr, hakan.basaran@ kocsavunma.com.tr Özt Hızlı Fourr Dönüşümünün (FFT) FPGA üzrnd sabt noktalı sayılar kullanarak uygulamasının snyal-kuantalama gürültüsü-oranının (SQNR) Cordc algortması kullanılarak v kullanılmadan ld dln prformansı göstrlmştr. Smülasyon sonuçları SQNR dğrnn mnmum v ortalama dğrlrnn arasındak farkın uzunluğu kısa olan FFT çn arttığını göstrmştr. 4-noktalı FFT çn mnmum SQNR dğr ortalama SQNR dğrndn 8dB kadar düşük bulunmuştur. Uzunluğu kısa olan FFT çn sabt noktalı sayıların ksrl kısmının uzunluğu arttırılarak n kötü durumda bl SQNR prformansının sağlanması garant dlmldr. Abstract Sgnal-to-Quantzaton-Nos Rato (SQNR) prformanc of Fast Fourr Transform (FFT) Implmntaton on an FPGA usng fxd pont numbrs wth and wthout Cordc algorthm s prsntd. Smulaton rsults ndcat that th dffrnc btwn mnmum SQNR and man SQNR valus s ncrasd for small lngth FFT. For 4 pont FFT mnmum SQNR valu s up to 8dB lowr than ts man valu. For small lngth FFT, fracton lngth of fxd pont opratons should b ncrasd to guarant SQNR prformanc for th worst cas condton. 1. Grş Fourr dönüşümü 1768 yılında Josph Fourr tarafından snyallrn snüzodal fonksyonların toplamları cnsndn yazılması olarak önrlmştr. Yrmnc yüzyılın knc yarısında sayısal şart şlm donanımlarının ucuzlaması v prformanslarının komplks şlmlr zn vrmsyl brabr Fourr dönüşümünün sayısal sstmlr uygulanması üzrn çalışmalar yapılmıştır. Çalışmalar özllkl ayrık zamanlı Fourr dönüşümünün grktrdğ matmatksl şlmlr azaltma üzrn yapılmıştır. Bu konuda dönüm noktası, parçala v hsapla mantığına dayalı olan Cooly-Tuky algortması olmuştur[1]. Algortma tabanlı v drkt hsaplamadan daha hızlı olan Fourr dönüşümün hızlı Fourr dönüşümü (FFT) dnlmştr. Cooly-Tuky algortması toplam şlm sayısını, drkt olarak hsaplamanın şlm sayısı olan N 'dn Nlog N şlm addn düşürmüştür. Burada N ayrık Fourr dönüşümünün uzunluğudur. Ayrıca bu algortma N sayısını v 'y şt olacak şkld sınırlamıştır. Burada v sayısı poztf tam sayı olmak zorundadır. Bu sınırlama algortmanın problm hr sfrnd k şt parçaya bölmsndn dolayı oluşmaktadır. Bu yöntm aynı zamanda radx- FFT algortması da dnlmktdr. Bnzr şkld sürkl ky bölm yrn dörd, skz ya da onaltıya bölm yöntmlr d kullanılablr. Bu yöntmlr sırasıyla radx-4 FFT, radx-8 FFT v radx-16 FFT dnmktdr. Dörtdn daha yüksk bölm oranları radx algortmasının karmaşıklığını arttırdığından kazanç bklnldğ kadar yüksk olmamaktadır yılında spltradx algortması önrlmştr []. Bu algortmanın tml mantığı snyaln çft tarafı çn radx- v tk tarafı çn radx-4 kullanılmasıdır. Ltratürd N dğrnn asal sayılarının çarpımı olması durumunda hsaplama algortması Good tarafından önrlmştr [3]. Daha sonra Good'un algortmasındak asal sayı uzunluktak kısımların FFT hsabını da konvolüsyon kullanarak hsaplanması Wnograd Fourr dönüşüm algortması olarak göstrlmştr [4]. Ancak bu algortma blgsayara uygulandığında bklnn prformansı sağlayamamış v FFT karmaşıklığının yndn tanımlanmasına yol açmıştır. Sadc çarpma sayısına bakmanın ytrl olmadığı aynı zamanda toplama v hafıza transfr mktarlarına da bakmak grktğ ortaya çıkmıştır [5]. Kayan noktalı sayılarla matmatksl şlmlr sabt noktalı sayılarla yapılan matmatksl şlmlr gör daha fazla alan v güç grktrdğ çn matmatksl şlmlr sayısal sstmlrd mümkün olduğunca sabt noktalı sayılarla yapılmaktadır. FFT algortması da aynı şkld sabt noktalı sayılarla grçklştrlmş v yuvarlamadan dolayı FFT çıkışındak kuantalama gürültüsü blrlnmştr [6, 7]. Kuantalama hatasının gücü kullanılarak rastgl olmayan br grş snyal çn FFT çıkışındak snyaln SQNR dğr hsaplanablmktdr [7]. Ancak grş snyal pratkt rastgl özllktdr. Halyl FFT çıkışında hsaplanan SQNR dğr 559

2 Elco 014 Elktrk Elktronk Blgsayar v Byomdkal Mühndslğ Smpozyumu, 7 9 Kasım 014, Bursa d rastgl br snyal olacaktır. Bu rastgl SQNR snyalnn ortalama dğr ltratürd blrtln yöntmlrl hsaplanablmsn karşın SQNR dğrnn n kötü hal hakkında hrhang br çalışma bulunmamaktadır. Bu çalışmada Mont Carlo analz yöntmyl SQNR dğrnn n kötü hal radx- FFT algortması çn blrlnmştr. FFT algortmasının grktrdğ faz faktörlrnn CORDIC algortması l hsaplanmasının tks d Mont Carlo yöntmyl blrlnmştr.. Hızlı Fourr Dönüşümü Fourr dönüşümü tml olarak N adt komplks x(n) vr srsn N adt X(k) srsn aşağıdak ştlğ kullanarak çvrmktdr [7]. X N 1 kn k xnw, 0 k N 1 n 0 N Burada faz faktörü W N aşağıdak şkld yazılmaktadır. W N (1) j / N () Eştlk (1)'dn görüldüğü üzr hr k dğrn hsaplamak çn N adt komplks çarpma (4N grçk sayı çarpma) v N-1 adt komplks toplama (4N- grçk sayı toplama) grkmktdr. Halyl N adt k dğrn hsaplamak çn N adt komplks çarpma v N -N adt komplks toplama grkmktdr. Ayrıca hsaplanan sonuçların tutulması çn N adt hafıza bölgsn htyaç duyulmaktadır. Fourr dönüşümünün drkt olarak hsabı faz faktörünün smtr v tkrarlama özllklrn kullanmadığından çok vrml olmamaktadır. Ltratürdk radx türü algortmalar faz faktörlrnn bu özllklrn kullanarak hsap mktarını azaltmaktadırlar. Bu algortmalardan n çok kullananı radx- algortması olup, Fourr dönüşümü parçala v hsapla yöntmyl tkrar dn hsaplara ndrgnmktdr. Bu sayd FFT çn grkn komplks çarpma sayısı (N/)log (N)' düşmktdr. Grkn komplks toplama s Nlog N kadar olmaktadır. Ancak hr adımda bütün dğrlr hafızada tutmak grktğ çn hafıza grksnmnd br dğşklk olmamaktadır. Parçala v hsapla yöntmnd parçalama k farklı şkld yapılmaktadır. İlk yöntmd grş dzs tk ndks v çft ndks dğrlr olarak ayrılarak hsaplanmaktadır. Bu yöntm zamanda syrltml FFT dnmktdr. İknc yöntmd s grş dzs ortadan ky ayrılarak hsaplanmaktadır. Bu yöntm d frkansta syrltm dnlmktdr. Matmatksl olarak k yöntmd şdğrdr v çarpma, toplama sayıları v kullanılan hafıza mktarları bakımından şdğrdr..1. Kuantalama Hataları Eştlk (1)'d vrln Fourr dönüşümündk x(n) vr srsnn grçk v sanal kısımlarını v W N 'n bt uzunlukları b olduğu varsayıldığında, hr x(n)w N çarpımı (b+1) adt bt l göstrln grçk v sanal kısımlara sahp br komplks sayı olur. Bt sayısının sürkl büyümsnn önün gçmk çn hr komplks çarpmadan sonra bt sayısının tkrar b bt düşürüldüğünü varsayalım. Bu durumda hr komplks çarpma çn toplam dört adt kuantalama hatası oluşmaktadır. Hr DFT'd N çarpma yapıldığından toplamda 4N adt kuantalama hatası oluşacaktır. Eğr kuantalama hatalarının düzgün br şkld - -b / l -b / arasında dağıldığını, kuantalama hatalarının brbrlrndn v x(n) snyalndn bağımsız olduğunu kabul dlrs, hr br kuantalama hatası aşağıdak şkld yazılmaktadır. 1 1 b (3) Toplamda 4N adt çarpma olduğundan v N'n v 'y şt olduğu varsayılırsa kuantalama hatası vb N b 4N (4) 3 3 olmaktadır. Eştlk (4)'dn görüldüğü üzr aynı hassasyt sağlayablmk çn N sayısının hr dört kat artışı bt sayısının br adt büyümsn grktrmktdr. x(n) snyal -1, +1 arasında lmtl olarak kabul dldğnd, X(k) snyal N dğrn kadar çıkablmktdr. Çıkışın -1, +1 arasında lmtl olması çn grş snyalnn 1/N l çarpılması grkmktdr. Fakat bu durumda grş't kullanılan bt sayısının arttırılarak grş snyalnn snyal-kuantalama gürültüsü-oranın bölmdn dolayı azalmasının ngllnms grkmktdr. Bu ölçklndrm şlm radx- algortmasında klbk yapılarına dağıtılablnr. Bu durumda çıkıştak kuantalama hatası v b 1 b 1 (4) 3 olmaktadır. v'nn büyük dğrlr çn bu yaklaşıklık büyük br hata gtrmycktr. (4)'dn görüldüğü üzr kuantalama hatası N' bağlı dğldr. Ancak snyal svys N' bağlı olduğundan snyal-gürültü-oranı aşağıdak şkld yazılmaktadır. X 1 b bv 1 N (5) nolu ştlktk grş snyal rastgl br snyal olduğundan kuantalama hatası da rastgl br snyal olmaktadır. Halyl hsaplanan snyal-gürültü-oranı rastgl br snyal olmakta v (5) nolu ştlkt bulunan sonuç bu rastgl snyaln ortalama dğr olmaktadır. Snyal-kuantalama gürültüsü-oranının mnmum dğr s Mont Carlo analzlr l blrlnmktdr... CORDIC Algortması FFT hsabı snasında faz faktörü W N 'n dğrlr grkmktdr. Eştlk ()'d yazılmış olan faz faktörü Eulr lşks kullanarak aşağıdak şkld yazılmaktadır. 3 k / N j sn k N W k N cos / (5) (6) Radx- algortması çn N/ adt W N dğr grkmktdr. Bu dğrlrn ROM'da saklanablcğ gb anlık olarak 560

3 Hata Elco 014 Elktrk Elktronk Blgsayar v Byomdkal Mühndslğ Smpozyumu, 7 9 Kasım 014, Bursa hsaplanablr. Anlık olarak hsaplama özllkl büyük N dğrlr çn alan bakımında avantajlı olablmktdr. Eştlk (6)'dk sn v cos fonksyonları donanımda CORDIC algortması kullanılarak hsaplanmaktadır [8]. CORDIC algortması hr döngüd sadc br tablo bakma oprasyonu, k kaydırma oprasyonu v üç adt toplama oprasyonu l grçk dğr yakınsamaktadır. Hr CORDIC oprasyonu stnln açının akümülatör yüklnmsyl başlamaktadır. Dönm kararı hr oprasyondan sonra kalan açının şartn gör yapılmaktadır. Dönm modunda CORDIC ştlklr üç adt ştlk l aşağıda göstrlmştr. z 1 x 1 y 1 z d atan x y d y x d Burada d ğr z <0 s -1 aks hald +1 dğrn almaktadır. s 0,1,...,N-1' kadar tamsayı dğr almaktadır v N toplam döngü sayısıdır CORDIC Algortması 3. Smülasyon Sn v Cos dğrlrn hsaplamak çn (7) nolu ştlktk döngü başlangış dğrlr, z 0 =stnln açı dğr, x 0 =1/A N v y 0 =0 olarak alınmaktadır. N döngü sonra x n =cos() v y n =sn() olmaktadır. Donanımda FFT şlmlr kayan noktalı sayılar yrn ksrl sayılar kullanılarak yapıldığından döngü sayısını ksrl sayının bt uzunluğundan çok daha büyük sçmk avantaj gtrmmktdr. Şkl 1'd çştl ksrl sayı bt uzunlukları çn CORDIC algortmasının tkrarı smül dlmştr. Smülasyon snasında ±π/ arasında hr durum çn 1000 adt rastgl açı dğr yaratılmış v bu dğr CORDIC algortması l hsaplanmıştır. Şkl 1'd göstrln FL dğr s ksrl sayının bt uzunluğunu göstrmktdr. Smülasyonlar snasında taşmayı önlmk v şart çn kstradan k bt daha kullanılmıştır. Görüldüğü üzr döngü sayısının ksrl sayının bt uzunluğunu gçtktn sonra grçk dğrl hsaplanan dğr arasındak hata CORDIC algortmasının döngüsündn bağımsız olmaktadır. Bu yüzdn N sayısı açı çn kullanılan ksrl sayının bt uzunluğu kadar sçmk ytrl olmaktadır CORDIC DBongBu Tarama (7) 3.. FFT Algortmasının Sr Uygulaması FFT yapısı sr ya da parall olarak uygulanablr. Şkl 'd göstrln sonlu durum maknası l grçklnn sr yapıda toplama v çarpma alanlarını azaltmak çn hr saat pryodunda tml klbk yapısındak tk br hsaplama yapılmaktadır. Fakat sr yapı grkl çıkışı ürtmk çn klbk yapısının drnlğn bağlı olarak çok sayıda saat pryoduna htyaç duyacaktır. Grkn saat pryodu sayısı v 1 v v v 1 olur. v dğşkn klbk yapısının drnlğ olup, FFT sayısı l arasında N= v lşks bulunmaktadır. Eğr grkl faz faktörlrn anlık olarak hsaplayarak grkn hafıza mktarı azaltılmak stnrs, CORDIC algortması kullanılması grkmktdr. CORDIC algortması döngü tabanlı olduğundan grkl faz faktörü dğrn ld tmk çn kstra saat pryodu grkcktr. Bu durumda grkl saat pryodu v1 v ntrs 1 v v 1 şklnd yazılıp, ntrs paramtrs CORDIC algortmasının grksnm duyduğu döngü adddr. Bu dğr kullanılan ksrl sayının bt uzunluğu kadar sçmk ytrl olmaktadır. Daha fazla döngü l ld dln ylşm ksrl sayının kuantalama gürültüsünün altında olduğundan döngü sayısını arttırmak Şkl 1'd göstrldğ üzr snyal-kuantalama gürültüsü-oranı'nı ylştrmmktdr. k > N-1 n >= M n < M Ilk Orta Son k = 0 n = 0 svy <= v k <= N-1 svy > v Stop k <= N-1 è n = 0 k > N-1 è svy++, M = M/ n < M è x(n+1+k) = [x(n+1+k)+x(n+1+m+k)]/ x(n+1+m+k) = [x(n+1+k)-x(n+1+m+k)] W( (svy-1) n)/ n++ n >= Mè k = k + (v-svy+1) Şkl : Sr FFT Uygulamasının Sonlu Durum Maknası (8) (9) FL=5 FL=10 FL=15 FL= Cordc DBongBu Say1s1 Şkl 1: CORDIC Döngü Tarama 561

4 Ksrl Kısmın Bt Sayısı Ksrl Kısmın Bt Sayısı Cordc İtrasyon Sayısı Ksrl Kısmın Bt Sayısı Elco 014 Elktrk Elktronk Blgsayar v Byomdkal Mühndslğ Smpozyumu, 7 9 Kasım 014, Bursa Çzlg 1: Sr FFT Uygulaması çn Grkn Saat Frkansı FFT şlm sürs oranı Grkn Saat Frkansı Oranı Klbk Drnlğ FFT Uzunluğu (N) Cordc FFT Algortmasının SQNR Smülasyonları FFT'nn grş snyalnn statstksl yapısından dolayı v kuantalama gürültüsünün d statstksl olarak dğşmsndn dolayı snyal-kuantalama gürültüsü-oranı statstksl olarak dğşmktdr. Eştlk (4) v (5)'dk dğrlr bu dğşmn ortalama dğrlr olup olablck n kötü hal hakkında blg vrmmktdr. Bu yüzdn Mont Carlo smülasyonları l n kötü hal analznn yapılması grkmktdr. Grş snyal olarak da rastgl yaratılmış br snyal kullanılmıştır. Hr x(n) dğr Gaussan dağılıma sahp varyans dğr br olan rastgl sayı ürtcnn çıktısı kullanılarak yaratılmıştır. Grş snyal -1,+1 arasında olması grktğndn bu dğrlrn dışında glmş olan sayılar rt dlmş v yrn başka br sayı ürttrlmştr. Kullanılan Matlab kodu Ek A'da göstrlmştr. Snyal-kuantalama gürültü-oranı hsabı çn FFT hsabı önc dal IFFT algortması kullanılarak zaman domnn çvrlmş v grş snyalndn çıkarılmış v kuantalama hatası tspt dlmştr. Snyaln RMS'nn bu kuantalama hatasının RMS dğrn bölünmsyl snyal-kuantalama gürültüsü-oranı ld dlmştr. Smülasyonlar hm frkansta syrltm yöntmyl hm d zamanda syrltlm yöntmyl yapılmıştır. Frkansta syrltm yöntmyl hsaplanan FFT, zamanda syrltm yöntmyl hsaplanan FFT'y gör çoğunlukla 0 la.3db daha y prformans göstrmktdr adt rastgl ürtlmş snyall yapılan smülasyon sonucunda ld dln n düşük dğrlr Çzlg 'd vrlmştr. Çzlg 3't frkansta syrltm yöntmyl grçklnn FFT yapısının SQNR dğrlrnn ortalaması vrlmktdr. Eştlk (5)'t göstrldğ üzr ksrl kısmın bt sayısının hr artışı SQNR dğrn 6dB kadar ylştrmktdr. FFT nokta sayısı N dğrnn hr ky katlanması SQNR dğrn 3dB kadar azaltmaktadır. Çzlg 3't ld dln dğrlr bu ştlk l uyumlu çıkmışlardır. Ayrıca çzlg 3't kalın çzg l göstrln sınırın altında kalan kısım SQNR dğrnn 0dB'dn daha büyük olduğu durumları göstrmktdr. Görüldüğü üzr 3768 noktalı FFT çn n azından 9 ksr bt kullanılmalıdır. Pratkt 40dB'dn daha y prformans çn n azından 16 ksr bt kullanılmalıdır. Çzlg : Frkansta Syrltml FFT Algortması l Zamanda Syrltml FFT Algortmasının Snyal-Kuantalama Gürültüsü-Oranı'larının Ortalamalarının Farkı Frkansta Syrltml FFT Algortması l Zamanda Syrltml FFT Algortmasının SQNR'larının Ortalamalarının Farkı (db) Klbk Drnlğ N Çzlg 3: Frkansta Syrltml FFT Algortmasının Snyal- Kuantalama Gürültüsü-Oranı'nın Ortalaması Frkansta Syrltml FFT Algortmasının SQNR'ın Ortalaması (db) Klbk Drnlğ N Çzlg 4: Frkansta Syrltml FFT Algortmasının Snyal- Kuantalama Gürültüsü-Oranı'nın Mnmum Dğr Frkansta Syrltml FFT Algortmasının SQNR'ın Mnmum Dğr (db) Klbk Drnlğ N Çzlg 4't göstrln SQNR'n mnmum dğr s az noktalı FFT çn bklnn hr klnn ksr bt başına 6dB SQNR dğrnn artması yada N dğrnn k katına çıkmasıyla SQNR dğrnn azalması trndn sağlamamaktadır. Bunun ndn az noktalı FFT'lrdk kuantalama hatasının snyal l korlasyon göstrmsdr. Bu fark çzlg 5't açık olarak 56

5 Ksrl Kısmın Bt Sayısı Ksrl Kısmın Bt Sayısı Elco 014 Elktrk Elktronk Blgsayar v Byomdkal Mühndslğ Smpozyumu, 7 9 Kasım 014, Bursa gözükmktdr. Çok noktalı FFT çn ortalama l mnmum dğrlr arasındak fark 0dB'y yaklaşmasına karşın 4 noktalı FFT çn 0dB'nn üzrnd fark gözlmlnmştr. Çzlg 5: Frkansta Syrltml FFT Algortmasının Snyal- Kuantalama Gürültüsü-Oranı'nın Ortalaması l Mnmum Dğr Farkı Frkansta Syrltml FFT Algortmasının SQNR'ın Ortalaması l Mnmum Dğr Farkı (db) Klbk Drnlğ N CORDIC algortması kullanılarak (6) nolu ştlkt göstrln faz faktörlr hsaplandığında SQNR dğr drkt hsaplamaya gör pratk SQNR dğrlr çn 1dB dn daha az hata gtrmştr. Çzlg 6: CORDIC Algortmasından Dolayı SQNR azalması CORDIC Algortmasından Dolayı SQNR Azalması (db) Klbk Drnlğ N Sonuçlar Hızlı Fourr Dönüşümünün FPGA üzrnd sabt noktalı sayılarla uygulamasının snyal-kuantalama gürültüsü-oranın (SQNR) Cordc algortması kullanılarak v kullanılmadan ld dln prformansı blrlnmştr. Bunun çn FFT yapısı sr olarak uygulanarak grkn toplama v çarpma sayıları azaltılmıştır. Smülasyon sonuçları göstrmştr k klbk yapısının sayısı arttıkça mnmum dğr l ortalama dğr arasındak fark azalmaktadır. Ancak düşük klbk dğrlr çn fark yüksk çıkmaktadır. Bunun ndn klbk sayısını azalması l kuantalama hatasının rastgllğnn azalmasıdır. l SQNR dğrnn n kötü hal Mont Carlo analz yöntmyl radx- FFT algortması çn blrlnmştr. 5. Tşkkür Bu çalışma, TÜBİTAK tarafından TEYDEB 1511 dstk programı kapsamında proj numarası l dstklnn v Koç Blg v Savunma Tknolojlr A.Ş. tarafından yürütüln proj kapsamında yapılmıştır. Bu yayındak hçbr görüş v tspt TÜBİTAK ın rsm görüşü dğldr. 6. Kaynaklar [1] J. W. T. J. W. Cooly, "An algorthm for th machn calculaton of complx Fourr srs," Math. Comp., Clt 19, pp , [] D. H. J. C. S. B. M. T. Hdman, "Gauss and th hstory of th FFT," IEEE Acoust. Spch Sgnal Procss. Magazn, Clt 1, pp. 14-1, [3] H. H. P. Duhaml, "Splt-radx FFT algorthm," Elctronc Lttrs, Clt 0, pp , [4] I. J. Good, "Th ntracton algorthm and practcal Fourr analyss," J. Roy. Statst. Soc. Sr. B, Vol. B-, pp , [5] S. Wnograd, "On computng th dscrt Fourr transform," Proc. Nat. Acad. Sc., Clt 73, pp , [6] L. R. Morrs, "A comparatv study of tm ffcnt FFT and WFTA programs for gnral purpos computrs," IEEE Trans. Acoust. Spch Sgnal Procss., Vol. ASSP- 6, pp , [7] D. G. M. John G. Proaks, Dgtal Sgnal Procssng, Nw Jrsy: Prntc Hall, 007. [8] J. E. Voldr, "Th CORDIC Trgonomtrc Computng Tchnu," IRE Transactons on Elctronc Computrs, Vol. EC-8, pp , Ek A Grş çn Rastgl Sayı Ürtc Grş snyal olarak hm grçk hm d sanal kısımları ±1 arasında olan komplks sayı Matlab'dk Gaussan dağılıma sahp varyansı br olan rastgl sayı ürtc kullanılarak ürtlmştr. Gaussan dağılım tork olarak ± arasında olduğundan ±1 arasında çıkan dğrlr rt dlp sayı yndn ürtlmştr. Bu şlm çn kullanılan Matlab kodu aşağıda göstrlmştr. for =1:lngth(x) whl(ral(x()) < -1 ral(x()) > 1 mag(x()) < -1 mag(x()) > 1 ) nd nd x()=randn+1*randn; Ltratürdk çalışmalarda SQNR dğrnn ortalama dğr hsaplanablmsn karşın SQNR dğrnn n kötü hal hakkında hrhang br çalışma bulunmamaktadır. Bu çalışma 563