Sigma 2006/2 Araştırma Makalesi / Research Article ANALISING OF THE STABILITY OF NONLINEAR SYSTEMS BY USING THE FLOQUET THEORY

Transkript

1 Joural of Egrg ad Naural Sccs Mühdslk v F Blmlr Drgs Sgma 006/ raşırma Makals / Rsarch rcl NLISING OF THE STBILITY OF NONLINER SYSTEMS BY USING THE FLOQUET THEORY İlyas ÇNKY *, bdullah YILDIZ Sakarya Üvrss, Tkk ğm Faküls, Elkrok-Blgsayar Eğm Bölümü, SKRY Sakarya Üvrss, F-Edbya Faküls, Mamak Bölümü, SKRY Glş/Rcvd:.0.00 Kabul/ccpd: BSTRCT I hs sudy, h Floqu hory, whch s usd for aalysg h sably of olar sysms, s llusrad usg a shp roll modl wh agl dpd cubc dampg, ad cubc ad quc sffss rms. mhod for obag h prodc soluos s llusrad by usg a shor m smulao s provdd by h corrc smulao wh h rducd raso sas. Kywords: Sably, Floqu hory, olar sysm, ump phomo. FLOQUET TEORİ İLE DOĞRUSL OLMYN SİSTEMLERİN KRRLILIK NLİZİ ÖZET Bu çalışmada, doğrusal olmaya ssmlr kararlılık aalzd kullaıla Floqu or, açısal olarak kübk södürücü v kübk v bşc srlk rmlr bağımlı örk br gm sallama modl üzrd suuldu. Pryodk çözümlr ld dlmsd doğru smülasyou yaıda azala gçc hal durumları saysd smülasyo sürs kısaldığı br mo kullaıldı. ahar Sözcüklr: Kararlılık, Floqu or, doğrusal olmaya ssm, alama olayı.. GİRİŞ Düzl dz dalgalarıda yr ala br gm sallama cvabı brc drcd srbslğ sahp br dfrasyl dklm saysd modllblmkdr. Tpk olarak örk modllr sak kararlılık dyagramıı şkl karakrz d doğrusal olmaya kaılık rmlr v yalpa omurgalarıı arkasıda oluşa grdaplar vya sürüm drcd dolayı oluşa klr msl d doğrusal olmaya söüm rmlr çrmkdr. Buda dolayı, çok sayıda araşırmacı arafıda bu problm çşl doğrusal olmaya modllr v aalz kklr uygulamakadır [-7]. Bu kklrd brd doğrusal olmaya br ssm pryodk çözümüü doğrusal kararlılığıı aımlamada kullaıla Floqu ordr [,,6,7]. Bu or, ssm mamaksl modl uygulaır v mamaksl modl üzrd yapıla clmlrd lgl ssm kararlılık kararsızlık durumu alaşılır. Nayfh v Khdr örk olarak doğrusal arı kübk södürücü v doğrusal, kübk v bşc srlk rmlr çr brc drcd srbslğ sahp br gm sallama * Sorumlu Yazar/Corrspodg uor: -mal/-l: cakaya@sakarya.du.r, l:

2 İ. Çakaya,. Yıldız Sgma 006/ modl çok zama ölçkl modu uygulamış v pryodk çözümlr kararlılığıı Floqu or l clmşr []. Nayfh v Khdr grçklşrdklr br başka çalışmada dc grş bas blş doğrusal olmaya gm sallama harkdk pryodk davraışıa ks clmş v y Floqu or l kararlılık aalz yapmışır []. Pyo Jos doğrusal olmaya ssmlr ç polom formudak harmok dg dklmlr oomak olarak hsaplamasıı sağlaya br mo glşrmş v örk olarak br gm sallama modl üzr uygulayarak ld dl frkas cvabıda alama olayıı clmşr [6]. yı zamada ld dl frkas boyuudak pryodk cvapları kararlılığıı Floqu or l oraya koymuş v aalk souçları doğruluğuu sayısal smülasyo souçları l karşılaşırmışır. Pyo Jos v Çakaya arafıda ayı kk bşc drcd srlk rm yr aldığı gm modl uygulamış v harmoklr pryodk çözümlr ks daha daylı br şkld oraya komuş v y kararlılık aalz Floqu or kullaılarak grçklşrlmşr [7]. Floqu or sadc doğrusal olmaya gm modllr pryodk çözümlr kararlılığıı araşırmada dğl doğrusal olmaya yapıya sahp dğr ssmlr kararlılık aalzd d kullaılmakadır. Örğ, Fu, Zhg v Hou dörl ssmlrd kullaıla v doğrusal olmaya damk br yapıya sahp ola şaf dsk hark çapraz vya oluşacak ola çalakları v lask br yapıya sahp ola şaf dsk doğrusal olmaya damk kararlılığa klr Floqu or v Rug-Kua moduu kullaarak clmşr [8]. L v Xu Floqu kararlılık ors doğrusal olmaya damk ssm modllrd br ola Va dr pol dklm uygulayarak gllşrlmş aış modu souda ld dl pryodk çözümlr kararlılığıı clmd kullamışır [9]. Lukomsky v Gadzha da harmok dg yaklaşımıı kullaarak Duffg oslaör a subharmok cvapları ld dlş sumuş v Floqu or l kararlılık aalz grçklşrmşr [0]. Suula bu makald, doğrusal olmaya ssmlr kararlılık aalzd kullaıla Floqu or aıılmakadır.. bölümd sayısal smülasyo molarıı kullaımı souda maksmum sallama cvabıı v buu oluşuğu adak frkas dğr gösr frkas cvabıı ld dlms sağlaya br mo suulmakadır.. bölümd s Floqu or asıl kullaıldığı örk olarak bşc drcd doğrusal olmaya rm yr aldığı gm sallama modl üzrd suulmakadır. So olarak,. bölümd d ld dl souçları öz vrlmkdr.. SYISL SIMÜLSYON ILE FREKNS CEVBI Bu çalışmada, smülasyo şlmlr örk olarak sürkl zamada doğrusal olmaya grodfrasyl dklm modl özl br uygulaması ola gm sallama modl üzrd gösrlckr. Gmy a dklm modl aşağıda görüldüğü gb fad dlr [], & y µ y& δ y& y y y cos u burada µ v δ sırasıyla doğrusal v doğrusal olmaya södürücüyü, doğrusal srlğ, kübk, d bşc drcd srlğ gösrmkdr. Modl a paramr dğrlr aşağıda görüldüğü gbdr,.779 ; δ ; µ ; F 0. ; u 0.8 F ;. 699 ; ; burada F radas grş dalga ğm gösrmkdr. Ssm a sayısal smülasyo şlmlr k şkld yapılablr. Bularda brcs, ssm a faz dğşm blok dyagramıı oluşurulduğu v Malab da yr ala sm komuuu kullaıldığı br program dahld souçlara ulaşmakır. Yukarıdak gm modl a örk faz dğşm blok dyagramı Şkl d görülmkdr.

3 alsg of h Sably of Nolar Sysms Wav Excao s s Shp Roll 0.7*u0.08*u^ lar cubc dampg 7.86*u-7.0*u^7.6*u^ lar cubc quc sffss Şkl. Gm sallama hark a smulk modl Bu modl Malab ı smulk oolbox ıda grçklşrlr. İkc yol s ssm a dfrasyl dklm yapısıı Malab da yr ala od komuu saysd çözümüü grçklşrmkr. od komuuu kullaım formu Şkl d görülmkdr. dfrasyl dklm modl a foksyo dosyasıı adı gral sıırları 0 0; fal 08*T; spa [0:fal/999:fal]; [,y] od'df_dk',spa,y0 ld dl cvaplar başlagıç dğrlr zama y0 [0;0]; y dk çıkış cvabı Şkl. od komuuu kullaım formu. Yukarıdak suumda da açıkça görüldüğü gb od komuuu kullaımıda sm komuuu hyaç duyduğu ssm a smulkdk faz dğşm blok dyagramıa grk duyulmamakadır. Sadc ssm a mamaksl modl aımladığı foksyo dosyasıı hazırlaması grkr. od komuuu kullaıldığı çözüm yapısıda öclkl ssm a durum dğşklr blrlr. Örk ssm modl kc drcd br dfrasyl dklm yapısıa sahp olduğuda x x v x x& şklddr. Daha sora çözümd kullaılacak ola aşağıdak yapıya kavuşulur, x & x & x µ x δ x x x x u dklmd yr ala sablr dğrlr bağlı olarak çözümd düzl prodc vya düzsz chaoc br davraış yapısı ld dlr. Sayısal smülasyo yoluyla ld dlck ola souçları doğruluğu yapılacak ola smülasyou doğru mllr dayamasıa bağlıdır. Bu mllr başlagıç dğrlr olarak adladırdığımız yr v hız dğşm l grş syal dğşmdk dğrlrdr. Yr v hız

4 İ. Çakaya,. Yıldız Sgma 006/ dğşm a başlagıç dğrlr ğr yukarıda gösrldğ gb br smulk modl üzrd çalışılıyorsa gral kalarıa grlmk suryl grçklşrlr. Eğr smülasyo şlm başladığıda brc frkas dğr ç başlagıç dğrlr blmyorsa bu dğrlr sıfır olarak kabul dlr. Daha sora dvam d hr br smülasyoda br öck yr v hız dğşm a so dğrlr başlagıç dğrlr olarak kullaılmak suryl şlm yapılır. yı zamada smülasyoda kullaıla syal başlagıç v bş dğrlr ayı okada grçklşms ç smülasyo sürs kullaıla syal pryodua bağımlı hal grlr. Buları doğru olarak kullaımı özllkl doğrusal olmaya ssmlr aalzd kd gösrr. Bu kk, doğru smülasyou yaıda azala gçc hal durumları saysd smülasyo sürs kısalmasıa da d olmakadır. Bu durum Şkl d vrl gm sallama hark a rad/s dk yr dğşmlrd açıkça görülmkdr. Şkl a da suula smülasyo soucuda kararlılık öcsdk gçc hal durumlarıı gş br zama aralığıı kapladığı Şkl b d s hm hm orada kalkığı göz çarpmakadır. Gçc hal durumlarıı oplam smülasyo sürsdk ks özllkl gş br frkas badıı kapsaya v frkas aralığıı çok küçük sçldğ frkas cvaplarıı ld dlmsd daha da blrg hal glr. Suula bu kk saysd sayısal smülasyou asıl grçklşrlcğ hakkıdak daha daylı blgy v umaralı rfraslarda ulaşılablr. a y0 [0 ; 0] b y0 [0.080 ; ] Şkl. Gm sallama hark a rad/s dk yr dğşmlr Burada kullaıla örk modl doğrusal olmaya br yapıya sahp olduğuda frkas cvabıı ld dlmsd smülasyou yapıla frkası dğşm yöü öm aşımakadır. Dolayısıyla frkas cvabıı ld dlmsd kullaıla zama boyuudak souçları dğşmlr sahp oldukları maksmum glk dğrlr blrl br bölgd farklılık gösrckr. Örk olarak kullaıla gm sallama modl a alama ump olayıı srgldğ yr v hız dğşmlr a frkas cvapları Şkl d görülmkdr. Bu cvaplar vrl hr grş uyarımıı dğr ç gçc oslasyolar orada kalkıka sora ld dl kararlı durum cvaplarıda maksmum glk dğrlr sçlmsyl oraya çıkmışır. Görüldüğü gb alama olayı grş syal ara yöüdk frkas dğr.0 rad/s v azala yöüdk frkas dğr. rad/s kullaıldığı durumlarda sora grçklşmşr. Burada kullaıla grş syal a frkası ara v azala yöüdk dğşmlr 0.0 adımlarla grçklşrlmşr.

5 a b Şkl. Gm sallama hark a a yr dğşm b hız dğşm. Eld dl souçları doğruluğu harmok dg dklmlr hsaplaması soucuda ld dlck ola aalk souçlar l karşılaşırılarak oraya koulablr. Suula bu çalışmada harmok dg dklmlr gllşrlmş harmok dg modu kullaılarak ld dlmşr. Bu moda gör ssm a frkas cvabıı ld dlblms ç öclkl grş uyarım frkasıı blrl br dğrd çıkış dalga formuu blmy glk r y, v faz y,r dğrlr vr klask harmok dg dklmlr çözülür. Daha sora lgll frkas bölgs karşılık bu şlm krarladığıda ssm frkas cvabı bulumuş olur. umaralı dklm modld aımlaa brc drcd srbslğ sahp örk ssm a grş syal dalga formuda hrhag br dc blş yr almadığı ç doğrusal olmaya rmlr sadc kl drclrd oluşa harmoklr ürckr. Bua gör çıkış syal ç aşağıda vrl dalga formu kullaılablr, cos cos ' y Yukarıdak çıkış dalga formuda yr ala üçücü harmoğ faz açısı ' dr. Bu kabullr doğrulusuda ml v üçücü harmoklr a aımlama foksyoları, [ ] [ ], 8,, y d N 6 6 8, 7 6,, y d N alsg of h Sably of Nolar Sysms

6 İ. Çakaya,. Yıldız Sgma 006/ şkld buluur. Ssm a aımlaa grş syal v yukarıda ld dl 6 v 7 umaralı dklmlr kullaımı soucuda harmok dg dklmlr a aşağıdak özl form ld dlr, [ µ N y,,, ] [ 6µ N,, ] u 8 y, 0 9 Eld dl 8 v 9 umaralı dg dklmlr ç şlm yapıldığıda Şkl d düz v kskl çzglr görül frkas cvabı oraya çıkar. Görüldüğü gb ld dl aalk v sayısal smülasyo souçları amam brbryl uyum çrsddr. Şkl. Gm sallama hark a aalk düz v kskl çzglr v smülasyo küçük darlr souçları. FLOQUET TEORİ İLE KRRLILIK NLİZİ Sayısal smülasyo soucuda ld dl doğrusal olmaya gm sallama harkdk yr dğşm a çözüm Y, bu çözüml lgl ola küçük mkardak uyarım dğr d v l gösrlrs, v zamaa gör dğşm azaldığıda oraya çıka souçlar kararlı olacakır. v dğşm sürc fad d sözd dğşk dklm, umaralı dklmd y Y v yazılarak v v d yalızca doğrusal ola rmlr bırakılarak buluablr, [ µ d Y& ] v& [ Y Y ] 0 v& v & 0 ld dl 0 umaralı dklm, doğrusal v kc mrbd homo br dfrasyl dklm olduğuda v v v adıda lr bağımsız k a çözümü vardır. Gl çözüm, ml çözüm küms doğrusal br kombasyou olarak karşımıza çıkar. Özllkl v umaralı dklmlrd blrl mars a m şkldk fadlr kllk oluşurmayacak arzda blrlmldr. 0 umaralı dklmdk kasayılar T π / pryodua sahp olduklarıda v T v v T ayı zamada ml çözümü doğrusal blşdr v, T a v a v v 6

7 alsg of h Sably of Nolar Sysms T a v a v v şkld yazılırlar. λ mars öz dğrlrd br olduğu durumda, v T v bu ç, ayı zamada br a v çözümü olmalıdır. Daha gl br fadyl, λ v T v λ şlğ doğrular v uyarım dğr, λ < koşulu ç zayıflamaya başlar. Bu çözümlr ormal vya Floqu çözümlr olarak adladırılır. a b Şkl 6. Özdğrlrd a λ, b λ dğşm. mars hr k öz dğr d mulak dğr d küçük olursa, sayısal smülasyo yoluyla ld dl çözümlr kararlı olacakır. Bu hsaplama şlm yapablmk ç, öclkl a m şkld fad dl mars lmalarıyla lgl olarak fadlr ld dlms grkr. Bu fadlr 0, v umaralı dklmlr saysd, v 0, 0 0 v v v v& 0, 0 0 v& a v a T, a v T &, a v& T T şkld v umaralı dklmlr cldğd doğru başlagıç koşulları sçlrk aımlaablr. a v a dğrlr v umaralı dklmlrd aımlamış ola v y lşk başlagıç koşullarıa bağlı olarak [0 T] aralığıda sayısal grasyo şlm ab uularak ld dlblr. v ç blrlmş ola başlagıç koşulları kullaılarak bzr br şlml a v a ld dlr. Buda sora mars öz dğrlr bulmak v so olarak da sayısal smülasyo çözümlr kararlılığıı hsaplamak zor dğldr. Bu koudak daha daylı blgy,, 7 v umaralı rfraslarda ulaşılablr. Floqu kararlılık aalz sayısal smülasyo yoluyla ld dl pryodk souçlara uygulamasıyla Şkl 6 da görül λ v λ özdğrlr a mulak dğrlr ld dlr. Şkl 7

8 İ. Çakaya,. Yıldız Sgma 006/ 6b d görüldüğü gb λ mulak dğr souçları brm dğr alıda oluşmakadır. Bua karşılık λ mulak dğr souçlarıa bakıldığıda brm dğr üsüd ld dl souçlar görülmkdr. Bu durum Şkl 7 d daha açık br şkld oraya çıkmakadır. Şkl 7. Özdğrlrd λ dğşm. Görüldüğü gb. dğrlr ç ld dl λ v λ souçları brm dğrd küçük olduğuda sayısal smülasyo yoluyla ld dl pryodk souçları kararlı olduğu alaşılır. Bua karşılık ı. dğr bakıldığıda λ brm dğrd küçük olduğu λ s.00 ulaşığı dolayısıyla ld dl pryodk soucu kararsız olduğu alaşılır. Pryodk souçları kararlılık bölgsd kararsızlığa gçş gösr frkas dğrlr l brlk λ v λ sahp olduğu sayısal dğrlr Çzlg d oplu olarak görülmkdr. Eld dl pryodk souçları kararsızlığı Şkl 6 v 7 d d görüldüğü gb frkası azala yöüdk alama frkasıa kadar sürmkdr. cak kararsızlık durumuu aımladığı bu okaları prak uygulamalarda ld mk mümkü dğldr.. SONUÇ Çzlg. Floqu ory gör ld dl sıır dğrlr λ λ Bu çalışmada, doğrusal olmaya br ssm pryodk çözümüü doğrusal kararlılığıı aımlamada kullaıla Floqu or suulmuşur. Örk olarak kübk södürücü v kübk v bşc srlk rmlr buluduğu brc drcd srbslğ sahp br gm sallama modl uygulamışır. Modl a pryodk çözümlr ld dlmsd doğru smülasyou yaıda azala gçc hal durumları l sayısal smülasyo sürs kısaldığı br kk kullaılmışır. Buu soucuda ld dl frkas cvabıda da doğrusal ssmlrd farklı 8

9 alsg of h Sably of Nolar Sysms olarak sadc doğrusal olmaya ssm modllrd görülbl alama olayı grafksl olarak srglmşr. KYNKLR [] Wrgh, J.H.G., Marshfld, W.B., Shp Roll Rspos ad Capsz Bhavour Bam Sas, Tras. Royal Is of Naval rchcs,, 9-8, 980. [] Cardo,., Fracscuo,., Nabrgo, R., Ulraharmocs ad Subharmocs h Rollg Moo of a Shp: Sady Sa Soluo, Iraoal Shpbuldg Progrss, 8, 6, -, 98. [] Nayfh,.H., Khdr,.., Nolar Rollg of Shps Rgular Bam Sas, Iraoal Shpbuldg Progrss,, 79, 0-9, 986a. [] Nayfh,.H., Khdr,.., Nolar Rollg of Basd Shps Rgular Bam Wavs, Iraoal Shpbuldg Progrss,, 8, 8-9, 986b. [] Pyo Jos, J.C., Çakaya, İ., Gralzd Harmoc alyss of Nolar Shp Roll Dyamcs, Joural of Shp Rsarch, 0,, 9-8, 996. [6] Pyo Jos, J.C., Çakaya, İ., Polyharmoc Balac alyss of Nolar Shp Roll Rspos, Nolar Dyamcs,, -6, 00. [7] Pyo Jos, J.C., uomac Compuao of Polyharmoc Balac Equaos for No-lar Dffral Sysms, Iraoal Joural of Corol, 76,, -6, 00. [8] Fu, Y.M., Zhg, Y.F. ad Hou, Z.K., alyss of No-lar Dyamc Sably for Roag Shaf-dsk wh a Trasvrs Crack, Joural of Soud ad Vbrao, 7,, 7-7, 00. [9] L, D., Xu, J., Mhod o Drm h Prodc Soluo of h No-lar Dyamcs Sysm, Joural of Soud ad Vbrao, 7, -6, 00. [0] Lukomsky, V.P., Gadzha, I.S., Cascads of Subharmocs Saoary Sas Srogly No-lar Drv Plaar Sysms, Joural of Soud ad Vbrao, 7, -7, 00. [] Pyo Jos, J.C., Zhuag, M., Smulao Tool for Nolar Frqucy Rspos Ivsgaos, Proc ESM 9, Barcloa, Spa, 99, 6-0. [] Çakaya, İ., Doğru Smülasyo İç Başlagıç Dğrlr Sçm, Sülyma Dmrl Üvrss F Blmlr Esüsü Drgs, 7,, 87-9, 00. [] Nayfh,.H., Mook, D.T., Nolar Oscllaos, Wly Irscc, Nw York,