fonksyonları yoğunluk matrsnn faz-uzayı çkrdğ olarak ld dlmktdr. Gronwold ayrıca Gronwold-van ov torm olarak da blnn çalışmasıyla Posson arantzlrnn ku

Transkript

1 . GİRİŞ Kuantum mkanğnn faz-uzayı formülasyonu olarak da blnn dformasyon kuantumlaması ya da kuantzasyonu) bastç klask faz-uzayında tanımlı sıra dğşn fonksyonlarla lbrt uzayında fonksyonlar üzrn tkyn şlmclr olan kuantum gözlnrlr arasında br şlştrm olarak tanımlanır. Bu yöntmd klask faz-uzayı üzrnd kuantumlama yaılarak kuantum mkanğ br klask statstk tory uygun olarak glştrlblmktdr. Ayrıca şlmclr yrn klask faz-uzayında tanımlı grçl dğrl klask gözlnrlr kullanıldığı çn kuantum-klask karşılığı konusunda önml çgörülr ld dlblmktdr. Bu formülasyonun kuantum mkanksl olguların klask mkanğn dlyl otonom olarak şlmclrl şlştrmlr grk duymadan) btmlnmsn olanak vrms dğr yöntmlrl kolayca ld dlmyn yararlı fzksl yaklaşımların ortaya çıkmasını sağlamaktadır. Kuantum mkanğnn otonom olarak fazuzayı formülasyonunun kurulduğu bu yöntm dformasyon kuantumlaması olarak adlandırılır. Dformasyon kuantumlamasının tml sas olarak rman Wyl Eugn Wgnr lbrand Gronwold v Jos oyal n çalışmalarına dayanmaktadır Bu klask öncü çalışmaların koyalarının tamamının tıkı basımları çn bkz. Zachos t al. 5). Bu ndnl Wyl-Wgnr-Gronwold-oyal WWG) kuantumlaması adıyla da anılmaktadır. 97 yılında Wyl faz-uzayı çkrdk krnl) fonksyonlarına Wyl-sıralı Wyl-ordrd) şlmclrn karşılanırlığını corrsondnc) göstrmştr Wyl 97). Bu yaklaşım tam br formülasyon olmamakla brlkt gnl br kuantumlama çrçvs sunması açısından önmldr. Br dğr önml adım 9 yılında Wgnr n sonradan Wgnr fonksyonları olarak anılacak olan faz-uzayı dağılım fonksyonlarını tanımlamasıdır Wgnr 9). Wgnr fonksyonları v daha gnl olarak faz-uzayı dağılım fonksyonları dformasyon kuantumlamasının tmln oluşturmakta v kuantum mkanğndk dalga fonksyonlarının yrn almaktadır. Gronwold un tz çalışmasına dayanan 946 tarhl katkısıysa Wyl karşılanırlığının tutarlı br kuantumlama kuralından çok trsnr br dönüşüm olduğunu göstrmsdr Gronwold 946). Böyllkl Wgnr

2 fonksyonları yoğunluk matrsnn faz-uzayı çkrdğ olarak ld dlmktdr. Gronwold ayrıca Gronwold-van ov torm olarak da blnn çalışmasıyla Posson arantzlrnn kuantum mkanğnn L arantzlryl olan önml farklılıklarını ortaya koymuştur. 949 yılındaysa oyal kuantum mkanğnn bağımsız br faz-uzayı formülasyonunu glştrmştr oyal 949). Bu kuantumlamayla Wyl-sıralı şlmclrn bklnn dğrlr hsalanablmktdr. Ancak n önmls oyal n tanımladığı v knd adıyla blnn yıldız-çarım v bu çarım l oluşturulan oyal arantzlrnn aslında Posson arantzlrnn br dformasyonu olduğunu göstrmsdr. Bu çalışma klask lmt gçş standart hal gtrms açısından önmldr. Kuantum mkanğnn blnn formalzmndk blrl sırada şlmc çarımlarına karşılık gln s-sıralı yıldız-çarımın tanımlanarak faz-uzayı dağılım fonksyonlarının n gnl halnn sunulduğu çalışmalar da WWG kuantumlaması çn gnş br çrçv sunması açısından önmldr Drl v Vrçn 997 Zachos t al. 5). Dformasyon kuantumlamasındak bağımsız çalışmaların br araya gtrl sstmatk br formalzm çrçvsn oturmasında k çok katkı olmakla brlkt Bayn Flato Fronsdal Lchnrowcz v Strnhmr n brlkt yayınladıkları 978 tarhl k makal Bayn t al. 978) kuantum mkanğnn faz-uzayı formülasyonunun kurulmasında önml çalışmalar olarak kabul dlmktdr. Bu çalışmalar kuantum mkanğnn standart roblmlrn bu formülasyonla çözüm gtrmsnn yanında yıldız-üstl açılımı star-xonantal) yıldızözdğr dnklmlr v yıldız özfonksyonlar gb tknk araçları kullanmasıyla da önmldr. Kontsvch Fdosov Zachos Farl v urtrght ın yatıkları çalışmalar bu formalzmn gnl br çrçvy oturmasında önml katkılar sağlamıştır Zachos t al. 5). Bu çalışmalar v özllkl gçtğmz yüzyılın son çyrğndn bugün kadar yaılan dğr özgün katkılar saysnd görl olmayan kuantum mkanğnn tam br otonom faz-uzayı formülasyonu kurulablmştr. Bu tz çalışmasında kullanılan dformasyon kuantumlaması Schrödngr v Fynman formülasyonları yanında kuantum mkanğnn üçüncü bağımsız formülasyonu olarak kabul dlmktdr.

3 Eld ttğ tüm başarılı uygulamalara karşın sn ya da görl kuantum mkanğnn v sürsmtrk kuantum mkanğnn dform dlms konusunda bu formülasyonun standart cbrsl araçlarının ytrl olmaması ndnyl hnüz tamamlanmamış br formalzm olduğu söylnblr. Sürsmtrk kuantum mkanğnn bu formalzm çrsnd l alınması ancak 998 yılına rastlarkn görl kuantum mkanğ v frmyonk srbstlk drclrn sah sstmlr lşkn çalışmalar çok daha yndr v hnüz hr ks çn d tam v oturmuş br cbrsl altyaı bulunmamaktadır. Sürsmtrk kuantum mkanğnn dformasyon kuantumlaması bağlamında l alındığı lk çalışma; Farl Zachos v urtrght n asıl olarak zamandan bağımsız Wgnr fonksyonlarını yıldız özfonksyonlar olarak l alan v kuantum mkanğndk harmonk salınıcı çzgsl otansyl gb km uygulamaları dformasyon kuantumlaması yöntmyl çözn 998 yılı makallrdr Zachos t al. 998). Bundan sonrak br dğr önml katkı nsldr n 7 yılında yayınlanan v k boyutlu faz-uzayında lfford cbrnn dformasyonunun tml alınarak br sürsmtr yaısının faz-uzayı formülasyonunda nasıl tanımlanacağını göstrn makalsdr nsldr 7a). Görl kuantum mkanğnn v sn sstmlrnn Drac kuramını da çrck şkld dform dl bu formalzm çrsnd yaılandırılmasına lşkn bağımsız km çalışmalar olmakla brlkt rshfld nsldr v Srnat ın S) 4 yılında yayınladıkları makal rshfld t al. 4) toarlayıcı br bakış açısı sunması ndnyl ön çıkmaktadır. Bu makaly zlyn nsldr v rshfld n bağımsız ya da brlkt yatıkları dğr çalışmalar da tam br cbrsl yaı oluşturulamamış olmakla brlkt önml yaklaşımlar sunmuştur. Bunlardan n önmls nsldr n dörtlü oyal yıldızçarımını v has-zaman ror tm) formalzmn l alarak görl kuantum mkanğ çn br yaklaşım ön sürdüğü 7 tarhl br başka çalışmasıdır nsldr 7b). Bozonk sstmlr çn yaılabln dformasyon kuantumlamasının frmyonk srbstlk drclrn v bunlara bağlı tklşmlr d çrck şkld özl görl olarak gnşltlmsn amaçlayan bu tz çalışmasında frmyonk dğşknlrn klnmsyl tanımlanan yn oyal-lfford ) çarımı l lfford cbrnn bu gnşlmd tml

4 rol oynadığı göstrlmktdr. Smtrlrn analtk fadlr olan grular çn doğal br çalışma çrçvsn lfford cbr sağlamaktadır. Bu cbrn çarımı oyal yıldızçarımıyla br arada kullanıldığında Drac dnklm çn d n uygun çalışma ortamını sunmaktadır; çünkü lfford cbrlr Drac ın gama matrslrnn sağladığı cbrlr gnllmktdrlr. oyal-lfford cbrnn br dğr önml yararı sürsmtrk kuantum mkanğ kasamında ortaya çıkmaktadır. -çarımı v -cbr kullanılarak faz uzayında sürsmtr yaısı kurulablmktdr. Bu sayd ld dln ş-sktral amltonanların matrs dğrl amlton fonksyonları) sktrumları öz-vktörlr özsnörlr) v lgl Wgnr fonksyonları gb faz-uzayı karaktrstklrnn ld dlms d bu tz çalışmasının özgün katkılarından brsdr. İlgl bölümlrd göstrlcğ gb bu yaklaşımlar k çok dğr sstm d uygulanablmktdr. Bu tz çalışmasında lk olarak. Bölüm d görl kuantum mkanğnn dformasyon kuantumlamasının cbrsl altyaısı kurulmasına yönlk olarak oyal yıldız-çarımı v lfford çarımları tanımlanarak bunların br arada l alınmasıyla oluşturulan oyal- lfford ) cbr v -çarımı nclncktr. Sn sstmlr v Drac kuramı çn ön sürüln rshfld-nsldr-srnat S) yaklaşımı kurulan bu cbr v yıldızçarımıyla yndn l alınacak v Drac kuramının görl olmayan lmt çn Foldy- Wouthuysn dönüşümü yn -cbr kasamında tartışılarak standart formülasyonla karşılaştırılacaktır.. Bölüm d sürsmtrk kuantum mkanğnn faz-uzayı formülayonunun tml cbrsl yaısı kurulacaktır. -cbr çn özl br durum l alınarak lfford cbrnn dörtboyutlu faz-uzayında komlkslştrlmsyl oluşturulan 4 ) cbrnn bazları v grçl faz-uzayı fonksyonlarının br arada şlm sokulmasına olanak sağlayan -çarımı l sürsmtrk kuantum mkanğnn dformasyon kuantumlaması tanımlanacaktır. Böyllkl faz-uzayında frmyonk srbstlk drclrn tanımlamak olanaklı hal glmktdr. Kullanılan cbrn br matrs tmsl kurularak bu frmyonk srbstlk drclr blnn matrs tmsllryl fad dlblmktdr. Ardından çaranlarına ayırılmış trmlrn tolamı olan k ş-sktral sosctral) matrs amltonan yazılmakta 4

5 v bu amltonanların çft bağlaşımlı doubly ntrtwnd) olamalarının yanı sıra sıfırın bölnlr dvsors of zro) olan matrs dğrl bağlaştıran ntrtwnng) faz-uzayı fonksyonlarını çrdklr d göstrlmktdr. Bu şkld l alınan hr sstm çn harkt sabtlr d ld dlmktdr.. Bölüm ün sonunda bu yöntm özl br örnk olarak kuantum otğndn y blnn Jayns-ummngs J) t amltonan sstmlr nclnmkt v bu amltonanların sktrumları öz-vktörlr v lgl Wgnr fonksyonları ld dlmktdr. 4. Bölüm fzğn güncl v önml araştırma alanlarından sçln bş farklı ş-sktral amltonan alsnn. Bölüm d glştrln yöntm özl uygulamalar olarak nclnmsn ayrılmıştır. Bu örnklr arasında k-boyutlu Paul amltonanı na karşılık gln sstmlr sn-yörüng tklşmlrn çrn Aharonov-ashr A) t sstmlr br sürmmbran örnk modl mrkzsl olmayan lktromanytk alanda harkt tarf dn sstmlr v yarı-ltkn fzğndn y blnn Rashba v Drsslhaus t sstmlr yr almaktadır. Bu örnklr. Bölüm d -cbrnn sürsmtr yaısında l alınmasıyla tanımlanan koşulların uygun sçmlryl ortaya çıkmakta v bu sçmlrn farklı kombnasyonlarıyla fzksl olarak anlamlı v çok daha gnş ş-sktral amltonan allrnn ld dlblcğn göstrmktdr. Bu tz çalışmasının tmln oluşturan -cbr yardımıyla görl kuantum mkanğnn dformasyon kuantumlamasına gtrln. Bölüm dk yaklaşımın k önml roblmnn çözümün yönlk olarak yn -cbr çrsnd ancak bu sfr dörtlü oyal yıldızçarımı yardımıyla Lorntz dönüşümlrn d çrck bçmd gnllştrlms 5. Bölüm d nclnmktdr. Bu bölümd zaman l nrnn k koordnatlar olarak tanımlandığı 8-boyutlu faz-uzayının dform dlmş çarımı tanımlanarak aramtrz dlmş görl klask mkanğn dformasyon kuantumlaması çn bu çarımın nasıl kullanılacağı göstrlmktdr. Bu yaklaşım sn trmlrnn d kndlğndn ortaya çıkması açısından önmldr. 5

6 Görl kuantum mkanğ v sürsmtrk kuantum mkanğnn dformasyon kuantumlamasının cbrsl tmln kurmada lfford cbrlryl oyal yıldız-çarımının brlkt l alınmasının şmdy dğn ld dlmmş başarılı sonuçlara ulaşmada anahtar rol oynayablcğ bu tz çalışmasının 4 v 5. bölümlrndk hsalar v tartışmalarla açıkça görülmktdr. -cbr yardımıyla dört-boyutlu faz-uzayında sürsmtr yaısı ksksz olarak bu bağlamda nclnblrkn görl kuantum mkanğnn tam br formülasyonu çn yn bu tz çalışmasında önrln yöntmn anahtar rol oynacağı öngörülmktdr. 6. Bölüm d dformasyon kuantumlamasının özllkl görl kuantum mkanğ çn altrnatf br klask mkanksl bakış açısı olmasına lşkn sonuçlar v tartışmalar yr almaktadır. 6

7 . OYAL-LIFFORD EBİRİ VE GÖRELİ KUANTU EKANİĞİNİN DEFORASYON KUANTULAASI Dformasyon kuantumlamasında kuantum kuramının sıra dğşmzlğ noncommutatvty) faz-uzayındak fonksyonlar üzrn tkyn yn sıra dğşmz br çarımla tarf dlr. Bu çarım dformasyon aramtrs h olan v h lmtnd fazuzayı fonksyonlarının blnn noktasal çarımına ontws roduct) ndrgnn yıldızçarımdır. Bu tanımıyla kuantum mkanğ klask mkanğn dform dlmş haldr. Bu sayd klask lmt v karşılanırlık lks gb kavramlar daha kolayca anlaşılablrkn klasktn kuantum mkanğn gçşt d gözlnrlr açısından kavramsal br sorunla karşılaşılmaz. Görl kuantum mkanğnn dformasyonu da frmyonk yıldız-çarım yardımıyla uzay-zaman cbrnn formülasyonu v böyllkl dformasyon kuantumlaması bağlamında Drac kuramının fad dlms şklnd anlaşılablr nsldr 7b). Drac dnklmnn cbrsl yaısı bozonk v frmyonk yıldız-çarımlarla tanımlanablr. Buradak bozonk yıldız-çarım dformasyon kuantumlamasından y blnn oyal yıldız-çarımı frmyonk yıldız-çarım s lfford çarımıdır. Bu bölümd lk olarak dformasyon kuantumlamasının n önml araçlarından olan oyal yıldız-çarımı v ardından da frmyonk yıldız-çarımı smglyn lfford çarımı nclncktr. Bu k yıldız-çarımın br arada l alınmasıyla yn br cbr l yn br yıldız-çarım tanımlanacak v ardından bu cbrn Drac kuramının faz-uzayı formülasyonunun kurulması çn A.. rshfld P. nsldr v T. Srnat tarafından 4 yılındak makallryl ortaya atılan v kısaca S olarak adlandırılacak olan yaklaşım bu kasamda yndn l alınacaktır rshfld t al. 4).. oyal Yıldız-Çarımı Faz-uzayı n-boyutlu br smlktk manfoldu l v bunun üzrnd tanımlı olan hr mrtbdn türvlnblr komlks dğrl fonksyonların oluşturduğu doğrusal lnar) uzay da F l göstrlsn. F nn grçl dğrl lmanları amlton mkanğndn blnn 7

8 klask gözlnrlrdr. Kanonk z q )q q... q n... n ) koordnatlarında F üzrnd oyal yıldız-çarımı aşağıdak gb tanımlanır: n x h q q )..) Burada h Planck sabtn v s altındak dğşkn gör sol tarafa r s sağ tarafa şlm yaan türv şlmclrn tmsl tmktdr. oyal Yıldız-çarımı F ag b ) af G bf af bg) af bg l vrln k-doğrusallık blnarty) özllğnn yanında brlşml assocatv) br çarımdır: F G) F G ). Bu son k bağıntıdak F G v lr F nn kyf lmanları olu k-doğrusallık bağıntılarındak a v b lr kyf skalrlrdr. Komlks şlnk altında k fonksyonun yıldız-çarımı aşağıdak bağıntıyı sağlar: F F F ) F..) Burada F F nn komlks şlnğn göstrmktdr. Yıldız-çarım cnsndn oyal arantz gb tanımlanır: [ ] tüm faz-uzayı fonksyonları çn aşağıdak [ F G] F G G F.) 8

9 oyal arantz ant-smtrk v k-doğrusal olu Jacob özdşlğ l Lbntz kuralını sağlar: [ F G] [ G F] Ant-smtrklk) [ F ag b ] a[ F G] b[ F ] Sağdan-doğrusallık) [[ F G ] ] c. Jacob Özdşlğ) [ F G ] [ F G] G [ F ]. Lbntz Kuralı) Burada c. dvrsl rmütasyonu cyclc rmutaton) fad tmktdr. Son k özllk yıldız-çarımın brlşm özllğnn açık sonuçlarıdır. Dolayısıyla oyal arantzn gör F br L cbr yaısına sahtr. Dnklm.) yardımıyla k grçl dğrl fonksyonun oyal arantznn saf-sanal ur-magnary) dğrl olduğu aşağıdak gnl bağıntı l göstrlblr: [ F G] [ F G]..4) oyal yıldız-çarımın v arantznn n önml özllklr aşağıdak lmt bağıntılarıdır: lm F G FG h lm [ F G] h h [ F G] P. Bu bağıntılardan da görülblcğ gb h lmtnd oyal arantz Posson arantzn ndrgnmktdr. Bnzr şkld k fonksyonun yıldız-çarımı da aynı lmtt bu fonksyonların blnn FG çarımına dönüşmktdr. Bu bağıntılar h dan bağımsız tüm gnl faz-uzayı fonksyonları çn gçrldr. Bu fadlr bz brlşml yıldız-cbrnn v oyal arantzyl vrln F nn L cbr yaısının sırasıyla noktasal çarıma gör F nn brlşml cbr yaısının v Posson arantzn gör blrlnn L cbr yaısının dformasyonları olduğunu söylr. 9

10 . lfford Çarımı Yukarıda dğnln L cbrlrnd olduğu gb hrhang br cbr üzrnd br kl şlmn k-doğrusal olan br çarım) tanımlandığı br vktör uzayıdır. Vktör uzayının boyutu cbrn d boyutudur. Ancak lfford cbrlr üzrnd dnr olmayan br g ç çarımının tanımlandığı vktör uzayları çn tanımlanan cbrlrdr. g l tanımlanan ç çarıma km zaman skalr çarım g y d mtrk ya da mtrk tnsörü adı vrlr. Smtrk gx y)gy x)) v k-doğrusal olan g nn dnr olmaması ona karşılık gln v lmanları vktör uzayının br { } bazında g g ) l göstrln matrsn tkl olmamasına dtg ) şdğrdr. Bu dnr olmama özllğyl vktörlr v bunların dual olan -formlar arasında br-br şlşm kurulablr. Vrln br y vktörü çn br x vktörünün mtrk dual ~ x ~ y) ~ x) g x y ) x y l tanımlanan -formdur. Burada y ç çarımı tmsl tmktdr v br β k -formu antsmtrk kovaryant k-tnsör) üzrn tks vrln x K x k vktör alanları çn yβ ) x K xk ) kβ y x K xk ) şklnddr. İk-doğrusal brlşml dış çarım xtror roduct) da hrhang br α -formu l β k -formu çn α β ) k β α ştlğyl tanımlanır. Tüm formların doğrusal uzayı dış çarıma gör n boyutlu n vktör uzayının boyutu) dış cbr xtror algbra) oluşturur; bu tnsör cbr gb -drcl brlşml br cbrdr.

11 rhang br -form x ~ v hrhang br β formu çn tanımlanan ç v dış çarımların tolamı olarak aşağıdak gb tanımlanır: lfford çarımı yukarıda ~ x β ~ x β β.5) x Bu çarım; dış cbr lfford cbr olarak da adlandırılan -drcl brlşml cbr dönüştürür. lfford cbr ayrıca Gomtrk br olarak da blnr Artn 957 stns 966 stns 99). Brlşm özllğnn d yardımıyla.5) bağıntısı hrhang br form üzrn tkyn lfford çaımının ) tümüyl blrlnms çn ytrldr. drcllğn anlamı br doğrusal cbr olarak tüm cbrn tk v çft formların uzaylarının drkt tolamı drct sum) şklnd fad dlblms v tüm çft formların knd çrsnd kaanarak br alt-cbr oluşturmalarıdır. Br α -formu l β k -formunun lfford çarımı gnld l k k K k l vrln l-formların br tolamını çrn homon olmayan br formdur. Özl olarak v k nın hr ks d brr çft tamsayı s yukarıdak gb hsalanan tüm l lr d çft olacaktır. Çft formların lfford çarımına gör br alt-cbr oluşturmaları bu özllğn br sonucudur. lfford çarımı cnsndn lfford arantz d aşağıdak gb tanımlanır: [ α β ] α β β α. İk-doğrusal ant-smtrk olan bu arantz d Jacob özdşlğn sağlar. Dolayısıyla brlşml lfford çarımı altında tanımlanan lfford arantz d aslında br L cbr yaısı göstrr. lfford arantz oyal arantz gb Lbntz kuralını da sağlar.

12 . oyal-lfford br nkowsk uzay-zaman manfoldunun grçl lfford cbrnn )) ortonormal - form bazları ) l göstrlsn. Buradak lr Drac cbrndk γ matrslrnn lfford cbrndk karşılıklarıdır v aşağıdak ant-lfford sıra dğştrm bağıntılarını sağlarlar: ν ν ν ν { } η. dğrlrn almak üzr γ β ) -formu v α γ γ ) - formları ν η dag ) Lorntz mtrğn gör aşağıdak bağıntıları sağlarlar: { α } { α α } α δ. α α α α α.6) Buraya kadar yaılan tanımlama v hsalardak lfford formlarının blşnlr sıradan çarımla çarıldıklarından sıra dğşn nclklrdr. Ancak katsayıların oyal yıldızçarımla çarılmalarını göztrk sıra dğşmyn duruma gçlblr. Bunun çn yalnızca k bağıntıyı br arada kullanmak ytrl olmaktadır; bunlar da.5) l vrln lfford çarımı v.) l vrln oyal yıldız-çarımdır. Sonuçta ld dlck olan brlşml yıldız-çarım v cbr sırasıyla * l göstrln oyal-lfford ) çarımı v cbr olarak adlandırılacaktır. Bu cbrn br F lmanının n. -kuvvt d n* F F F... F n dfa şklnd tanımlanmaktadır.

13 .4 Faz-Uzayında Drac Dnklm v Görl Kuantum kanğ İçn S Yaklaşımı -br v -çarımı gözönünd bulundurularak Drac cbrnn dformasyonu dolayısıyla görl kuantum mkanğnn dformasyonu nclnblr. Bunun çn lk olarak m kütll br srbst arçacık çn Drac amltonanı aşağıdak gb tanımlanacaktır nsldr 7b): c mc D α..7).7) dnklm Drac amltonanı nın -form v -formlardan oluşan homon olmayan yaısını şart dr Burada c ışığın boşluktak sürat olu bundan sonra aks blrtlmdkç tkrarlı Latn ndslr üzrndn dn kadar tolam anlaşması kullanılacaktır). Öt yandan klask gözlnrlr d çrdğndn Drac cbrnn dformasyonunda -çarımı önml br rol oynamaktadır. Drac amltonanı nın kndsyl -çarımı aşağıdak gb br -formdur: 4 D D c m c. Bunu kullanarak amltonan ın -üstl açılımı aşağıdak gb hasalanır: Ex Dt t ) h n n! h π E ) n te / h n D π E ) te / h..8) Son ştlk yazılırkn sonsuz tolamın tk v çft kuvvtlr çrn trmlr ayrı ayrı hsalanmıştır. Burada π ±E ) l vrln Wgnr fonksyonları aşağıdak gb tanımlıdır: D π ± E ) ±..9) E

14 Bu Wgnr fonksyonları -form -form v -formdan oluşan homon olmayan brr lfford formudur Bu formlara bu tz çalışmasında Wgnr formları ya da Wgnr-lfford formları adı vrlcktr). Drac amltonanı nda q ya bağımlı trmlr olmadığından Drac amltonanı nın kndsyl oyal-lfford çarımı aslında lfford çarımına şttr dolayısıyla D D E D c D m c 4 yazılablr. D / E) D / E) fads d D / E) nn br nvolüsyon olduğunu fad dr. π ±E ) lr aynı zamanda nr roktörlrdr; dmotnttrlr v tam br küm oluştururlar: π π ± E E π E π π π ± E E E π ± E Bu roktörlr ayrıca aşağıdak yıldız-özdğr dnklmlrn sağlarlar: π ) Eπ )..) D ± E ± ± E Bnzr yıldız-özdğr dnklmlr S h u z u ).) tanımıyla vrln sn çn d yazılablr. 4

15 5 Burada z l vrln hacm formdur 4-form) v kuantumlama ksnn fad dn u y dk brm vktördür. Buna gör z z z z olduğundan ) } { ) ) ) ) h h h k k k k u u u u u u S S.) bulunur. Böylc.8) dkn bnzr hsalarla u S çn lfford-üstl açılımı aşağıdak gb hsalanır:. ) )! ) Ex / / ϕ ϕ π π ϕ ϕ u u u S S n u n n S n S h h.) Burada sn Wgnr fonksyonları aşağıdak gb vrlr: S u S h ± ± π..4)

16 .4) dnklm standart görl kuantum mkanğndk Drac sn roktörlrnn ˆ ± ˆ z P± ) dformasyon kuantumlamasındak karşılığıdır v aşağıdak yıldız-özdğr dnklmn sağlar: π h u) π S u)..5) S u ± S ± ± v u brbrlrn dk oldukları çn u ştlğndn [ z )] k k [ α z u )].6) yazılablr. Buna gör D v S u lfford çarımına gör aşağıdak gb sıra dğştrrlr: [ D Su ] D Su Su D..7) Dolayısıyla π ±E ) v π ±S u) Wgnr fonksyonları da sıra dğştrrlr. Böylc Drac roblm çn ortak dmotnt Wgnr fonksyonları aşağıdak gb yazılır: π u) π ) π )..8) ± E ± S ± E ± S u Karşılık gln yıldız-özdğr dnklmlr s aşağıdak gbdr: S u D π π ± E ± S ± E ± S u) ± Eπ ± E ± S u) h.9) u) ± π ± E ± S u). 6

17 Drac Wgnr fonksyonları da dmotnttrlr: π u) π u) π )..) ± E ± S ± E ± S ± E ± S u Şmd q lr x bağıntısından yararlanılırsa kartzyn koordnatlarıyla özdşlştr blnn k [ x ] hδ k [ D x ] { D α } hcα c bulunur. İknc bağıntıda.6) dan yararlanılmıştır. Bu bağıntılar yardımıyla konum fonksyonunun zamana gör dğşm aşağıdak gb hsalanır: x t) Ex x c Dt ) h t hc α c x D D Ex ) Dt ) h Ex Dt ) ). h.) Burada D -çarımı altında D nn trsdr v aşağıdak gb tanımlıdır: m c D D c 4..).) dnklmnn knc satırındak k trm klask harkt karşılık glrkn üçüncü satırdak son trm Zttrbwgung olarak blnn trm smglr. Almanca br sözcük olan Zttrbwgung konumun bklnn dğrnn ortalama dğr trafında salınmasını fad dr. Bu çalışmada Zttrbwgung daha fazla l alınmayacaktır). 7

18 .5 Lorntz Dönüşümlr v Yıldız-özdğr Dnklmlr Yıldız-çarım formülasyonunda Drac dnklmn türtmnn br başka yolu da durgun çrçvd yıldız-özdğr dnklmyl uyumluluk göstrms grkllğn l almaktır. sçlrs.) fads c l bölündüktn sonra) aşağıdak şkld fad dlr: mc mc) π )..) ± ± E burada π ± E ) ± ) olu bu çözüm.9) l vrln Wgnr fonksyonlarının tanımından bulunur. Lorntz dönüşümlr h K v l J h ε 4 lk k olmak üzr brr -form olan K boost v aşağıdak lfford sıra dğştrm bağıntılarını sağlarlar: J dönm ürtclr l tanımlanırlar. Bunlar [ J [ J l l [ K J K l K ] ] ] hε hε lk lk J hε k K lk k J k..4) Lorntz boostları çn yıldız üstl açılımının Ex ω K ) α Ex ω K ) Ex ω K ) Λ ν ω) α ν α Ex ω K ).) şklndk tanımına gör rshfld t al. 4).) fads S Ex ω K ) tanımı yardımıyla harktl br çrçvy ötlnblrlr. 8

19 .) fadsndk ω aramtrs harktl çrçvdk momntumuna bağımlıdır..) bağıntısından S mc ± mc) π ± E ) S S Smc ± mc) S π ± E ) S.5) yazılablr. Dnklm.) yardımıyla S S / mc / ).6) ld dlr. Böylc π ) S π S.7) ± m ± E ) tanımıyla.5) fads aşağıdak hal dönüşür: / ± mc) π ± m )..8) ± mc Burada nr roktörlr π m ) / ± şklnd tanımlıdır. Dnklm.8) s mc Drac dnklmnn yıldız-çarım formülasyonundak fadsdr. Bnzr br yöntm.4) v.5) kullanılarak sn yıldız-özdğrlrn ld tmk çn d ynlnblr. S h u z u ) fadsnn durgun çrçvd gçrl sn gözlnrlr olduğunu göz önünd bulundurarak harktl çrçvdk fady aşağıdak gb ulaşılablr: S u S h S z S u/ u/ u u)..9) 9

20 Burada S Ex ω K ) ötlnms uygulanmıştır. u v u koşulları aslında sırasıyla u v u şklnd anlaşılmalıdır. Böyllkl S S h / ) u u u v [ S ] fadlrnn tüm gözlm çrçvlrnd gçrl olduğu garant altına alınmış u D olur. Sonuç olarak görl sn yıldız-özdğr dnklm v çözümü aşağıdak gb yazılablr: S u π ± S h u) z u/ π ± h ± π ± S u). S u).) Burada.4) l.5) fadlrndk S u lar S u şkln dönüşmüştür v buna gör sn roktörlr aşağıdak gb tanımlıdır: π ± S u) ± Su h ± z u/. Dnklm.8) d olduğu gb Drac kuramındak u v v dörtlü snörlrn karşılık gln roktörlr.8) v.) dnklmlr br araya gtrlrk aşağıdak gb yazılır: π u) π ) π u) π u) π )..) ± m ± S ± m ± S ± S ± m.6 Faz-Uzayı Formülasyonu l Foldy-Wouthuysn Dönüşümü Şmdy dğn kurulan cbrsl yaı çrsnd Drac dnklmnn görl olmayan lmtn hsalamanın n y yolu Foldy-Wouthuysn Foldy and Wouthuysn 95) dönüşümünü yıldız-çarım formülasyonuna uygulamaktır.

21 Wgnr fonksyonun zaman bağımlılığı urtrght and Zachos 999) π t) h [ t) π t)].) t fadsndn bulunur. Bu fad Wgnr fonksyonunun t π t) U t) π t) U ).) şklndk üntr dönüşümüyl aşağıdak gb yazılır: h π t) [ t) π t)]..4) t Burada t) nn açık fads aşağıdak gb ld dlr: t) U t) t t) h t ) U )..5) El alınan hrhang br amltonan aşağıdak gb fad dlblr: Burada β olu mc β E O..6) β E β β mc mc O β β mc mc tanımları yaılmıştır.

22 E fonksyonu oztf arty sahkn O fonksyonu ngatf arty sahtr: OA O E E β β β β Standart Foldy-Wouthuysn dönüşümü çn n n n t U O O! Ex ) β β.7) sçlrs.) ya da.5)) fads yardımıyla... ] [ ] [ O O E O O E O O E O O & h & h mc mc mc β β β.8) ld dlr. Burada lk satır çft fonksyonları çrrkn knc satır tk fonksyonlardan oluşur..8) dnklm O E β mc..9) şklnd yndn yazılı aynı dönüşüm br kz daha O t U Ex ) β.4) l yaıldığında

23 E β mc.4) ld dlr. Burada /c) 5 v üzr mrtbdn trmlr hmal dlmştr. Elktromanytk alan çnd yüklü br arçacığın harktn btmlyn Drac amltonanı β ϕ mc c A) α çn E v O fonksyonları aşağıdak gbdr:. mc c mc A α O E ϕ.4) / mc ) d /c) 4 mrtbsn kadar olan trmlr l alındığında amltonanı aşağıdak gb dönüşür:. dv 8 ) 4 8 ] [ E E B A c m c m mc m c m c mc mc mc mc mc h h h & h ϕ β β β O E O O E O O.4) Burada ) Paul matrslrdr..4) fads standart şlmc formalzmndk

24 fadyl aynıdır. Bu lşky görmk çn faz-uzayı dğşknlrnn çarımını karşılık gln şlmclrn çarımına dönüştürn aşağıdak ΘW Wyl dönüşümü kullanılmaktadır: E Eˆ Eˆ Eˆ h Θ ) ˆ ˆ ) ˆ roteˆ W..44) Dolayısıyla.4) karşılık gln amlton şlmcs aşağıdak gbdr: ˆ β mc h 4m c ˆ Aˆ c m 4 ˆ 8m c h E ˆ ) 8m c h β B ϕ mc roteˆ h 8m c dve..45) Bu da blnn klask fad l aynıdır bkz. Grnr 997)..45) t şlmcsdr. ˆ h momntum S yaklaşımı hr n kadar özgün makallrnd oyal-paul yıldız-çarımı olarak adlandırılan yıldız-çarımla hsalar yaılmış olsa da bu bölümün başında kurulan cbr bağlamında -çarımı altında da yn Drac kuramının faz-uzayı formülasyonu çn tutarlı sonuçlar vrmkt ancak km kavramsal sorunları da brabrnd gtrmktdr. Bu sorunlardan lk Drac kuramının faz-uzayı formülasyonunun üçlü oyal yıldız-çarımı v dörtlü lfford çarımını br arada çrmsdr. N var k üçlü oyal yıldız-çarımıyla görl kuantum mkanğ çn grkl olan Lorntz dönüşümlrn btmlmk mümkün görünmmktdr. Br dğr sorun da Drac kuramının klask karşılığının olmamasıdır. Oysa dformasyon kuantumlamasının tml klask mkanğn h aramtrsyl dform dlrk kuantum mkanğnn faz-uzayında formül dlmsn dayanmakta v h lmtnd klask mkank yndn ld dlblmktdr. Bu k sorunu ortadan kaldırmaya yönlk önrlrdn br tans görl kuantum mkanğnn 4

25 aramtrz dlmsn ya da uzay-zaman koordnatı olarak zamanın sstmn glşm voluton) aramtrsndn ayrılmasına dayanan has-zaman ror tm) fomalzmdr nsldr 7b). Bu yaklaşımla uzay-zaman cbrnn gomtrk yaısının has-zaman formalzmndk kuantum yaısının forml br brlktlğnn yıldız-çarım formalzm çrsnd ld dlblcğ lr sürülmktdr. Bunun çn d Lorntz dönüşümü çn grkl yn br dörtlü oyal yıldız-çarımı tanımlanarak aktf v asf Lorntz dönüşümlr bu formalzm çrsnd ortaya çıkarılmaktadır. Bu yn yıldız-çarımlar yardımıyla aramtrz dlmş klask mkanğn dformasyon kuantumlanması çn d klask lmt ld dlrkn sn trmlr d kndlğndn ortaya çıkmaktadır. Görl kuantum mkanğnn dformasyon kuantumlaması bu anlamıyla hnüz tamamlanmamış br formalzm olarak ortaya çıkmakla brlkt -cbr v çarımı bu ksklğn gdrlms konusundak anahtar rolünü korumaktadır. Bununla lgl ayrıntılı br nclm 5. Bölüm d vrlmktdr. -cbr ayrıca br sonrak bölümd d ayrıntılı olarak göstrlcğ üzr sürsmtrk kuantum mkanğnn dformasyon kuantumlaması çn çok yararlı araçlar sunmakta v dört-boyutlu klask faz-uzayında tutarlı br sürsmtr yaısı kurulmasını sağlamaktadır. 5

26 . SÜPERSİETRİK KUANTU EKANİĞİNİN FAZ-UZAYI FORÜLASYONU oyal yıldız-çarımı bozonk kısım v lfford çarımı da frmyonk kısım olmak üzr bu k çarımın br arada kullanılması sürsmtrk kuantum mkanğnn Gndnsthěn and Krv 985 oor t al. 995 Junkr 996 Kuru t al. ) faz-uzayı formülasyonunu nşa tmy d uyarlanablr. İk-boyutlu D ) faz-uzayı üzrnd bu yaklaşımın nasıl uygulanacağını nsldr nsldr 7a) göstrmştr. Bu bölümd tml olarak bnzr br yaklaşımla 4-boyutlu 4 D ) faz-uzayı üzrnd sürsmtrk kuantum mkanğnn nasıl nşa dlcğ tartışılacaktır. Bu şkld kurulan cbrsl yaı sürsmtrk kuantum mkanğnn faz-uzayı formülasyonuna çok daha gnl br çrçv sunarkn zngn br uygulama alanını da brabrnd gtrmktdr. Bu bölümd lk olarak oyal yıldız-çarım l brlkt lfford formlarından oluşan br klask amltonan sstmndk 4-boyutlu faz-uzayı üzrnd tanımlı komlks lfford cbrnn dformasyonu göstrlcktr. Bu çaranlarına ayırılmış trmlrn tolamı olan k ş-sktral sosctral) lk matrs amltonan yazmaya da olanak vrmktdr. Grçl dğrl faz-uzayı fonksyonlarıyla fad dlbln bu amltonanlar k çok sstmn modllnmsn olanak vrck kadar da gnldrlr. Çft bağlaşımlı doubly ntrtwnd) bu amltonanlar dform dln cbrd sıfırın bölnlr dvsors of zro) olan matrs dğrl bağlaştıran ntrtwnng) faz-uzayı fonksyonlarını çrrlr. Bağlaştıran matrslr komlks şlnklryl br arada kullanarak l alınan hr sstm çn harkt sabtlrn ld tmk d mümkündür. Atomun alanlarla kuantum tklşmlrnn Fnk t al. 8) doğasını nclyn v güncl dnylr konu olan kuantum otğnn Jayns- ummngs J) t amltonan sstmlr d Jayns and ummngs 96 Shor t al. 99 Schlch ) bu yöntm özl br örnk olarak nclnblmktdr. J-t amltonanların dışında k çok sür-ş amltonan alsnn sktrumları özvktörlr v lgl Wgnr fonksyonları gb faz-uzayı karaktrstklrnn yanı sıra klask lmttk davranışları v harkt sabtlr d kuantum mkanğnn standart araçlarına başvurmadan bu yöntm yardımıyla otonom olarak nclnblmktdr Buğdaycı v Vrçn 9). 6

27 . Faz-Uzayı Üzrnd Komlkslştrlmş lfford br El alınacak faz-uzayı 4-boyutlu 4D) smlktk manfold l bunun üzrnd tanımlı olan komlks dğrl fonksyonların oluşturduğu doğrusal uzay da yn F l göstrlsn. nn hr noktasında br tğt tangnt) v dğr onun dual olan ko-tğt cotangnt) uzayı olmak üzr k adt 4D vktör uzayı tanımlanablr. Ko-tğt uzayının lmanları tğt uzayının lmanları üzrn doğrusal olarak tkyn -formlardır. Smlktk manfold nn dnr olmayan knc-ranktan k tnsör alanlarıyla tanımlanan k özl yaısı vardır: Bunlardan brs smlktk -form Ω v dğr smtrk g mtrk tnsörüdür. Bu k tnsörün dnr olmaması hr brnn tğt uzayı l ko-tğt uzayı arasında brr vktör uzayı ş-yaı dönüşümünü somorhsm) tanımlamaları anlamına da glmktdr. Bu ş-yaı dönüşümüyl lşklndrlmş lmanlar brbrlrnn smlktk v mtrk dual olarak adlandırılırlar bkz. Ksm.). Smlktk -form Ω v smtrk g mtrk tnsörü l alınan komşuluğun hr noktasındak tğt uzaya sırasıyla smlktk vktör uzayı yaısı v br ç çarım ntror roduct) uzayı yaısı kazandırır. Darboux tormn gör Arnold 989) nn hr komşuluğunda q ) q q ) şklnd kanonk koordnatlar tanımlanablr v bunlar cnsndn Ω dq d yazılablr. Sonuçta Ω amlton mkanğnn Posson arantznn aşağıdak gb yazılmasını sağlar: [ F G] P q F G F q G)..) k k k k k 7

28 Burada / x türv şlmcsnn kısa göstrmdr..) ştlğnn sol tarafında x fonksyonların sıra dğşn commutatv) v brlşml nokta ontws) çarımları aşağıdak gbdr: x F F ) x) F F ) x) F x) F x) F x) F ). Tğt uzaylar grçl sayılar alanının komlks sayılar alanıyla dğştrlmsyl komlkslştrlblr. Böylc g -doğrusallığı yardımıyla komlks dğrl smtrk v dnr olmayan k-doğrusal g göndrmn gnllştrlblr. cbrsl olarak kaalı olduğundan g Eucldan olmayan mzaya sah olsa bl g hrhang br mza l karaktrz dlmz böylc komlks cbrn yaısı yalnızca boyuta bağımlı olur. Burada 4 v ortonormal -formlar { f f f f } tarafından ürtln 4 -boyutlu grçl 4 ) lfford cbr l alınacaktır 4 ) cbrnn baz lmanları 4 ) cbrnn baz lmanlarının matrs göstrmlr v brbrlr arasındak lşky görmk çn bkz. EK). Grçl 4 ) cbrnn f l göstrln baz lmanları f k k k f f f δ.) bağıntısını sağlamakta v Kronckr dlta smgs Eucld mtrğnn trsnn blşnlrn göstrmktdr: g k k f f ) δ. 4 ) nn komlkslştrlms d 4) l göstrlcktr. 4 ) lk kuatrnyon matrslrnn cbrn ş-yaılı somorf) kn 4) 4 4 lük komlks matrslrn cbrn ş-yaılıdır Bnn and Tuckr 987). 8

29 . Tml Sürsmtr SUSY) Yaısı 4 boyutlu 4 ) komlks cbrnn ortonormal bazları aşağıdak bağıntıyı sağlarlar: l göstrlsn. Bu bazlar k k k δ..) Grçl dğrl faz-uzayı fonksyonları W W q ) P P q ); cnsndn 4 ω W W P P.4) lfford -formu göz önün alınsın. Bu -formlar v lfford çarımı yardımıyla -boyutta gnş br amlton fonksyonları als aşağıdak gb yazılablr: ω ω P P ) W W )..5) Sürsmtr yaısını yıldız-çarım formülasyonu l nclmk çn aşağıdak gb komlks -formlar tanımlanablr: f ) f ) g 4 ) g 4 ). Bu -formlar f * f * f g * f g * g g.6) 9

30 şklnd vrln nlotntlk bağıntılarının yanında aşağıdak lfford ant-arantz bağıntılarını da sağlarlar: { f f } { g g} { g f } { g f } g f } { g f } {..7) Komlks dğrl fonksyonlar l komlks şlnklr W P ) W P ) W W P ) P ).8) şklnd tanımlanarak bu fonksyonlar v komlks -formlar cnsndn sür yüklr aşağıdak gb yazılablr: q f g v q f g.9) Böylc.4) tk -formlar da bu sür yüklr cnsndn aşağıdak gb tanımlanablr: ω q q.6) v.7) bağıntılarını kullanarak q ± lrn nlotnt olmalarının yanı sıra l brlkt bast br sürsmtrk cbr yaısında kaandıkları da göstrlblr: q.) ± * q± { q q }.) q ± ]..) [

31 nn dış dmtnn lfford yaısı karşılık gln klask sstmdk sürsmtr yaısının görülblmsn olanak vrr. Bozonk srbstlk drclrn k olarak frmyonk srbstlk drcsn d sah olan bu türdn sstmlr sözd-klask sudoclasscal) modllr olarak blnrlr Junkr 996) v hm bozonk hm d frmyonk srbstlk drclrn sah kuantum sstmlrnn klask lmtlr gb davranırlar. Ancak.) bağıntısı açıkça sağlandığından üsttk sürsmtr SUSY) yaısı bu hald k fazla lgnç görünmz. br -form olduğundan tüm formlarla lfford anlamında sıra dğştrr. Oysa.) dnklm q ± süryüklrnn nlotntlklrnn doğal br sonucu olarak ortaya çıkmalıdır. Dolayısıyla buradan tbarn bu cbr son üç bağıntı v yn br amltonan yardımıyla dform dlrk -form v -formlardan oluşan v homon olmayan br lfford çft formuna dönüştürülrk daha lgnç br SUSY yaısı kazandırılacaktır.. Dformasyon v SUSY Yaısı.) dnklmnd vrln şlm -çarımıyla yndn yaıldığında artık ştlğn sağ tarafı doğrudan sıfır vrmycktr: q q [ ] f *.) * g q * q [ ] [ ] f * f * g g..4) Son ştlk yazılırkn.4) tn yararlanılmaktadır..).) v.) fadlrnn dğşmz kalmasının grkllğ q v korunmasını grktrr. Bu da ancak v ancak q nn nlotntlğnn -çarımı altında da [ ].5) olmasıyla mümkündür.

32 .5) koşulu W v P 'lr cnsndn aşağıdak gb yazılablr: [ W W ] [ P P ] [ W P ] [ W P ]..6) W v P 'lr grçl dğrl oldukları çn.6) nın sağ tarafı grçl dğrlykn sol tarafı saf sanaldır. Dolayısıyla.6) koşulu aslında aşağıdak k koşula dnktr: [ W W ] [ P P ].7) [ W P ] [ W P ]..8) Bu koşullar yardımıyla.) dk gb amltonan bu kz s { q q}..9) ant-arantz l tanımlanablr. Bu da.) dnklmndk gb sür yüklrn yn arantz altında amltonan l sıra dğşm bağıntısının aşağıdak gb yazılmasına olanak vrr: [ s q ± ]..) ω ω } ştlğn sağlayan ω ω v ω q q ) fonksyonları cnsndn { sürsmtrk amltonan s aşağıdak gb çaranlarına ayrılablr: s ω ω ω ω.)

33 Br sonrak kısımda göstrlck olan lfford cbrnn uygun matrs tmslnd ω lr rmt-sl sür yüklr v yukarıdak sür-cbr l blrlnn smtr d -gnşltlmş -xtndd) sürsmtrdr..9).9) dnklmlr.7).8) koşulları v ] [ ] [ P W ] [ ] [ P W ] [ ] [ ] [ P W W W P W W W ] [ ] [ ] [ bağıntıları kullanılarak s açık olarak aşağıdak gb hsalanablr: )}. ] [ ) ] [ ] [ ] {[ W W P W P W P W s.) Bu fadd bozonk kısımı tmsl dn * aşağıdak gb tanımlıdır:. * * } { } { W W W W P P P P.) Burada } { ant-oyal arantzn tmsl tmktdr. Farklı ortonormal bazlar çn yazılan k k kısaltmasıysa dış çarımına şdğrdr..) dn açıkça görüldüğü gb s ; -form v -formlardan oluşan homon olmayan br lfford çft formudur.

34 .4 atrs Tmsl Dnklm.) l vrln komlks lfford bazları lk Paul matrslr k 'lar v lk brm matrs cnsndn aşağıdak gb tanımlanacaktır:.4) 4. Bu tmsld tüm baz matrslr rmt-sl fakat v s antsmtrktrlr..4) matrs tmsl dnklm.) d kullanılırsa 4 smtrk v π s π.5) ld dlr. Burada π dag ) v π dag ) l vrln matrslr lkl olmayan non-rmtv) roksyonlardır v köşgn lmanlar olan ş amltonanlar aşağıdak gb tanımlıdır: F F..6) Frmyonk kısımı tmsl dn F 'lr d F B.7) 4

35 .8) F B [ W P ] [ W W ] l vrlr. Burada B ± lr aşağıdak gb tanımlanmıştır: B [ W P ] ± [ W P ] ±. Bu bağıntılar ld dlrkn Paul sn matrslrnn özllğ v bu özllk yardımıyla hmn ld dlbln dğr bağıntılar kullanılmıştır..5) ya da şdğr olarak.7) v.8)).) v.) lfford cbr l oyal- lfford cbr arasındak tml farklılığı göstrmktdr. Bu kısıtlamalar asıl olarak dform dlmş durumda q ± ların nlotntlğn korumayı garantlmnn yanında bundan sonrak hsalamalar çn d önml rol oynamaktadırlar. Sonuçta ld dln cbr özgün br SUSY cbrdr v amltonanlar da klask olmayan kısımlara sahtr. v nn ortak bozonk kısmı olan * klask lmtt.5) l vrln amltonan a ndrgnmktdr lm h * ). Ancak amltonan ın frmyonk kısımları olan F lr brbrlrndn farklı olmalarının yanında klask lmtlr d yoktur. Buna karşılık Paul matrslrnn katsayı fonksyonlarının klask lmtlr.7) v.8) l vrln fadlr h a bölünrk klask Posson arantzlrn dönüşürlr..5 Bağlaşıklık Eş-Sktral Özllk v arkt Sabtlr Bağlaştıran şlmc vrln k aynı tür şlmcnn dfransyl ntgral matrs ya da şlmc dğrl matrs şlmclr vs.) brbryl bağlaşıklığını kurmaya yarayan araçlardır. Gnl olarak kuantum mkanğnd L l vrln bağlaştıran şlmc v l vrln k amltonan şlmcsn brbrn L L 5

36 bçmnd bağlaştırır. El alınan durum çn bu bağlaştıran şlmclr aşağıdak gb tanımlanablr: ) ) L.9) ) ). L.) Burada son ştlklr yazılırkn Paul matrslrnn blnn fadlr kullanılmıştır. Bu şlmclr cnsndn q ± sür yüklrnn matrs tmsl şöyldr: L. q q.) L q nın nlotntlğ kullanılarak L * L.) L L * bulunur. Burada L v L lr çarımına * ) gör sıfırın bölnlrdr v matrs dğrl faz-uzayı fonksyonlarının yıldız-çarımı olarak ortaya çıkmaktadırlar..) dk knc ştlk.9) v.) da görüln v ± ) lrn matrs çarımlarından glmktdr..) nn brnc ştlğys.5) koşuluyla blrlnmktdr. Öt yandan.) ağağıdak kl bağlaşıklık fadlrn şart dr: L L * L *.) * L *..4) 6

37 rhang matrs dğrl D fonksyonları çn D D olduğu kolaylıkla * D ) D * göstrlblr. Bu sayd.) v.4) ün rmt-sl şlnklr ya da şdğr olarak [ s q ] ştlğ aşağıdak gb k bağlaşıklık falrnn yazılmasına olanak vrr: L * *.5) L L * *..6) L.) nn br sonucu olarak L v L lr d sıfırın bölnlrdr..9) v.) yardımıyla ş amltonanları çaranlarına ayrılmış trmlrn br tolamı olarak aşağıdak gb yazmak mümkündür: L * L L * ).7) 4 L L 4 * L L * )..8) L Sıfırdan farklı lk Ψ fonksyonu λ yıldız-özdğrn karşılık gln lk matrs dğrl T fonksyonunun yıldız-özvktörü olarak göstrlsn: T * Ψ λψ. Bu fadnn rmt-sl şlnğ d açıkça Ψ λ * T Ψ olur; burada Ψ nn sıfırdan farklı olması ancak v ancak Ψ * Ψ koşulu l blrlnr. Böylc sktrumların grçllğ farklı özdğrlr karşılık gln 7

38 özfonksyonların dklğ gb rmt-sl şlmclrn standart özllklr faz-uzayı bağlamında da gçrllğn korumaktadır. Burada snör trm gnl kullanımda olduğu gb lk matrs özfonksyonlarını tmsl tmkl brlkt lfford cbrnd daha gnş br anlama sahtr. Bunlar göz önünd bulundurularak bağlaşıklık bağıntılarının Kuru t al. ) fzksl sonuçlarının nclnmsn gr dönülblr. El alınacak lk önml sonuç v nn ş-sktral olmaları yan hr ksnn d nrdys aynı sktrumlara sah olmalarıdır. Daha açık br fadyl λ özdğrl amltonan ının öz-snörü Ψ l göstrlrs L * Ψ v L * Ψ Ψ L v L nn -çkrdğnd olmamak kaydıyla) aynı zamanda nn aynı özdğr karşılık gln öz-snörlrdr. Dnklm.4) v.5) bnzr lşknn nn öz-snörlr çn d gçrl olduğunu söylr. Burada ayrıntılar br sonrak kısıma bırakılarak bağlaşıklık bağıntılarının br dğr sonucuna gçlcktr..) v.6) bağıntıları soldan L ya da yaıldığında ld dln sonuçlarla karşılaştırılarak v l L ) l çarılı aynı şlm dğrlr çn d [ R ] [ S ].9) [ R ] [ S ].4) şklnd sıra dğşn matrs dğrl R R L L * L S L *.4) L * L S L * L.4) fonksyonları ld dlr. Ancak 4 S R v 4 R S 8

39 olduğundan bu fonksyonlar bağımsız dğllrdr. Eğr açık br zaman bağımlılığı yoksa hr sstm amltonan l brlkt k adt harkt sabtn sahtr. Burada çn harkt sabtlrnn açık hal S ) R ) şklnddr. köşgn olduğu çn d S v R onun zdüşümlrdrlr..6 Uygulamalar Sn alçaltıcı v yüksltc ± ± ) matrslr cnsndn.8) l vrln F aşağıdak gb yndn yazılablr: F B A A )..4) Burada A W A ].44) [ ] [ W l vrlr. Bu şlmclr [ A A ] nn grçl br sabt olduğu durumda bozonk alçaltıcı v yüksltc şlmclrn faz-uzayındak karşılıklarıdırlar. Kurulan yaıya daha aydınlatıcı örnklr vrmk çn bu bölümd h kabullnm yaılı.4) ün knc trm [ A A ] olduğu durumda aşağıdak gb göstrlcktr: A ) A A )..45) J 9

40 .6. Örnk Uygulama : Jayns-ummngs t sstmlr W v P n aşağıdak gb özl br sçm k çok fzksl uygulamayı nclm fırsatı da vrmktdr: W P q W q q..46) Bu sçml.7) v.8) koşulları [ W W ] [ W q P ] fadlrn ndrgnr v böylc P nn n gnl formu.7) v.8) dnklmlrndn yararlanılarak aşağıdak gb bulunur: P q q..47) K Burada K K q ) dr. q)/ ştlğ v.44) yardımıyla A q ) [ A A ].48) olduğu kolayca göstrlblr. A v A başta da blrtldğ gb sırasıyla bozonk alçaltıcı yok dc) v yüksltc yaratıcı) faz-uzayı fonksyonlarıdır. 4

41 Aşağıdak gb bnzr br bozonk çft daha tanımlanablr: B q ) [ B B ]..49) Bu B v B çft br önck A v A çftyl oyal anlamında sıra dğştrr. W q q - düzlmn dk açısal momntumu tmsl dr v P l brlkt aşağıdak gb yndn yazılablr: W AB AB ) P AB AB K..5) Faz-uzayı sayı fonksyonları da aşağıdak gb tanımlanır: N N A B A B A AA B BB..5) G a F q ) çn G G ştlğ v G F q) F q) F q) F q) G ) G ) G ) G ) fadlr kullanılarak F B J A) B [ ± NB N X )].5) ± A N N ) Y A B A 4

42 ld dlr. Burada A N A )/ olu X v Y açık olarak X [ W K].5) Y { A B AB K} K K.54) l vrlmktdr. Jayns-ummngs J) t amltonan dır Jayns and ummngs 96 Schlch ). Bu amltonan kuantumlanmış v k-kl k-modlu) br lktromanytk alanla tklşn k-düzyl br atomu tanımlar. Alanın yalnızca A -k atomla tklşr v böylc düzylr arasında gçş sağlanır. knn nrsdr; nt tklşm tmsl tmktdr. A fads çndk A A - fadsys dğr kn nrsn v bu klr arasındak Sür-ş amltonanlar artık aşağıdak gb yazılablr: nt ) N ).55) A A B ) N ) )..56) nt A B A J A Burada K alınmıştır. Bu durumda klr arasındak tklşmlr sayı fonksyonlarıyla sağlanmaktadır. X v Y n sıfır olmadığı br K sçldğnd dğşk k tklşmlr d modllnblr Barnt and Radmor 997). K n sıfırdan farklı br sabt olarak sçldğ v X n sıfır Y n K A B AB) /) trmyl fad dldğ n bast durum klr K arasındak kohrnt foton alış-vrşn tmsl dr. Bu durumda hrhang br J-t atom-alan tklşm trm çrmz. 4

43 .6. Özdğrlr özsnörlr v Wgnr fonksyonları üç adt -sıra dğşn matrs dğrl faz-uzayı fonksyonunun N } tam { A N B kümsn cbrsl olarak bağımlı v köşgndr. z K) q K) kısaltması kullanılarak n özsnörlr aşağıdak gb göstrlblr: z na nb ) z na nb )..57) Burada n n K k-kuantumlarının sayılarını göstrmkt v ) l d A B bağıntısını sağlayan br sn-/ sstmnn sn-yukarı v sn-aşağı durumlarını göstrn lr gb yalın bar) atomun durumları fad dlmktdr..57) dk z n A n ) grçl-dğrl faz-uzayı fonksyonları k-kl alan çn köşgn B Wgnr fonksyonlarını urtrght t al. 998 urtrght t al. ) tmsl tmktdr: n A n n B A n B z na nb ) A B z ) A B..58) n! n! A B Burada z fonksyonu A z B z l tanımlanan vakum Wgnr fonksyonunu göstrmktdr. Bu dnklmlrn 4

44 boylandırılmış yan tüm faz-uzayında alınan ntgrallrnn ştlnmş çözümlr π q q ) sonucunu vrr. Daha yüksk düzydn Wgnr fonksyonlarının açık fonksyonl formları L n A 4AA ) L 4BB ) z n B l orantılıdır Dmrcoğlu v Vrçn ). Burada L k harmonk salınıcı çn Wgnr fonksyonlarının çarımları olan Lagurr olnomlarıdır Bartltt and oyal 949). Sayı fonksyonu v alçaltıcı yüksltc fonksyonların Wgnr fonksyonu l yıldız-çarım altında şlm sokulmasından yararlanılarak aşağıdak bağıntılar ld dlr: N A A z na nb ) n z na nb ) A z n n ) n z n n ).59) A A B A A B z na nb ) na z na nb ). Bnzr bağıntılar N B B v B çn d gçrldr. Bu bağıntılar yardımıyla n özdğrlr kolayca aşağıdak gb bulunablr: λ λ n A n B n A n B n B n n B A ) )n A )..6) n A n B çn atomun yalın nr düzylr λ v λ dr. Bu durumda bastç )/ dr. λ n A düzy sonsuz dnrykn dğr tüm düzylr sonlu dnrdr. n n durumu A B λ n A n B nn tüm sstmn n üst düzy olduğunu söylr. 44

45 Bu örnk çn B A B ştlklr v.6) özllklr yardımıyla.9) v.) l vrln matrs-dğrl bağlaştıran fonksyonlar aşağıdak gb yndn düznlnblr: L B L B L L B B A ) A ). A ) A )..6).6) ± nn yalın durumlar üzrn tksndn aşağıdak ştlk kolayca doğrulanablr: L z n n ) L z n n A B A B ). Ancak aşağıdak fadlr ld drkn daha dkkatl olmak grkldr: L z na nb ) nb Φ n n z) A B L z na nb ) nb Ψn n z). A B Burada Φ v n A n B Ψ n A n B lr aşağıdak gb tanımlıdır: Φn n z) n z n n ) z n n ).64) A B B A B Ψn n z) z n n ) n z n n )..65) A B A B A A A B B 45

46 Bu fadlr aslında.6) l vrln özdğrlr sah olan nn boylandırılmamış) özsnörlrdr: n n n n n n z A B A B A B Φ z) λ Φ ).66) n n n n n n z A B A B A B Ψ z) λ Ψ )..67).66) v.67) dnklmlr v nn ş-sktral özllklrn göstrr. Son olarak.6) v.6) dnklmlr yardımıyla harkt sabtlr aşağıdak gb hsalanablr: R 8 N B A ).68) S 4 N )[ N )]..69) B B J A.6. Örnk Uygulama : Rzonant olmayan J-t tklşmlr W P q v sağlanarak aşağıdak ştlğ ulaşılır: W d.46) dnklmndk gb sçlrs.7) v.8) koşulları P q q. K Burada K K q ) dr. Dolayısıyla q)/ [ W ] q )/ B ld dlr. 46

47 Sonuç olarak aşağıdak fadlr hsalanablr: J F B J B ) B ) B B ) B [± N N X )] ± B A N N ) Y. B A B W v P nn lk trm hâlâ dnklm.5) l vrlr. Dnklm.5) v.54) t tanımlanan X v Y d s K fads K l dğşmştr. K çn amltonanlar v karşılık gln özdğrlr aşağıdak gbdr: nt ) N ) B nt ) N ) J B ) A λ n n na )nb ) λn n nb nb ). A B B A A A B B Bu fadlr na nb ) nb na ) dğş-tokuşuyla.6) fadsn lşklndrlrlr. J-t amltonanlar asıl olarak atomun lktrk dol momntyl kuantumlu ışığın tklşmndn kaynaklanır; bu tklşm amltonanlarında gnllkl A J ) v A ) J br arada bulunur. Ancak özllkl kuantumlu tk-k ışık durumunda ) l J A tanımlanan rzonant sürçlr A J ) l tanımlanan rzonant olmayan sürçlrdn daha tkldr. J A ) nın hmal dldğ durumlar da dönn dalga yaklaşımı rotatng wav aroxmaton) olarak blnr. Öt yandan çok-kl tklşmlrd hr k trm d önml fzksl sonuçlara sahtr. 47

48 4. OYAL-LIFFORD EBİRİ İLE FAZ-UZAYINDA EŞ-SPEKTRAL ATRİS AİLTONIAN AİLELERİ. Bölüm d dört-boyutlu faz-uzayında sürsmtrk kuantum mkanğnn formül dlmsn lşkn yöntmlr glştrlmşt. Bu yöntmn n önml sonuçlarından brs d 4 ) nn uygun matrs tmsllr yardımıyla ld dln k ş-sktral atrs amltonan dır. Bu bölümd bş farklı ş-sktral matrs amltonan als br önck bölümd kurulan yaı çrsnd l alınacaktır. r al kısmn kısıtlanmış faz-uzayı fonksyonları çrmkt olduğundan k çok ş-sktral sstm çftlrn çrblmktdr. Sürmmbran tordn yarı-ltkn fzğn dğn fzğn dğşk alanlarındak güncl araştırma konularından sçln k çok modl amltonan özl örnklr olarak bu yöntml brbrlrnn sür-şlryl brlkt tanımlanablmktdr. 4. İlk İk Sür Eş amltonan Als Faz-uzayı fonksyonlarının uygun sçmyl.7) v.8) koşullarının gtrdğ kısıtlamaları yok tmnn k bast yolu vardır. Burada l alınacak bu türdn sçmlr üzrnd hçbr kıstılamanın olmadığı farklı amltonan allrnn ld dlmsn sağlayacaktır. 4.. İk-boyutlu Paul amltonanları.7) v.8) koşullarını sağlamanın bast br yolu sçmdr. Bu sçm P W olduğunu söylr. sçm aşkâr durumu vrrkn sçm daha lgnç sstmlr karşılık glmktdr. 48

49 W v P sçmlr aşağıdak gb yaılsın: W P A ) c A ). c 4.) Burada A 'lr yalnızca gnllştrlmş koordnatlara bağımlıdır. otansylnn blşnlr olduğu düşünüşünülürs A nn br vktör h W P ] B q) c [ 4.) ld dlr. Burada B q) A A q q l vrln q) B trm q q tmktdr. Buna gör bozonk amltonan -düzlmn dk homon olmayan manytk alanı fad A) 4.) c v γ h/c cnsndn v d aşağıdak gb ld dlr: γb q) γb q). 4.4) 49

50 Bu fadlr başlarındak B γb Zman trmnn şart farklılığıyla brbrlrndn ayrılan -boyutlu Paul amltonanlarını tmsl tmktdrlr. Bu amltonanlar yük şlnğyl dğl B B yansımasıyla lşkldrlr. Kuantum mkanğnn standart formülasyonundan v nn sürsmtrk ş amltonanlar oldukları blnmktdr Junkr 996 Gndnsthěn and Krv 985 oor t al. 995). Burada yaılan bu grçğ faz-uzayı formülasyonuyla da doğrulamak v bu amltonanların brbrlrnn sürsmtrk şlr olduklarını bu formülasyonda satlamaktır. El alınan bu durumda bağlaştıran fonksyonlar v aşağıdak gbdr: nn çaranlarına ayrılmış formları L ) L ) { Q Q } 4.5) { Q Q }. Komlks sür yüklr d aşağıdak gb tanımlıdır: Q ) Q ). 4.6) 5

51 4.. Kısıtlanmamış amltonanlar als El alınacak lk örnkt k sıfırdan farklı komlks br sayı olmak üzr k sçm yaılarak.7) v.8) koşulları bast br yolla kaldırılablr. k durumu v nn W P ] /) y şt olduğu aşkâr çözümü fad dr. Bu ştlk çn d [ W v P dn brnn sıfır alınması ytrl olmaktadır. Daha lgnç br sstm ld tmk amacıyla k yı sıfırdan farklı alı k özl durum nclncktr. İlk durum çn k sıfırdan farklı grçl br sabt olarak sçlcktr. Bu durumda koşullar W kw v P kp ştlğn ndrgnmkt v böylc amltonanlar çn k P P W W ) k [ W P ] 4.7) k [ W P ] k ) fadlr yazılablmktdr. İknc durum çn d l sıfırdan farklı grçl br sabt olmak üzr k l sçm yaılırsa koşullar W l lw P v P l fad dlmkt v sonuçta ld dln amltonanlar da k yrn l v nn üçüncü trmndk k yrn d l yazılmasıyla 4.7) dnklmyl aynı bçmd ld dlmktdr. 5

52 5 k sçm çn bağlaştıran fonksyonlar L L v amltonanlar da 4.8) } { ] [ ] [ } { şklnddr. Burada knd başına br sürsmtrk amltonan dır v komlks süryük ) Q cnsndn aşağıdak ştlklr yazılablr:. * ] [ } { Q Q Q Q Q 4.9) çn harkt sabt d * L L R ştlğ yardımıyla aşağıdak gb bulunur:. * 4 R Sonuç olarak bu al W v P gb k grçl dğrl fonksyon v sıfırdan farklı komlks br sayı l karaktrz dln sür-ş amltonanlar çrmktdr.

53 4.. Faz-uzayında sn-yörüng tklşmlr v Aharonov-ashr A) t sstmlr A olayı Aharonov and ashr 984) çok daha y blnn Aharonov-Bohm AB) olayının Pshkn and Tonomura 989 agn 99) lktromanytk dual olarak tanımlanablr. Bu olay harkt düzlmn burada q q -düzlm alınmıştır) dk manytk momnt ) sah yüksüz arçacıkların aynı düzlm dk olan çn grlmz mntrabl) br çzg yükün yarattığı statk E E E ) lktrk alanının tksndk harktn btmlmktdr Goldhabr 989). Bu olay görl olarak Drac dnklmyl fad dls d çoğunlukla görl olmayan lmtt l alınmaktadır. Burada l alınacak durumda yüksüz E ) bölgdk harkt çn A amltonan şlmcs şkld yazılablmktdr: Ĥ A aşağıdak gb brbrn şdğr üç ˆ A QQ ˆ ˆ ˆ E ) E 4.) E ˆ E ) [ h E) ˆ J]. r Burada Qˆ ˆ E) l vrlr. Bu fadlrn hs standart Schrödngr formülasyonunda gçrldr v ˆ h blnn momntum şlmcsn tmsl tmktdr. rkzsl statk V otansyllr çn dv E v E r r dr 5

54 fadlr yazılablr. Burada r q q ) v / r q q ) dr. Bunlardan v 4.) dan yararlanarak ˆ A ˆ) E ) r ˆ dv r dr şklnd son trmnd sn-yörüng tklşmnn gnl formunu çrn A-amltonan ld dlr. J q q v r nn k kyf f v g fonksyonu çn W v P aşağıdak gb sçlsn: h W g r) r g r) r ) rg r) 4.) P f r) J f r) J. 4.) J yıldız-çarıma gör q q -düzlmndk dönmlr ürtn açısal momntum blşndr. f g r v W bu türdn dönmlr altında skalr kaldıklarından J l oyal anlamında sıra dğştrrlr. Ancak [ r f r)] hrf r) 4.) ştlğ [ W h J 4.4) P ] rg r) f r) olduğunu fad dr. 54

55 55 oyal yıldız-çarımı yardımıyla aşağıdak ştlklr d açıkça hsalanablr: ). ) ) ) h h h J f P P J J J r r r 4.5) Öt yandan W n yıldız karsn almak bunlar kadar kolay dğldr. Önclkl 4.) v 4.) yardımıyla aşağıdak ştlğ ulaşılır: ). ) ) ) ) g r rgg gg r rgg g W W h h r r r 4.6) Yıldız-çarımın açılımındak h trmlrn gtmy grktrck daha uzun hsalar yardımıyla ) 4 ) ) ) g r rgg g g h h r r r ) ) ) ) rg rgg gg r rgg g rg h r r ld dlr. Bu fadlr 4.6) da yrn konulursa 4.5) ştlklr yardımıyla W n yıldız kars aşağıdak gb hsalanır: ). ) g r g rg g g W W h h r 4.7) f g alınır v 4.5) n üçüncü bağıntısıyla brlkt düşünülürs dnklm 4.7) dn

56 k h r * [ gr) rg g g )] 4.8) ld dlr. Bu fadnn ld dlmsnd ayrıca şağıdak ştlktn d yararlanılmıştır: J r ) r. 4.9) 4.4) v 4.8) dnklmlrnd ε ± olmak üzr) a g r a f ε r 4.) a k ) alınırsa h 4r ) h ε J 4.) r F h k k ε J F r k k ) sonucu ld dlr. 4.) v sn-yörüng tklşmlrnn blnn bçm yardımıyla n E ε h/ r ) r lktrk alanı v h /4r ) ndüklnmş lktrk dol nry sah At amltonan olduğu görülblr. Buradak ks şart lktrk dol momntnn E l aynı yönd olduğunu söylr. Böylc sn-yörüng tklşmlrnn faz-uzayında da fad dlmlr başarılmış olmaktadır. 56

57 57 4. Üçüncü amltonanlar Als P P v ) y x W sçm ) y x W W P P x x şklnd yaılsın. Bu durumda.7) koşulu özdş olarak sağlanırkn.8) koşulu aşağıdak ştlğ vrcktr:. W W x y 4.) Bu sçm gör hsa yaılırsa ) W W V V olmak üzr ) W W B y x ± ± h ) W W y x h 4.) ) ) W W W x y x h h ld dlr.

58 a b v c grçl sabtlr olmak üzr g x 4ax b v f ay c cnsndn W v W nn W y g x) W xy f y) 4 şklndk sçmlr 4.) ştlğn sağlar v üsttk amltonanların frmyonk kısımları aşağıdak hal ndrgnr: F F h h a x y ). 4.4) b c çn 4 V r a r axy x ) 6 4.5) fadsn v sonra da a çn dörtlü quartc) salınıcının otansyl nrsn ndrgnr. Bu durumda d saf bozonk hal glr. 4.. Sürmmbran örnk modl Dnklm 4.4) l vrln h çn F ˆ tm x y ) x y 4.6) fadsnn frmyonk kısmıyla aynıdır. Ancak v Ĥ tm nn otansyl nr fonksyonları farklıdır. Ĥ tm l tanımlanan modl sürsmtrk matrs modllrnn blrl 58

59 br sınıfı çn örnk br modl olarak ortaya çıkmaktadır. Bu modl sürsmtrk Yang- lls kuramlarının ndrgnmlr l sürmmbran v -kuramı Graf t al. Lundholm 8) bağlamında yoğun olarak tartışılmıştır. Qˆ ˆ ˆ x y xy süryükü v lk kolon snörü Ψ x y) 'y tkyn Pˆ zdüşüm şlmcsnn Pˆ Ψ) x y) ) Ψ y x) fadsyl { ˆ Qˆ P ˆ tm } sstm kuantum mkanğnn standart Schrödngr formülasyonunda aşağıdak gb br sürsmtr yaısı srglr: ˆ ˆ Q Pˆ tm { Qˆ Pˆ}. Buradak çarımlar blnn şlmc çarımları {} göstrm d bu çarıma karşılık gln ant-arantzdr. Bu modln sürsmtr yaısı bu tzd l alınan faz-uzayı formülasyonu bağlamında korunur. Daha sonra süryük şlmcsnd nn xy katsayı fonksyonunun g x y) l dğştrlmsyl ld dln Q g x y ştlğ Ĥ tm nn V g l gnllştrlmsn sağlar v g xy çn 4.6) l vrln Ĥ tm nn frmyonk kısmına ndrgnn [ g] g h g h g y [ x ] ) y ) x ) 59